電容綜合問題與兩大守恒定律

1、電容綜合問題與兩大守恒定律 武義第一中學 陶漢斌（321200）近幾年中學物理競賽試題中常出現(xiàn)關(guān)于電容的綜合問題，這類問題難度較大，正確解答此類問題往往要利用其它相關(guān)物理知識，特別是電荷守恒定律、能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，這兩大最基本的定律在解題中有著廣泛的應用?，F(xiàn)根據(jù)近幾年的競賽情況對電容綜合問題進行歸類分析。一、電容與能量守恒的綜合對于電容為的電容器，當電容器兩極板間的電勢差為時，所儲電場能為，而在充電過程中電源所釋放的能量為Q=2W。該能量可以與其它形式的能相互轉(zhuǎn)化，因此可結(jié)合能量守恒來解符合相關(guān)的問題。例1 假想有一水平方向的勻強磁場，磁感強度很大，有一半徑為，厚度為(<<)的金

2、屬圓盤在此磁場中豎直下落，盤面始終位于豎直平面內(nèi)并與磁場方向平行，如圖1所示，若要使圓盤在磁場中下落的加速度比沒有磁場時減小千分這一（不計空氣阻力）試估算所需磁感強度的數(shù)值，假定金屬盤的電阻為零，金屬的密度=9×103kg/m3，介電常數(shù)為=9×1012C2/N·m2。分析與解：金屬圓盤在下落過程中，金屬圓盤的能量肯定要達到一個動態(tài)的平衡，即在某段時間內(nèi)圓盤下落過程中減少的重力勢能等于圓盤增加的動能和圓盤電容器中所增加的電場能。當盤在磁場中下落速度從增加到，時： 金屬圓盤減少的重力勢能：E1=mg(+，)t/2圓盤增加的動能： E2=1/2 m(、2­2

3、)圓盤電容器增加的電場能：E3=1/2 C（U，2­U2），其中 、=Bd，=d，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律：E1= E2 +E3得mg(+，)t/2=1/2 m(、2­2)+ 1/2 C（U，2­U2）即：m g t= ( m +CB2d2 )(，-)， 由此得盤的加速度：按題意：，由此得，例2 如圖2，電源的電動勢為，電容器的電容為，是單刀雙擲開關(guān)，、是兩根位于同一水平面的平行光滑大導軌，它們的電阻可以忽略不計，兩導軌間距為，導軌處在磁感強度為的均勻磁場中，磁場方向垂直于兩導軌所在的平面并指向圖中紙面向里的方向，是兩根橫放在導軌上的導體小棒，質(zhì)量分別為和且它們的導

4、軌上滑動時與導軌保持垂直并接觸良好，不計摩擦，兩小棒的電阻相同，開始時兩根小棒均靜止在導軌上，現(xiàn)將開關(guān)S先合向1，然后合向2，求：（1）兩根小棒最終速度的大小。（2）在整個過程中的焦耳熱損耗。（當回路中有電流時，該電流產(chǎn)生的磁場可以忽略不計）。分析與解：開關(guān)S由1合向2之后，起初電容器通過導軌及兩小棒構(gòu)成的回路放電，外磁場B對通有電流的兩小棒施加向右的安培力，使兩小棒從靜止開始向右做加速運動；隨后，由于以下三個因素：（1）電容器的放電電流是隨時間衰減的；（2）兩小棒在磁場中運動切割磁感線所產(chǎn)生的感應電動勢阻礙電容器通過小棒放電；（3）開始時兩棒受到的安培力相等，但由于兩棒質(zhì)量不等，故獲得的速度

5、不等，L1的速度1較大，產(chǎn)生的感應電動勢亦較大，從而使流經(jīng)該棒的電流比較小，導致L1所受的安培力較小，相應的加速度也較小，兩棒加速過程中的差異最終導致兩棒以相同的速度運動，并使兩棒產(chǎn)生的感應電動勢均等于電容器兩端的電壓，流經(jīng)兩棒的電流為零，它們所受的安培力消失，兩棒維持以相同的速度做勻速運動。自電容器開始放電至小棒達到最終速度恒定的過程中，任一時刻的電流如圖3所示，此時作用于L1和L2上的安培力分別為： 在到時間內(nèi)，兩棒增加的動量由動量定理給出，即： 由于開始時兩棒均靜止，最終兩棒速度相等，設(shè)最終速度為，則有：， 兩式相加，得： 任何時刻，通過的電流的代數(shù)和等于電容的放電電流，即 而 式中Q為

6、剛開始放電時電容正極板帶的電量，q為小棒達到最終速度時電容器正極板帶的電量，顯然 由、式得，解得。電容器開始放電時，所具有的電能為。棒達到最終速度時電容器的儲能為。兩棒最終的動能之和為，根據(jù)能量守恒可知，在整個過程中的焦耳熱為。二、電容與電荷守恒定律的綜合電容器在充電、放電的過程中，應滿足電荷守恒定律，因此要結(jié)合電荷守恒定律來解答相關(guān)問題。例3 3個相同的電容與2個電池連接成如圖4所示的電路，已知=3V，=4.5V，當S1、S2接通后，求、。分析與解：根據(jù)電壓關(guān)系得：=3V。 =4.5V。 根據(jù)電荷守恒定律可得：+=0 由式、式可求得=3.5V，=0.5V，=4.0V。例4 在圖5所示的電路中

7、，3個電容器、的電容值均等于，電源的電動勢為，、為電阻，S為雙擲開關(guān)，開始時，3個電容器都不帶電，S先接通再通，再接通，再接通，如此反復換向，設(shè)每次接通前都已達到靜電平衡，試求：（1）當S第次接通并達到平衡后，每個電容器兩端的電壓各是多少？（2）當反復換向的次數(shù)無限增多時，在所有電阻上消耗的總電能是多少？分析與解答：為了求每個電容器兩端的電壓，我們先來求每個電容器上的電壓，原來3個電容器都不帶電，所以當?shù)?次接通后，電路為和串聯(lián)，兩者的電容又相等，所以等效電容應為，由此可知，帶的電量應為 下面來求第次接通后上的電量。我們用、依次表示每次接通時，電池在該次中對充電（增加）的電量，因充電時和串聯(lián)，根據(jù)電荷守恒，每次充電時給增加的電量應是、接通次后，上的電量應為=+ 在第次接通之前，即第1次接通之后，上的總電量為+，根據(jù)電荷守恒，此時和并聯(lián)，兩者的電容又相等，所以和上的電量也相等，皆為(+)/2，由此可知，第次接通后，上的電量應為：= 所以和上的電壓應為=(+)/C 所以和上的電壓應為。 由電壓關(guān)系知 由、式可得： 同時，對+1次接通后有 -式，得 這就是說，后一次接通時，上充電增加的電量與前一次之比是一個常數(shù)1/4，可見，每次充電上增加的電量是接等比級數(shù)增長的，由和式可知，第將次接通后，上的總電量為： 第將次