高考數(shù)學一輪復習專題26平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用教學案文

1、專題26 平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系2.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算3.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系4.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題1平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos_ 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos_，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.(2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的

2、投影|b|cos_的乘積2平面向量數(shù)量積的性質及其坐標表示設向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角(1)數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夾角：cos .(4)兩非零向量ab的充要條件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(當且僅當ab時等號成立)|x1x2y1y2| .3平面向量數(shù)量積的運算律(1)abba(交換律)(2)ab(ab)a(b)(結合律)(3)(ab)cacbc(分配律)4向量在平面幾何中的應用向量在平面幾何中的應用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題(

3、1)證明線段平行或點共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：ab(b0)abx1y2x2y10(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運算性質abab0x1x2y1y20(a，b均為非零向量)(3)求夾角問題，利用夾角公式cos (為a與b的夾角)5向量在三角函數(shù)中的應用與三角函數(shù)相結合考查向量的數(shù)量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型解答此類問題，除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標運算公式、向量模、向量夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識6向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用，是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述它主要強調(diào)向量的坐標問題，進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關

4、知識來解答，坐標的運算是考查的主體高頻考點一平面向量數(shù)量積的運算例1、(1)設四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點M，N滿足3，2，則等于()A20 B.15 C9 D6(2)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則的值為_；的最大值為_答案(1)C(2)11故選C.(2)方法一以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，設當E運動到B點時，在方向上的投影最大即為DC1，()max|11.【感悟提升】(1)求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量積的幾何意義(2)解決涉及幾何

5、圖形的向量數(shù)量積運算問題時，可先利用向量的加、減運算或數(shù)量積的運算律化簡再運算，但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補【變式探究】(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則_. (2)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則_.答案(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因為2，所以()()2，即222.又因為225，264，所以22.(2)由題意知：()()()()224022.高頻考點二用數(shù)量積求向量的模、夾角例2、(1)(2016全國卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，則m()A.8 B.6C.6 D.8(2)若向量a(k

6、，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是_.答案(1)D(2)【方法規(guī)律】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質：若a，b為非零向量，cos (夾角公式)，abab0等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關角度、垂直問題.(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.【變式探究】 (1)(2016全國卷)已知向量，則ABC()A.30 B.45C.60 D.120(2)(2016全國卷)設向量a(m，1)，b(1，2)，且|ab|2|a|2|b|2，則m_.解析(1

7、)|1，|1，cosABC.由，0，180，得ABC30.(2)由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，得m2.答案(1)A(2)2【感悟提升】(1)根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，可以求向量的模、夾角，解決垂直、夾角問題；兩向量夾角為銳角的充要條件是cos 0且兩向量不共線；(2)求向量模的最值(范圍)的方法：代數(shù)法，把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；幾何法(數(shù)形結合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解【舉一反三】(1)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos_.(2)在ABC中，若A120，

8、1，則|的最小值是()A.B2C.D6答案(1)(2)C(2)1，|cos1201，即|2，|2|22222|26，|min.高頻考點三平面向量與三角函數(shù)例3、在平面直角坐標系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解(1)因為m，n(sinx，cosx)，mn.所以mn0，即sinxcosx0，所以sinxcosx，所以tanx1.(2)因為|m|n|1，所以mncos，即sinxcosx，所以sin，因為0x，所以x，所以x，即x.【感悟提升】平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路(1)題目條件給出向量的坐標中含有三

9、角函數(shù)的形式，運用向量共線或垂直或等式成立得到三角函數(shù)的關系式，然后求解(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經(jīng)過向量的運算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值域等【變式探究】已知O為坐標原點，向量(3sin，cos)，(2sin，5sin4cos)，且，則tan的值為()ABC.D.答案A高頻考點四向量在平面幾何中的應用例4、已知O是平面上的一定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足()，(0，)，則點P的軌跡一定通過ABC的()A內(nèi)心B外心C重心D垂心答案C解析由原等式，得()，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線A

10、D(D為BC的中點)所對應向量的2倍，所以點P的軌跡必過ABC的重心【感悟提升】解決向量與平面幾何綜合問題，可先利用基向量或坐標系建立向量與平面圖形的聯(lián)系，然后通過向量運算研究幾何元素之間的關系【變式探究】(1)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為CD的中點若1，則AB_.(2)平面四邊形ABCD中，0，()0，則四邊形ABCD是()A矩形B梯形C正方形D菱形答案(1)(2)D解析(1)在平行四邊形ABCD中，取AB的中點F，則，(2)0平面四邊形ABCD是平行四邊形，()0，所以平行四邊形ABCD是菱形高頻考點五、向量在解析幾何中的應用例5、(1)已知向量(k,12)，(4,5)

11、，(10，k)，且A、B、C三點共線，當k0時，若k為直線的斜率，則過點(2，1)的直線方程為_(2)設O為坐標原點，C為圓(x2)2y23的圓心，且圓上有一點M(x，y)滿足0，則_.答案(1)2xy30(2)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，則過點(2，1)且斜率為2的直線方程為y12(x2)，即2xy30.(2)0，OMCM，OM是圓的切線，設OM的方程為ykx，由，得k，即.【感悟提升】向量在解析幾何中的作用：(1)載體作用，向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題關鍵是利用向量的意義、運算，脫去“向量外衣

12、”；(2)工具作用，利用abab0；abab(b0)，可解決垂直、平行問題【變式探究】已知圓C：(x2)2y24，圓M：(x25cos)2(y5sin)21(R)，過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE，PF，切點分別為E，F(xiàn)，則的最小值是()A5B6C10D12答案B|cosEHF226，故選B.高頻考點六向量的綜合應用例6、(1)已知x，y滿足若(x,1)，(2，y)，且的最大值是最小值的8倍，則實數(shù)a的值是()A1B.C.D.(2)函數(shù)ysin(x)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，M、N分別是最高點、最低點，O為坐標原點，且0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是_答案(1)D(2)3 (2)由圖象

13、可知，M，N，所以(xN，1)xN10，解得xN2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是23.【感悟提升】利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結合起來，解題時通過定義或坐標運算進行轉化，使問題的條件結論明晰化【變式探究】在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足|2，則點集P|，|1，R所表示的區(qū)域面積是()A2B2C4D4答案D解析由|2，知，.當0，0，1時，在OAB中，取，過點C作CDOB交AB于點D，作DEOA交OB于點E，顯然.由于，(1)，(1)，1時，點P在線段AB上，0，0，1時，點P必在OAB內(nèi)(包括邊界)考慮|1的其他情形，點P構成的集合恰好是以AB為一邊，以

14、OA，OB為對角線一半的矩形，其面積為S4SOAB422sin4.1.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點，是上的兩個三等分點，則的值是 . 【答案】【2015高考山東，理4】已知菱形的邊長為，,則（ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】D【解析】因為故選D.【2015高考陜西，理7】對任意向量，下列關系式中不恒成立的是（ ）A BC D【答案】B【解析】因為，所以選項A正確；當與方向相反時，不成立，所以選項B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項C正確；，所以選項D正確故選B【2015高考四川，理7】設四邊形ABCD為平行四邊形，.若點M，N滿足，則（ ）（A）20 （B）

15、15 （C）9 （D）6【答案】C【2015高考安徽，理8】是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿足，則下列結論正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】如圖，由題意，則，故錯誤；，所以，又，所以，故錯誤；設中點為，則，且，而，所以，故選D.【2015高考福建，理9】已知 ，若 點是 所在平面內(nèi)一點，且 ，則 的最大值等于（ ）A13 B 15 C19 D21【答案】A【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，即，所以，【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,動點 和 分別在線段 和 上,且, 則的最小值為.【答案】【解析】因為，當且僅當即時的最小值為

16、.1（2014北京卷）已知向量a，b滿足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，則|_【答案】【解析】ab0，ab，|.2（2014湖北卷）設向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，則實數(shù)_【答案】33（2014江西卷）已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12e2與b3e1e2的夾角為，則cos _【答案】【解析】cos .4（2014全國卷）若向量a，b滿足：1，(ab)a，(b)b，則|()A2 B.C1 D.【答案】B【解析】因為(ab)a，所以(ab)0，即2因為(b)b，所以(b)0，即b20，與20聯(lián)立，可得20，所以.5（2014新課標全國卷 設向量a

17、，b滿足|ab|，|ab|，則()A1 B2 C3 D5【答案】A【解析】由已知得|ab|210，|ab|26，兩式相減，得4ab4，所以ab1.6（2014山東卷）在ABC中，已知tan A，當A時，ABC的面積為_【答案】【解析】因為ABAC|cos Atan A，且A，所以|，所以ABC的面積S|sin Asin .7（2014天津卷）已知菱形ABCD的邊長為2，BAD120，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，則()A. B. C. D.【答案】C(1, (1)(1, (1).得.8(2013年高考湖北卷)已知點A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)

18、，則向量在方向上的投影為()A. B.C D解析：(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos，|，故選A.答案：A9(2013年高考湖南卷)已知a，b是單位向量，ab0.若向量c滿足|cab|1，則|c|的取值范圍是()A1，1 B.C1，1 D1，2答案：A10(2013年高考遼寧卷)設向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)設函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值解析：(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1

19、.又x，從而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin，當x0，時，sin取最大值1.所以f(x)的最大值為.11(2013年高考陜西卷)已知向量a，b (sin x，cos 2x)，xR，設函數(shù)f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值當2x，即x0時，f(x)取得最小值.因此，f(x)在0，上的最大值是1，最小值是.1若向量a，b滿足|a|b|2，a與b的夾角為60，則|ab|等于()A2B2C4D12答案B解析|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos604422212，|ab|2.2已知向量

20、a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夾角為，則實數(shù)m等于()A2B.C0D答案B解析ab(1，)(3，m)3m，abcos，3mcos，m.3設e1，e2，e3為單位向量，且e3e1ke2(k0)，若以向量e1，e2為鄰邊的三角形的面積為，則k的值為()A. B. C. D.答案A4若O為ABC所在平面內(nèi)任一點，且滿足()(2)0，則ABC的形狀為()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形答案C解析因為()(2)0，即()0，()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故選C.5.在ABC中，如圖，若|，AB2，AC1，E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則等于()A. B. C. D.答案

21、B解析若|，則222222，即有0.E，F(xiàn)為BC邊的三等分點，則()()22(14)0.故選B.6在ABC中，M是BC的中點，AM3，點P在AM上，且滿足2，則()的值為_答案4解析由題意得，AP2，PM1，所以()2221cos1804.7如圖，在ABC中，O為BC中點，若AB1，AC3，60，則|_.答案8在ABC中，若，則點O是ABC的_(填“重心”、“垂心”、“內(nèi)心”、“外心”)答案垂心解析，()0，0，OBCA，即OB為ABC底邊CA上的高所在直線同理0，0，故O是ABC的垂心9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a與b的夾角；(2)求|ab|；(3)若a，b

22、，求ABC的面積解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos，又0，.SABC|sinABC433.10在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cosB，sinB)，且mn.(1)求sinA的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解(1)由mn，得cos(AB)cosBsin(AB)sinB，所以cosA.因為0A，所以sinA.(2)由正弦定理，得，則sinB，因為ab，所以AB，則B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，故向量在方向上的投影為|cosBccosB1.11已知點P(0，3)，點A在x軸上，點Q在y軸的正半軸上，點M滿足0，當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程把a代入，得3y0，整理得