電容綜合問題與兩大守恒定律

1、電容綜合問題與兩大守恒定律 武義第一中學(xué) 陶漢斌（321200）近幾年中學(xué)物理競(jìng)賽試題中常出現(xiàn)關(guān)于電容的綜合問題，這類問題難度較大，正確解答此類問題往往要利用其它相關(guān)物理知識(shí)，特別是電荷守恒定律、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，這兩大最基本的定律在解題中有著廣泛的應(yīng)用。現(xiàn)根據(jù)近幾年的競(jìng)賽情況對(duì)電容綜合問題進(jìn)行歸類分析。一、電容與能量守恒的綜合對(duì)于電容為的電容器，當(dāng)電容器兩極板間的電勢(shì)差為時(shí)，所儲(chǔ)電場(chǎng)能為，而在充電過程中電源所釋放的能量為Q=2W。該能量可以與其它形式的能相互轉(zhuǎn)化，因此可結(jié)合能量守恒來解符合相關(guān)的問題。例1 假想有一水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度很大，有一半徑為，厚度為(<<)的金

2、屬圓盤在此磁場(chǎng)中豎直下落，盤面始終位于豎直平面內(nèi)并與磁場(chǎng)方向平行，如圖1所示，若要使圓盤在磁場(chǎng)中下落的加速度比沒有磁場(chǎng)時(shí)減小千分這一（不計(jì)空氣阻力）試估算所需磁感強(qiáng)度的數(shù)值，假定金屬盤的電阻為零，金屬的密度=9×103kg/m3，介電常數(shù)為=9×1012C2/N·m2。分析與解：金屬圓盤在下落過程中，金屬圓盤的能量肯定要達(dá)到一個(gè)動(dòng)態(tài)的平衡，即在某段時(shí)間內(nèi)圓盤下落過程中減少的重力勢(shì)能等于圓盤增加的動(dòng)能和圓盤電容器中所增加的電場(chǎng)能。當(dāng)盤在磁場(chǎng)中下落速度從增加到，時(shí)： 金屬圓盤減少的重力勢(shì)能：E1=mg(+，)t/2圓盤增加的動(dòng)能： E2=1/2 m(、2­2

3、)圓盤電容器增加的電場(chǎng)能：E3=1/2 C（U，2­U2），其中 、=Bd，=d，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律：E1= E2 +E3得mg(+，)t/2=1/2 m(、2­2)+ 1/2 C（U，2­U2）即：m g t= ( m +CB2d2 )(，-)， 由此得盤的加速度：按題意：，由此得，例2 如圖2，電源的電動(dòng)勢(shì)為，電容器的電容為，是單刀雙擲開關(guān)，、是兩根位于同一水平面的平行光滑大導(dǎo)軌，它們的電阻可以忽略不計(jì)，兩導(dǎo)軌間距為，導(dǎo)軌處在磁感強(qiáng)度為的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于兩導(dǎo)軌所在的平面并指向圖中紙面向里的方向，是兩根橫放在導(dǎo)軌上的導(dǎo)體小棒，質(zhì)量分別為和且它們的導(dǎo)

4、軌上滑動(dòng)時(shí)與導(dǎo)軌保持垂直并接觸良好，不計(jì)摩擦，兩小棒的電阻相同，開始時(shí)兩根小棒均靜止在導(dǎo)軌上，現(xiàn)將開關(guān)S先合向1，然后合向2，求：（1）兩根小棒最終速度的大小。（2）在整個(gè)過程中的焦耳熱損耗。（當(dāng)回路中有電流時(shí)，該電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)可以忽略不計(jì)）。分析與解：開關(guān)S由1合向2之后，起初電容器通過導(dǎo)軌及兩小棒構(gòu)成的回路放電，外磁場(chǎng)B對(duì)通有電流的兩小棒施加向右的安培力，使兩小棒從靜止開始向右做加速運(yùn)動(dòng)；隨后，由于以下三個(gè)因素：（1）電容器的放電電流是隨時(shí)間衰減的；（2）兩小棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)切割磁感線所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)阻礙電容器通過小棒放電；（3）開始時(shí)兩棒受到的安培力相等，但由于兩棒質(zhì)量不等，故獲得的速度

5、不等，L1的速度1較大，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)亦較大，從而使流經(jīng)該棒的電流比較小，導(dǎo)致L1所受的安培力較小，相應(yīng)的加速度也較小，兩棒加速過程中的差異最終導(dǎo)致兩棒以相同的速度運(yùn)動(dòng)，并使兩棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)均等于電容器兩端的電壓，流經(jīng)兩棒的電流為零，它們所受的安培力消失，兩棒維持以相同的速度做勻速運(yùn)動(dòng)。自電容器開始放電至小棒達(dá)到最終速度恒定的過程中，任一時(shí)刻的電流如圖3所示，此時(shí)作用于L1和L2上的安培力分別為： 在到時(shí)間內(nèi)，兩棒增加的動(dòng)量由動(dòng)量定理給出，即： 由于開始時(shí)兩棒均靜止，最終兩棒速度相等，設(shè)最終速度為，則有：， 兩式相加，得： 任何時(shí)刻，通過的電流的代數(shù)和等于電容的放電電流，即 而 式中Q為

6、剛開始放電時(shí)電容正極板帶的電量，q為小棒達(dá)到最終速度時(shí)電容器正極板帶的電量，顯然 由、式得，解得。電容器開始放電時(shí)，所具有的電能為。棒達(dá)到最終速度時(shí)電容器的儲(chǔ)能為。兩棒最終的動(dòng)能之和為，根據(jù)能量守恒可知，在整個(gè)過程中的焦耳熱為。二、電容與電荷守恒定律的綜合電容器在充電、放電的過程中，應(yīng)滿足電荷守恒定律，因此要結(jié)合電荷守恒定律來解答相關(guān)問題。例3 3個(gè)相同的電容與2個(gè)電池連接成如圖4所示的電路，已知=3V，=4.5V，當(dāng)S1、S2接通后，求、。分析與解：根據(jù)電壓關(guān)系得：=3V。 =4.5V。 根據(jù)電荷守恒定律可得：+=0 由式、式可求得=3.5V，=0.5V，=4.0V。例4 在圖5所示的電路中

7、，3個(gè)電容器、的電容值均等于，電源的電動(dòng)勢(shì)為，、為電阻，S為雙擲開關(guān)，開始時(shí)，3個(gè)電容器都不帶電，S先接通再通，再接通，再接通，如此反復(fù)換向，設(shè)每次接通前都已達(dá)到靜電平衡，試求：（1）當(dāng)S第次接通并達(dá)到平衡后，每個(gè)電容器兩端的電壓各是多少？（2）當(dāng)反復(fù)換向的次數(shù)無限增多時(shí)，在所有電阻上消耗的總電能是多少？分析與解答：為了求每個(gè)電容器兩端的電壓，我們先來求每個(gè)電容器上的電壓，原來3個(gè)電容器都不帶電，所以當(dāng)?shù)?次接通后，電路為和串聯(lián)，兩者的電容又相等，所以等效電容應(yīng)為，由此可知，帶的電量應(yīng)為 下面來求第次接通后上的電量。我們用、依次表示每次接通時(shí)，電池在該次中對(duì)充電（增加）的電量，因充電時(shí)和串聯(lián)，根據(jù)電荷守恒，每次充電時(shí)給增加的電量應(yīng)是、接通次后，上的電量應(yīng)為=+ 在第次接通之前，即第1次接通之后，上的總電量為+，根據(jù)電荷守恒，此時(shí)和并聯(lián)，兩者的電容又相等，所以和上的電量也相等，皆為(+)/2，由此可知，第次接通后，上的電量應(yīng)為：= 所以和上的電壓應(yīng)為=(+)/C 所以和上的電壓應(yīng)為。 由電壓關(guān)系知 由、式可得： 同時(shí)，對(duì)+1次接通后有 -式，得 這就是說，后一次接通時(shí)，上充電增加的電量與前一次之比是一個(gè)常數(shù)1/4，可見，每次充電上增加的電量是接等比級(jí)數(shù)增長(zhǎng)的，由和式可知，第將次接通后，上的總電量為： 第將次