高考復(fù)習(xí) 解析幾何 橢 圓

1、§9.5橢圓1.橢圓的概念在平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)若a>c，則集合P為橢圓；(2)若ac，則集合P為線段；(3)若a<c，則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1 (a>b>0)1 (a>b>0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點頂點A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B

2、2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b21.判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.(×)(2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成PF1F2的周長為2a2c(其中a為橢圓的長半軸長，c為橢圓的半焦距).()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.(×)(4)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲線是橢圓.()2.已知橢圓的

3、焦點在y軸上，若橢圓1的離心率為，則m的值是()A.B.C.D.答案D解析由題意知a2m，b22，c2m2.e，m.3.(2013·廣東)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1B.1C.1D.1答案D解析由題意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求橢圓方程為1.4.如果方程x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是_.答案(0,1)解析將橢圓方程化為1，焦點在y軸上，>2，即k<1，又k>0，0<k<1.5.已知橢圓1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，

4、若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_.答案1解析設(shè)過左焦點F1的正三角形的邊交橢圓于A，則|AF1|c，|AF2|c，有2a(1)c，e1.題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1)已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點，且點N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點P，則動點P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線(2)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且長軸是短軸的3倍，并且過點P(3,0)，則橢圓的方程為_.(3)已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)、P2(，)，則橢圓的方程為_.思維啟迪(1)題主要考慮橢圓的定義；(2)題要分焦點在x

5、軸和y軸上兩種情況；(3)可以用待定系數(shù)法求解.答案(1)B(2)y21或1(3)1解析(1)點P在線段AN的垂直平分線上，故|PA|PN|，又AM是圓的半徑，|PM|PN|PM|PA|AM|6>|MN|，由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓.(2)若焦點在x軸上，設(shè)方程為1(a>b>0)，橢圓過P(3,0)，1，即a3，又2a3×2b，b1，方程為y21.若焦點在y軸上，設(shè)方程為1(a>b>0).橢圓過點P(3,0).1，即b3.又2a3×2b，a9，方程為1.所求橢圓的方程為y21或1.(3)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m>0，n>0且

6、mn).橢圓經(jīng)過P1、P2點，P1、P2點坐標(biāo)適合橢圓方程.則、兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.思維升華(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時，一定要注意常數(shù)2a>|F1F2|這一條件.(2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點位置不確定，要考慮是否有兩解，有時為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21 (m>0，n>0，mn)的形式.(1)過點(，)，且與橢圓1有相同焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.(2)已知P是橢圓1上一點，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、

7、右焦點，若F1PF260°，則PF1F2的面積為_.答案(1)1(2)12解析(1)方法一橢圓1的焦點為(0，4)，(0,4)，即c4.由橢圓的定義知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.方法二因為所求橢圓與橢圓1的焦點相同，所以其焦點在y軸上，且c225916.設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0).因為c216，且c2a2b2，故a2b216.又點(，)在所求橢圓上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|PF2|20，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1

8、|·|PF2|cos 60°256.2得|PF1|·|PF2|48.SPF1F2|PF1|·|PF2|sin 60°12.題型二橢圓的幾何性質(zhì)例2(1)在RtABC中，ABAC1，如果一個橢圓通過A，B兩點，它的一個焦點為點C，另一個焦點在AB上，求這個橢圓的離心率.(2)如圖，焦點在x軸上的橢圓1的離心率e，F(xiàn)，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，求·的最大值和最小值.思維啟迪本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，解題(1)的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出a，c的值；解題(2)的關(guān)鍵是表示出·，根據(jù)橢圓的性質(zhì)確定變量的取值

9、范圍.解(1)設(shè)橢圓的焦半徑為c，設(shè)另一個焦點為F，如圖所示，ABAC1，ABC為直角三角形，114a，則a.設(shè)FAx，x，1()24c2，c，e.(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0).由題意知a2，e，c1，b2a2c23.所求橢圓方程為1.2x02，y0.又F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，·xx02yxx01(x02)2.當(dāng)x02時，·取得最小值0，當(dāng)x02時，·取得最大值4.思維升華(1)求橢圓的離心率的方法直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值.構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次

10、方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解.通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式.例如，axa，byb,0<e<1等，在求橢圓相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系.(1)已知點F1，F(xiàn)2是橢圓x22y22的兩個焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|的最小值是()A.0B.1C.2 D.2(2)(2013·遼寧)已知橢圓C：1(ab0)的左焦點為F，橢圓C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，則C的離心率e_.答案(1)C(2)解析(1)設(shè)P(x0，y0)，則(1x0，y0

11、)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.點P在橢圓上，0y1，當(dāng)y1時，|取最小值2.故選C.(2)如圖，在ABF中，|AB|10，|AF|6，且cosABF，設(shè)|BF|m，由余弦定理，得62102m220m·，m216m640，m8.因此|BF|8，AFBF，c|OF|AB|5.設(shè)橢圓右焦點為F，連接BF，AF，由對稱性，|BF|AF|6，2a|BF|BF|14.a7，因此離心率e.題型三直線與橢圓的位置關(guān)系例3已知橢圓1(a>b>0)的一個頂點為B(0,4)，離心率e，直線l交橢圓于M，N兩點.(1)若直線l的方程為yx4，求弦MN的長.(2)如果BMN的重

12、心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式.思維啟迪直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，一般可以直接聯(lián)立方程，“設(shè)而不求”，把方程組轉(zhuǎn)化成關(guān)于x或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解.解(1)由已知得b4，且，即，解得a220，橢圓方程為1.則4x25y280與yx4聯(lián)立，消去y得9x240x0，x10，x2，所求弦長|MN|x2x1|.(2)橢圓右焦點F的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)線段MN的中點為Q(x0，y0)，由三角形重心的性質(zhì)知2，又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，即得Q的坐標(biāo)為(3，2).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x26，y1y24，

13、且1，1，以上兩式相減得0，kMN·×，故直線MN的方程為y2(x3)，即6x5y280.思維升華(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.(2)設(shè)直線與橢圓的交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB| (k為直線斜率).提醒：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.已知橢圓G：1(a>b>0)的離心率為，右焦點為(2，0).斜率為1的直線l與橢圓G交于A，B兩點，

14、以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P(3,2).(1)求橢圓G的方程；(2)求PAB的面積.解(1)由已知得c2，解得a2.又b2a2c24，所以橢圓G的方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為yxm，由消去y得4x26mx3m2120.設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中點為E(x0，y0)，則x0，y0x0m.因為AB是等腰PAB的底邊，所以PEAB，所以PE的斜率k1，解得m2.此時方程為4x212x0，解得x13，x20，所以y11，y22.所以|AB|3，又點P(3,2)到直線AB：xy20的距離d.所以PAB的面積S|AB|·d.高考中圓錐

15、曲線的離心率問題典例：(10分)(1)如圖，橢圓C：1(a>b>0)的左焦點為F1，上頂點為B2，右頂點為A2，過點A2作x軸的垂線交直線F1B2于點P，若|PA2|3b，則橢圓C的離心率為_.(2)已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點P使，則該橢圓的離心率的取值范圍為_.思維啟迪橢圓的離心率利用方程思想，只需利用題目條件得到a，b，c的一個關(guān)系式即可.若得到的關(guān)系式含b，可利用a2b2c2轉(zhuǎn)化為只含a，c的關(guān)系式.解析(1)由題設(shè)知，e.(2)依題意及正弦定理，得(注意到P不與F1F2共線)，即，1，1>，即e

16、1>，(e1)2>2.又0<e<1，因此1<e<1.答案(1)(2)(1,1)溫馨提醒離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點考查的一個知識點.這類問題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍.無論是哪類問題，其難點都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表達(dá)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問題難點的根本方法.方法與技巧1.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，應(yīng)從“定形”“定式”“定量”三個方面去思考.“定形”就是指橢圓的對稱中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸的情況下，能否確定

17、橢圓的焦點在哪個坐標(biāo)軸上.“定式”就是根據(jù)“形”設(shè)出橢圓方程的具體形式，“定量”就是指利用定義和已知條件確定方程中的系數(shù)a，b或m，n.2.討論橢圓的幾何性質(zhì)時，離心率問題是重點，求離心率的常用方法有以下兩種：(1)求得a，c的值，直接代入公式e求得；(2)列出關(guān)于a，b，c的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)b2a2c2，消去b，轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解.失誤與防范1.判斷兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的方法為比較標(biāo)準(zhǔn)形式中x2與y2的分母大小.2.注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓1 (a>b>0)上點的坐標(biāo)為P(x，y)時，則|x|a，這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導(dǎo)致

18、求最值錯誤的原因.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)一、選擇題1.已知橢圓C的短軸長為6，離心率為，則橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為()A.9B.1C.1或9D.以上都不對答案C解析，解得a5，b3，c4.橢圓C的焦點F到長軸的一個端點的距離為ac9或ac1.2.設(shè)F1、F2分別是橢圓1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|3，則P點到橢圓左焦點的距離為()A.4B.3C.2D.5答案A解析由題意知|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2×564.3.已知橢圓1的焦距為4，則m等于()A.4B.8 C.4或8D.以上均不對答案C解析由，得2<m&

19、lt;10，由題意知(10m)(m2)4或(m2)(10m)4，解得m4或m8.4.(2012·江西)橢圓1(a>b>0)的左、右頂點分別是A、B，左、右焦點分別是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為()A.B.C.D.2答案B解析由題意知|AF1|ac，|F1F2|2c，|F1B|ac，且三者成等比數(shù)列，則|F1F2|2|AF1|·|F1B|，即4c2a2c2，a25c2，所以e2，所以e.5.已知圓M：x2y22mx30(m<0)的半徑為2，橢圓C：1的左焦點為F(c,0)，若垂直于x軸且經(jīng)過F點的直線l與圓

20、M相切，則a的值為()A.B.1 C.2D.4答案C解析圓M的方程可化為(xm)2y23m2，則由題意得m234，即m21(m<0)，m1，則圓心M的坐標(biāo)為(1,0).由題意知直線l的方程為xc，又直線l與圓M相切，c1，a231，a2.二、填空題6.(2013·福建)橢圓：1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_.答案1解析由直線方程為y(xc)，知MF1F260°，又MF1F22MF2F1，所以MF2F130°，MF1MF2，所以|MF1|c

21、，|MF2|c所以|MF1|MF2|cc2a.即e1.7.已知橢圓1 (a>b>0)的離心率等于，其焦點分別為A、B，C為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則在ABC中，的值等于_.答案3解析在ABC中，由正弦定理得，因為點C在橢圓上，所以由橢圓定義知|CA|CB|2a，而|AB|2c，所以3.8.橢圓y21的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，若F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.答案(，)解析設(shè)橢圓上一點P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x，y).F1PF2為鈍角，·<0，即x23y2<0，y21，代入得x231<0，x2&l

22、t;2，x2<.解得<x<，x(，).三、解答題9.已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，其中左焦點F(2,0).(1)求橢圓C的方程；(2)若直線yxm與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2y21上，求m的值.解(1)由題意，得解得橢圓C的方程為1.(2)設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點為M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m2>0，2<m<2，x0，y0x0m，點M(x0，y0)在圓x2y21上，()2()21，m±.10.設(shè)橢圓1(a>b>

23、0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點P(a，b)滿足|PF2|F1F2|.(1)求橢圓的離心率e.(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點.若直線PF2與圓(x1)2(y)216相交于M，N兩點，且|MN|AB|，求橢圓的方程.解(1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，因為|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2()210，解得1(舍)，或.所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線PF2的方程為y(xc).A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程組的解不妨設(shè)A(c，c)，B(0，c)，所以|AB|

24、 c.于是|MN|AB|2c.圓心(1，)到直線PF2的距離d.因為d2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以橢圓方程為1.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1.(2013·四川)從橢圓1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且ABOP(O是坐標(biāo)原點)，則該橢圓的離心率是()A.B.C.D.答案C解析由題意可設(shè)P(c，y0)(c為半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，y0，把P代入橢圓方程得1，而2，e.選C.2.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足·0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()A.(0,1)B.(0，C.(0，)D.，1)答案C解析滿足·0的點M在圓x2y2c2上，圓x2y2c2在橢圓內(nèi)部，即c<b，c2<b2a2c2,2c2<a2，e2<，即e(0，).3.在橢圓1內(nèi)，通過點M(1,1)，且被這點平分的弦所在的直線方程為()A.x4y50B.x4y50C.4xy50D.4xy50答案A解析設(shè)直線與橢圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由，得0，因所以，所