等比數(shù)列與前n項(xiàng)和

1、 1 環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)學(xué)學(xué)案案 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 年級(jí)：高一年級(jí)：高一 學(xué)科教師：學(xué)科教師： 課課 時(shí)時(shí) 數(shù)：數(shù)： 3 授課類(lèi)型授課類(lèi)型 等比數(shù)列與前等比數(shù)列與前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和 教學(xué)目的教學(xué)目的 掌握等掌握等比比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重、難點(diǎn) 1、通項(xiàng)公式求法！ 教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 2、等比中項(xiàng)、等比中項(xiàng) 若若, ,a A b成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么A叫做叫做, a b的等比中項(xiàng)。兩個(gè)實(shí)數(shù)的等比中項(xiàng)。兩個(gè)實(shí)數(shù), a b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，就是這兩個(gè)數(shù)的的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，就是這兩個(gè)數(shù)的算數(shù)平均數(shù)算數(shù)

2、平均數(shù)ab。 3、等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： 111(0)nn mnmaa qa qa q 其前其前n項(xiàng)的和公式項(xiàng)的和公式11(1),11,1nnaqqsqna q 或或 11,11,1nnaa qqqsna q 等比數(shù)列等比數(shù)列 na中，如果中，如果mnpq,則則mnpqaaaa,特殊地，特殊地，2mpq時(shí)，則時(shí)，則2mpqaaa，ma是是pqaa、的的等比中項(xiàng)。等比中項(xiàng)。 2 等比數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即等比數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即232,nnnnnSSSSS成等比數(shù)列。成等比數(shù)列。 若若an，bn

3、(項(xiàng)數(shù)相同項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列，則an(0)， 1an，a2n，an bn， anbn仍是等比數(shù)列仍是等比數(shù)列 4、等比數(shù)列性質(zhì)的判斷和證明、等比數(shù)列性質(zhì)的判斷和證明 方法一：定義法，方法一：定義法，1(2,)nnaqnnNa數(shù)列數(shù)列 na是等比數(shù)列是等比數(shù)列 方法二：方法二：ancqn1(c，q 均是不為均是不為 0 的常數(shù)，的常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列是等比數(shù)列 方法三：中項(xiàng)法，方法三：中項(xiàng)法， 211(2,)nnnaaannN數(shù)列數(shù)列 na是等比數(shù)列是等比數(shù)列 方法四：方法四：SnA qnA(A、q 為常數(shù)且為常數(shù)且 A0，q0,1)an是公比不為是公比不為 1 的等比數(shù)

4、列的等比數(shù)列 5、知三求二、知三求二 等比數(shù)列有等比數(shù)列有 5 個(gè)基本量，個(gè)基本量，1, , ,nna d n a S，求解它們，多利用方程組的思想，知三求二。注意要弄準(zhǔn)它們的值。，求解它們，多利用方程組的思想，知三求二。注意要弄準(zhǔn)它們的值。 同步講解同步講解 【分析題型】【分析題型】 題型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式題型一：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 (1)在已知等比數(shù)列在已知等比數(shù)列 a1和和 q 的前提下，利用通項(xiàng)公式的前提下，利用通項(xiàng)公式 ana1qn1，可求出等比數(shù)列中的任意一項(xiàng)，可求出等比數(shù)列中的任意一項(xiàng) (2)在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用 ana

5、mqnm可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng)可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng) (3)等比數(shù)列等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式 ana1qn1可改寫(xiě)為可改寫(xiě)為 ana1q qn.當(dāng)當(dāng) q0，且，且 q1 時(shí)，時(shí)，yqx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而 ya1q qx是是一個(gè)不為一個(gè)不為 0 的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列an的圖象是函數(shù)的圖象是函數(shù) ya1q qx的圖象上的一群孤立的點(diǎn)的圖象上的一群孤立的點(diǎn) 3 已知na是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為nS,nb是等比數(shù)列,且1a=1=2b,44+=27ab,44=10Sb. ()求數(shù)列na與nb的通項(xiàng)公式; 1、在等差數(shù)列 na和等比

6、數(shù)列 nb中, 1141,8,nabba的前 10 項(xiàng)和1055S.求na和nb; 2、設(shè) na的公比不為 1 的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為nS,且534,a a a成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列 na的公比; (2)證明:對(duì)任意kN,21,kkkSSS成等差數(shù)列. 題型二：等比數(shù)列的前題型二：等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量 a1，n，q，an，Sn，一般可以，一般可以“知三求二知三求二”，通過(guò)列方程通過(guò)列方程(組組)可迎刃而解可迎刃而解 2解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等

7、比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，并靈活運(yùn)用，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程化運(yùn)算的過(guò)程 3在使用等比數(shù)列的前在使用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比 q 的情況進(jìn)行分類(lèi)討論，切不可忽視的情況進(jìn)行分類(lèi)討論，切不可忽視 q 的取值而盲目用求和公式的取值而盲目用求和公式 設(shè)等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a26,6a1a330.求 an和 Sn. 4 1、等比數(shù)列an滿足：a1a611，a3 a4329，且公比 q(0,1) (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；

8、(2)若該數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn21，求 n 的值 2、已知正項(xiàng)數(shù)列an為等比數(shù)列，且 5a2是 a4與 3a3的等差中項(xiàng)，若 a22，則該數(shù)列的前 5 項(xiàng)的和為( ) A.3312 B31 C.314 D以上都不正 題型三：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型三：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差一字之差”，它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的，它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的“和和”“倍倍數(shù)數(shù)”可以與等比數(shù)列中的可以與等比數(shù)列中的“積積”“冪冪”相類(lèi)比關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握它們，同時(shí)也有利于類(lèi)比

9、思相類(lèi)比關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握它們，同時(shí)也有利于類(lèi)比思想的推廣對(duì)于等差數(shù)列項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算，若能關(guān)注通項(xiàng)公式想的推廣對(duì)于等差數(shù)列項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算，若能關(guān)注通項(xiàng)公式ananf f( (n n) )的下標(biāo)的下標(biāo)n n的大小關(guān)系，可簡(jiǎn)化的大小關(guān)系，可簡(jiǎn)化題目的運(yùn)算題目的運(yùn)算 【典型例題】(1)已知等比數(shù)列an中，有 a3a114a7，數(shù)列bn是等差數(shù)列，且 b7a7，求 b5b9的值； (2)在等比數(shù)列an中，若 a1a2a3a41，a13a14a15a168，求 a41a42a43a44. (3)已知等比數(shù)列前 n 項(xiàng)的和為 2，其后 2n 項(xiàng)的和為 12

10、，求再后面 3n 項(xiàng)的和 5 1、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a2a35，a7a8a910，則 a4a5a6( ) A5 2 B7 C6 D4 2 2、設(shè)an是任意等比數(shù)列，它的前 n 項(xiàng)和，前 2n 項(xiàng)和與前 3n 項(xiàng)和分別為 X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是 ( ) AXZ2Y BY(YX)Z(ZX) CY2XZ DY(YX)X(ZX) 題型四：等比數(shù)列的證明題型四：等比數(shù)列的證明 1定義法：若定義法：若an1anq(q 為非零常數(shù)為非零常數(shù))或或anan1q(q 為非零常數(shù)且為非零常數(shù)且 n2)， 則則an是等比數(shù)列是等比數(shù)列 2中項(xiàng)公式法：若數(shù)列中項(xiàng)公式法：若數(shù)列an中，中

11、，an0 且且 a2n1an an2(nN*)，則數(shù)列，則數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列 3通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成 anc qn1(c，q 均為不為均為不為 0 的常數(shù)，的常數(shù)，nN*)，則，則an是等比數(shù)列是等比數(shù)列 4前前 n 項(xiàng)和公式法：若數(shù)列項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 Snk qnk(k 為常數(shù)且為常數(shù)且 k0，q0,1)，則，則an是等比數(shù)列是等比數(shù)列 設(shè)數(shù)列 na的前n項(xiàng)和nS滿足121nnSa Sa,其中20a . (I)求證: na是首項(xiàng)為 1 的等比數(shù)列; (II)若21a ,求證:1()2nnnSaa,并給出等號(hào)成立

12、的充要條件. 1、成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于 15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上 2、5、13 后成為等比數(shù)列bn中的 b3、b4、b5. 6 (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和為 Sn，求證：數(shù)列Sn54是等比數(shù)列 2、已知數(shù)列an中，a123，a289.當(dāng) n2 時(shí)， 3an14anan1(nN*) (1)證明：an1an為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng) 2倒序相加法倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列an，首末兩端等，首末兩端等“距離距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即可用倒序相項(xiàng)和即可用

13、倒序相加法，如等差數(shù)列的前加法，如等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的 7 3錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和即可用此法來(lái)項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如求，如 等比等比數(shù)列的前數(shù)列的前 n 項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的 4裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和 常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有

14、：常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有： (1)1n n1 1n1n1； (2)1n nk 1k(1n1nk)； (3)1 2n1 2n1 12(12n112n1)； (4)1n n1 n2 121n n1 1 n1 n2 ； (5)1nn1n1 n； (6)1nnk1k( nk n) 5分組求和法分組求和法 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減 6并項(xiàng)求和法并項(xiàng)求和法 一個(gè)數(shù)列的前一個(gè)數(shù)列的前 n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和形如項(xiàng)和中，可

15、兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和形如 an(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解 1.1.公式法公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式， 特別聲明特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與公比與 1 的關(guān)系，必要時(shí)需分類(lèi)討論.；常用公式：1123(1)2nn n ，222112(1)(21)6nn nn，33332(1)1232n nn. 1 、已知3log1log23x，求 nxxxx32的前 n 項(xiàng)和. 8 等比數(shù)列na的前n項(xiàng)和 S2，則2232221naaaa_ ； 2.2.分組求和法分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類(lèi)項(xiàng)”先

16、合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 2、 求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：231, 71, 41, 1112 naaan， 求和：1 357( 1) (21)nnSn 3.3.倒序相加法倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）. 3、求89sin88sin3sin2sin1sin22222 的值 9 已知22( )1xf xx，則111(1)(2)(3)(4)( )( )( )234fffffff_； 4.4.錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)

17、相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法）. 4、 求和：132) 12(7531 nnxnxxxS 5、求數(shù)列 ,22,26,24,2232nn前 n 項(xiàng)的和. 設(shè)na為等比數(shù)列，121(1)2nnnTnanaaa，已知11T ，24T ，求數(shù)列na的首項(xiàng)和公比；求數(shù)列 nT的通項(xiàng)公式.； 5.5.裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有： 111(1)1n nnn；11 11()()n nkk nnk； 2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkk

18、kkkk； 10 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn ；11(1)!(1)!nnnn； 2122(1)2(1)11nnnnnnnnn . . 6、 求數(shù)列 ,11,321,211nn的前 n 項(xiàng)和. 7、 在數(shù)列an中，11211 nnnnan，又12nnnaab，求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)的和. （1）求和：1111 44 7(32)(31)nn ； （2 2）在數(shù)列na中，11nnan，且 S，則 n_ ； 1、數(shù)列1，a，2a，1na，的前n項(xiàng)和是（ ） A11naa B111naa C211naa D以上均不正確 2、若數(shù)列的前n項(xiàng)和為10nnSaa，則這個(gè)數(shù)列是（

19、 ） A等比數(shù)列 B等差數(shù)列 C等比或等差數(shù)列 D非等差數(shù)列 3、等比數(shù)列 na的首項(xiàng)為1，公比為q，前n項(xiàng)和為S，由原數(shù)列各項(xiàng)的倒數(shù)組成一個(gè)新數(shù)列1na，則1na的前n項(xiàng)之和是（ ） 11 A1S B1nq S C1nSq DnqS 4、已知數(shù)列 na的前n項(xiàng)的和是nS，若12nnnSSa，則 na是（ ） A遞增的等比數(shù)列 B遞減的等比數(shù)列 C擺動(dòng)的等比數(shù)列 D常數(shù)列 5、某工廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長(zhǎng)10，從今年起五年內(nèi)這個(gè)工廠的總產(chǎn)值是（ ） A41.1 a B51.1 a C510 1.11 a D211 1.11 a 6、等比數(shù)列前n項(xiàng)和為54，前2n項(xiàng)和為60

20、，則前3n項(xiàng)和為（ ） A54 B64 C2663 D2603 7、在等比數(shù)列中，301013SS，1030140SS，則20S（ ） A90 B70 C40 D30 8、等比數(shù)列 na中，29a ，5243a ，則 na的前4項(xiàng)和為（ ） A81 B120 C168 D192 9、一個(gè)等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為48，前14項(xiàng)和為60，則前21項(xiàng)和為（ ） A180 B108 C75 D63 10、在14與78之間插入n個(gè)數(shù)組成等比數(shù)列，若各項(xiàng)總和為778，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是（ ） A4 B5 C6 D7 11、數(shù)列1，1 2，21 22 ， （21 22 12n） ，的前n項(xiàng)和等于（ ） A12nn

21、 B122nn C2nn D2n 12、首項(xiàng)為a的數(shù)列 na既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和為（ ） A1na Bna Cna D1na 13、設(shè)等比數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為nS，前n項(xiàng)的倒數(shù)之和為n，則nnS的值為（ ） A1na a B1naa C1nnna a D1nnaa 14、某林廠年初有森林木材存量S3m，木材以每年25的增長(zhǎng)率生長(zhǎng)，而每年末要砍伐固定的木材量x3m，為實(shí)現(xiàn) 12 經(jīng)過(guò)兩年砍伐后的木材的存量增加50，則x的值是（ ） A32S B34S C36S D38S 15、 已知數(shù)列 na的前n項(xiàng)和為20,0nnSba ab 若數(shù)列 na是等比數(shù)列， 則a、b應(yīng)滿足的條件為 （ ） A0ab B0ab C0ab D0ab 16、在正項(xiàng)等差比數(shù)列 na中，若27S ，691S ，則4S的值為（ ） A28 B32 C35 D49 17、等比數(shù)列 na的各項(xiàng)均為正數(shù)，且564718a aa a，則3132loglogaa310l