2017年高考數(shù)學(xué)江蘇試題及解析

1、21.（2017 年江蘇）已知集合 A=1 , 2, B=a , a+3，若 AHB=1，則實數(shù) a 的值為.1.1【解析】由題意 1 B,顯然 a2+33,所以 a=1，此時 a2+3=4，滿足題意，故答案為1.2. （2017 年江蘇）已知復(fù)數(shù) z=（1+i）（1+2i），其中 i 是虛數(shù)單位，則 z 的模是.2.10【解析】|z|=|(1+i)(1+2i)|=|1+i|1+2i|= *2 x；5=；10.故答案為,10.3某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取型號的產(chǎn)品中抽取 件.要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個

2、體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni:Ni=n：N.丄4. （2017 年江蘇）右圖是一個算法流程圖，若輸入 x 的值為 16,則輸出 y 的值是.200, 400，300，100 件.為檢60 件進行檢驗，則應(yīng)從丙種【答18【解應(yīng)從丙種型號的產(chǎn)品中抽取60誣=18件,1000故答案為 18.【考分層抽樣【名師點睛】在分層抽樣的過程中,為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就（.第4題）14. -2【解析】由題意得 y=2+log216=-2.故答案為-2.n15. (2017 年江蘇)若 tan(a+=6 則 tana=.n n17n ntan(a4)+tan 46+1 775

3、. 5【解析】tana= tan-4)+4=nn 1 =5.故答案為 5.1- tan( 0-4) tan 4 1-66. （2017 年江蘇）如圖，在圓柱 O1O2內(nèi)有一個球 O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記V1圓柱 O1O2的體積為 V1，球 O 的體積為 V2，則 S 的值是.（第6題）3V1nr2X3r36. 2【解析】設(shè)球半徑為 r,則 V2= 4=2故答案為 2 3nr37. （2017 年江蘇）記函數(shù) f（x） = ,6+x-x2的定義域為 D 在區(qū)間-4 , 5上隨機取一個數(shù) X,則 x D 的概率是.7. 9【解析】由 6+x-x20,即 x2-x-6W0得-2 8

4、 Z900 x= 240,當(dāng)且僅當(dāng) x = 30 時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x 的值是x30.答案：3011. (2017 年江蘇)已知函數(shù) f(x)=x3-2x+ex-ex，其中 e 是自然對數(shù)的底數(shù)若 f(a-1)+f(2a2) 3x-2+2 ,e 0所以函數(shù) f(x)在 R 上單調(diào)遞增，又 f(a-1) + f(2a )1 即 f(2a2)fl-a),所以 2a2w-a,即 2a2+a-1WQ解得-1 2 且 p, q 互質(zhì).2x y+5= 0,w20或 B:x2, x D,x, x?D,n 1*其中集合 D = x x =-, n Nn，則方程f(x) Ig x= 0 的

5、解的個數(shù)是(第12題)【解設(shè) P(x, y,)由吐PB可得 A:x=5,y = 5點 P 橫坐標(biāo)的取值范圍為5 一 2, 1.若 Ig x 如，則由 Ig xq0,1)，可設(shè) lg x = mm, m, n 6*, m2 且 m, n 互質(zhì),【證明】（1）在平面 ABC 內(nèi)，TAB 丄 AD,EF 丄 AD,AEF / AB.因此 ion=q,則 ion=qm此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此ig x?Q,m pp故 ig x 不可能與每個周期內(nèi)xD 對應(yīng)的部分相等，只需考慮 ig x 與每個周期內(nèi) x?D 部分的交點.畫出函數(shù)草圖（如圖），圖中交點除（1,0）外其他交點橫坐標(biāo)均為無理數(shù)

6、，屬于每個周期x?D 的部分，1 1且 x = 1 處（Ig x）= 如1010=訂一亦彳，則在 x= 1 附近僅有一個交點，因此方程 f（x） - ig x=0 的解的個數(shù)為 8.答案：815.（2017 年江蘇）如圖，在三棱錐 A-BCD 中，AB 丄 AD, BC 丄 BD,平面 ABD 丄平面 BCD,點E, F（E 與 A, D 不重合）分別在棱 AD,BD 上,且 EF 丄 AD.求證：（1） EF /平面 ABC；（2） AD 丄 AC.【分析】（1）先由平面幾何知識證明 EF / AB,再由線面平行判定定理得結(jié)論 ；（2）先由 面面垂直性質(zhì)定理得 BC 丄平面 ABD,則 BC

7、 丄 AD,再由 AB 丄 AD 及線面垂直判定定理得 AD 丄平面 ABC,即可得 AD 丄 AC.又/ EF?平面 ABC, AB?平面 ABC,AEF / 平面 ABC.(2 )平面 ABD 丄平面 BCD,平面 ABD 門平面 BCD = BD,BC?平面 BCD , BC 丄 BD, BC 丄平面 ABD./ AD?平面 ABD , BC 丄 AD.又 AB 丄 AD, BCAAB= B, AB?平面 ABC, BC?平面 ABC, AD 丄平面 ABC.又 AC?平面 ABC, AD 丄 AC.16.(2017 年江蘇)已知向量 a = (cos x, sin x), b= (3,

8、 , 3), x 0,n(1 )若 a/ b,求 x 的值；(2)記 f(x) = a b,求 f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x 的值.【解析】(1)： a = (cos x, sin x), b= (3, 3), a / b, 3cos x= 3si n x.22若 cos x= 0,貝 y sin x= 0,與 sin x+ cos x= 1 矛盾，Acos x 工 0.亞5n于是 tan x=.又 x0,n x=g .(n (2) f(x) = a b= (cos x, sin x) (3, /3) = 3cos x 西 sin x= 2cos 込 + g 丿.nn 7n( n73x

9、0,n.x+g,6_, 1Wcos込+6.丿W2 .n n當(dāng) x+ 6 = 6,即 x= 0 時，f(x)取得最大值 3;_n5n當(dāng) x+ 6 =n即x= 6 時,f(x)取得最小值一 2 3.2 2乞 yxOy 中，橢圓 E： a2+b2=1 (a b0)的左、右焦1點分別為 F1, F2,離心率為2，兩準(zhǔn)線之間的距離為17.(2017 年江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系&點 P 在橢圓 E 上，且位于第一象限,過點 F1作直線 PF1的垂線 11,過點 F2作直線 PF2的垂線 12.(1)求橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程;X0+1因為 h 丄 PF1, 12丄 PF2，所以直線 I1的斜率為-肓

10、，直線 I2的斜率為三,18.(2017 年江蘇)如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺形玻璃容器n的高均1c 1因為橢圓E的離心率為 2,兩準(zhǔn)線之間的距離為 8，所以 a=2,解得a=2,c=1，于是 b= . aWn .3,因此橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程是2a2c =8,22Ly_4 + =1 .(2)由(1)知，F(xiàn)i(xo, yo)，因為 P 為第一象限的點，故 xo0, yo0.當(dāng) X0=1 時，I2與 h 相交于 Fj，與題設(shè)不符.y0y0當(dāng) X0M1 時，直線 PF1的斜率為 X?+T，直線 PF2的斜率為 石.X0-1X0+1從而直線 I1的方程：y=-百 (X+1),X0-1

11、直線 I2的方程：y=- y0(X-1).X02-1由，解得 x=-x0, y= y0，所以 Q(沁,X02_1y0)2X0-1因為點 Q 在橢圓上，由對稱性，得2 2X0V0又 P 在橢圓 E 上，故 4 + 3 =1 y2 2亠22-2 2 .X02-y02=1,口 空由獨遼 解得 X0=7.4 + 3 =1 ,y0= 7-2 2 .X0-y0=1 ,22沁淫 無解.4 + 3 =1 ,因此點 P 的坐標(biāo)為(4 j 3*77)(1)求橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程;為 32 cm，容器I的底面對角線 AC 的長為 10.7 cm,容器n的兩底面對角線 EG, E1G1的長分別為 14 cm 和 62

12、cm .分別在容器I和容器n中注入水，水深均為 12 cm .現(xiàn)有一根玻 璃棒 I，其長度為 40 cm (容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計)(1 )將 I 放在容器I中，I 的一端置于點 A 處，另一端置于側(cè)棱 CC!上，求 I 沒入水中部分 的長度；(2 )將 I 放在容器n中，I 的一端置于點 E 處，另一端置于側(cè)棱 GG!上，求 I 沒入水中部分容器1客曙I(第總題)18解：(1)由正棱柱的定義，CCi丄平面 ABCD ,所以平面AIACCI丄平面 ABCD , CCi丄 AC. 記玻璃棒的另一端落在 CC1上點 M 處.因為 AC=10 .1, AM=40 ,所以 MC= , 402-

13、 ( 10,7)2=30，從而 sin / MAC=；,記 AM 與水面的交點為 P1,過 R 作 P1QAC , Q1為垂足，則P1Q1丄平面 ABCD，故P1Q1=12，從而人卩耳和QAc =6答：玻璃棒 I 沒入水中部分的長度為 16 cm.(2)如圖，O,。1是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義， OO1丄平面 EFGH，所以平面 E1EGG1丄平面 EFGH , OQ 丄 EG .同理，平面 E1EGG1丄平面 E1F1G1H1, OjO 丄 E1G1.(第怡題(第18(2)(如果將沒入水中部分”理解為水面以上部分”，則結(jié)果為 24 cm)記玻璃棒的另一端落在 GGi上點 N 處.過

14、 G 作 GK 丄 E1G1, K 為垂足，則 GK =OOi=32.因為 EG = 14 ,EIGI=62,62-14_2_ 222所以 KGi= =24,從而 GGi= KGi+GK = ,24 +32 =40.n4設(shè)/ EGGi=a,/ ENG=3，貝 U sina=sr2+ / KGG1) =cosZKGG1=5.因為 2 a n,所以 cosa-3.心ENG中，由正弦定理可得 s；0=a；43解得Sinn24因為 Ov 3k)總成立，則稱數(shù)列aj 是“p(k)數(shù)列”.(1 )證明：等差數(shù)列an是“p(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“p(2)數(shù)列”，又是“p(3)數(shù)列”，證明：an是

15、等差數(shù)列.19.解：(1)因為an是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則 an=a1+(n-1)d ,從而，當(dāng) n4時，an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a 1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an, k=1 , 2, 3,以an-3+an-2+an-1+an+1+ an+2+an+3=6an,因此等差數(shù)列an是 p ( 3)數(shù)列”.(2)數(shù)列an既是 p (2)數(shù)列”，又是 p (3)數(shù)列”，因此，當(dāng) n3寸，an-2+an-1+an+1+an+2=4an,當(dāng) n4時，an-3+an-2+an-1+an+1+ an+2+ an+3=6an. (-5)會；.由知，an-3+an-2

16、=4an-(an+an+1),an+2+an+3=4an+1-(an-l+an), 將 代入，得 an-i+an+1=2an，其中 n4所以 a3, a4, a5,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.在中，取 n=4，貝Va2+a3+a5+a6=4a4，所以 a2=a3- d 在中，取 n=3,貝Uai+a2+a4+a5=4a3，所以ai=a3-2d； 所以數(shù)列an是等差數(shù)列.3220. (2017年江蘇)已知函數(shù)f(x)=x +ax+bx+1(a 0, b R)有極值， 且導(dǎo)函數(shù)f的極值點是 f(x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)(1 )求 b 關(guān)于 a 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域

17、；(2) 證明：b2 3a；7(3)若 f(x), f(這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于-2，求 a 的取值范圍.220.解：aa(1 )由 f(x)=x3+ax2+bx+1，得 f (x)=3+2ax+b=3(x+ 3)2+b- 3 .a2a當(dāng)x=-3 時，f(有極小值b-3 .因為 f (的)極值點是 f(x)的零點.a _ _ _所以f(-3)=27+9 - 3+1=0，又 a 0,故 b= 9 + a.因為 f(x)有極值，故 f (x)=W實根，從而 b-舄心)3當(dāng) a=3 時，f (0 (x-1)，故 f(x)在 R 上是增函數(shù)，f(x)沒有極值;-a-Q a?-3b-a+p a?-

18、3b當(dāng) a3 時，f以)=有兩個相異的實根 X1=3, X2=3列表如下:x(-m, X1)X1(X1, X2)X2(X2, +m)f (x)+0-0Jf(x)1/極大值極小值/故 f(x)的極值點是 X1, X2.從而 a 3.2 a23因此 b= 9 +a，定義域為(3, +s).b 2a/a 3(2)由(1)知，;a = 9 +aa.2t 32 3 2t2-?7設(shè)g(t) = 9+1，則 g (t) =9-=9t2a3a3ab2a233d63/6當(dāng) t (2, +s)時，g (t) 0,從而 g(t)在(2，+s)上單調(diào)遞增b因為 a 3,所以a ；a 3 3，故 g (a a) g (

19、3 3) = 3,即a ,3.因此 b2 3a.22o 4a -6b(3)由(1)知，f(x)的極值點是 xi, X2,且 xi+x2=-3a, xi+X2=9從而 f(xi)+f(x2)=xi+axi+bxi+1+X2+ax2+bx2+1xi2xz2i222=3 (3xi+2axi+b)+ 3(3x2+2ax2+b)+3a(xi+ X2)+3b(xi+X2)+234a -6ab 4ab= 27-9 +2=0.記 f(x), f(所有極值之和為 h(a),a2i23i23因為 f(的)極值為 b-3=-9a2+a，所以 h(a)=pa2+a，a32 3因為 h (a)=)a-a2h (6),故

20、 a6因此 a 的取值范圍為(3, 6.21. (2017 年江蘇)A .選修 4-1 :幾何證明選講如圖，AB 為半圓 O 的直徑，直線 PC 切半圓 O 于點 C, AP 丄 PC, P 為垂足.求證：(1) / PAC= / CAB ;2(2) AC =AP -AB .解：（1）因為 PC 切半圓 O 于點 C,所以/ PCA= / CBA ,因為 AB 為半圓 O 的直徑，所以/ ACB=90 .因為 AP 丄 PC,所以/ APC=90，所以/ APC= / CBA.AP AC2（2）由（1）知， APCACB，故AC=AB，即 AC =AP -AB .B .選修 4-2 :矩陣與變

21、換已知矩陣 A=0i 0，B=；（2.（1 ）求 AB ；2 2x y（2）若曲線 Ci： 8 + 2=1 在矩陣 AB 對應(yīng)的變換作用下得到另一曲線0 1解：（。因為A=ii 0，B=（0 2，所以 AB=01 0 00 2=；2 (.（2）設(shè) Q （x0,y0）為曲線 C1上的任意一點，它在矩陣 AB 對應(yīng)的變換作用下變?yōu)?P（x, y）,0X0 xJ2y0=x,嚴(yán)y,則區(qū)0席=y，即爲(wèi)，所以m2 2X0V0_因為點 Q （xo, y。）在曲線 C1上，所以 8 + 2=1 ,2 2jX y22從而 8 + 2=1，即 x2+y2=8 .因此曲線 C1在矩陣 AB 對應(yīng)的變換作用下得到曲線

22、C2： x2+y2=8.C.選修 4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程x= 8 + t,（2017 年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知直線 I 的參考方程為 iy= I（t 為參數(shù)）,r 2x = 2s ,曲線 C 的參數(shù)方程為 L =22S（s 為參數(shù)）.設(shè) P 為曲線 C 上的動點，求點 P 到直線 l 的距離的最小值.【解析】 直線 I 的普通方程為 x 2y+ 8 = 0.因為點 P 在曲線 C 上，設(shè) P（2s2, 2 2s）,C2，求 C2的方程.所以當(dāng)點 P 的坐標(biāo)為（4,4）時，曲線 C 上點 P 到直線 I 的距離的最小值為所以點 P 到直線l 的距離 d =|2s2 4 邁 s

23、+ 8| =12+ ( 2)2=2(s2)2+ 45.2 時,dmin=4,55D .選修 4-5 :不等式選講已知 a, b, c, d 為實數(shù),且 a2+ b2= 4, c2+ d2= 16.求證：ac+ bd 8.【證明】由柯西不等式得(ac+ bd)2w(a2+ b2)(c2+ d2).因為 a2+ b2= 4,c2+ d2= 16,所以(ac+ bd)2w64,所以 ac+ bd &22. (2017 年江蘇)如圖，在平行六面體 ABCD-AiBiCiDi中，AA!丄平面 ABCD ,且 AB=AD=2, AAi= .3,/ BAD=120 .(1)求異面直線 AiB 與 A

24、Ci所成角的余弦值；(2 )求二面角 B-AiD-A 的正弦值.22.解：在平面 ABCD 內(nèi)，過點 A 作 AE 丄 AD，交 BC 于點 E .因為 AAi_平面 ABCD，所以 AAi丄 AE , AAi丄 AD .如圖，以AEE, AD, AAi為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.因為 AB=AD=2 , AAi= .；3, / BAD=120 .則 A (0, 0, 0), B ( 3, -1 , 0), D (0, 2, 0), E (山，0, 0), Ai(0, 0, 3), Ci( 3, 1,.3).(1)AiB =(、3,-1,-;3) ,AC1= (:3,1,.3),A1B A$1(V3 -1,-眉)/, 1, 3)1則COS=|A 店應(yīng)1|=7=-71因此異面直線 A1B 與 AC1所成角的余弦值為7(2)平面 AiDA 的一個法向量為 AE= (3,0, 0).又 A1B= (y/3,-1, 3) , BD = (-V3,3, 0),貝 Um A1B =0,TC 即,mBD=0,肩 x-y-頁 z=0,R3x+3y=O.不妨取 x=3，貝 U y=J3, z=2