溴化鋰水溶液物性參數(shù)表達(dá)式

1、溴化鋰水溶液物性參數(shù)表達(dá)式中國科學(xué)院廣州能源研究所 陳偉康 夏文慧摘要本文用線性回歸分析的方法,將“國產(chǎn)溴化鋰水溶液物性圖表集”中給出的物性參數(shù)實(shí)測值整理成數(shù)學(xué)表達(dá)式。引言為了較方便地在計(jì)算機(jī)上處理試驗(yàn)數(shù)據(jù)和進(jìn)行溴化鋰吸收式制冷機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算,需將溴化鋰水溶液(LiBr-H2O的物性參數(shù)公式化。目前國內(nèi)通用的物性參數(shù)為“國產(chǎn)溴化鋰水溶液物性圖表集”,應(yīng)用其實(shí)測數(shù)據(jù)表,采用回歸分析的方法,可以歸納出比重d,濃度x,粘度,熱傳導(dǎo)系數(shù)K,表面張力系數(shù)等物性參數(shù)的表達(dá)式。在一些文獻(xiàn)里,可以找到比熱Cp,熱焓H與溶液溫度t、濃度x的關(guān)系式,即Cp=Cp(t,x,H=H(t,x。同時(shí),溶液的平衡方程可以

2、表示為:t=f(p,x,這里p是溶液的平衡壓力P。所以,測出溶液的平衡壓力P溫度t和比重d,就能推算出各物性參數(shù)。一、多元線性回歸分析的基本原理和計(jì)算步驟若隨機(jī)變量Y隨自變量x1,x2,þ,x n變化且存在線性組合的相關(guān)關(guān)系,則可以采用一定的方法對m組觀測數(shù)據(jù)(xit,x2t,þ,xntt= 1,2,þ,m進(jìn)行處理,尋找Y與x1,x 2,þ,xn的關(guān)系式。用最小二乘法進(jìn)行線性回歸分析是最古老的也是最簡便的方法之一。具體計(jì)算方法如下:記Y=a0+a1x1+a2x2+a n x n(1將m組觀測數(shù)據(jù)(x1,x2,þ,xn代入(1式,可以得到m個(gè)Y

3、的計(jì)算值,記為ì,用這m個(gè)計(jì)算值與Y的m個(gè)觀測值求差的平方和,并使之最小,來確定a,a1,a2,þ,a n各個(gè)系數(shù),這就是最小二乘法,而a,a1,a2,þ,an叫做回歸系數(shù)。用數(shù)學(xué)式子表示如下:=mtttYYQ12(=+=mtntnttxaxaaY1211(L=min(2由數(shù)學(xué)分析的極值原理可知:若使aj滿足下列方程組:=jaQj=0,1,2,þ,n(3則aj就是使Q最小的各個(gè)回歸系數(shù)。由0=aQ(1+aa可以得到: 2211=+=ntntttmtxaxaxY LThis paper was published in September 1987 No.

4、3, Refrigeration, Guangzhou, China, page 15-20即(22110n n x a x a x a Y +=L a=nj j j x a Y 1(4式中:=mt t Y m 11Y=mt jt j x m x 11 j=1,2,þ,n將式(4代入式(2得: =mt nj j jt j t x x a Y Y Q 121(將上式代入式(3,且取j=1,2,þ,n就可以得到n 個(gè)聯(lián)立方程組:(111=j nj jt j jtnj jtm t x x x xa Y Y 整理后得到:(111i jt t m t ji it j jtmt n j

5、 x Y a x x x x=(5其中:i=1,2,þ,n這個(gè)方程組稱為“正則方程”或“法方程”。通過解此線性方程組就可以將a j 求出,而a 0可以通過式(4求出。把式(5寫得直觀一點(diǎn):=+=+=+nyn nn n n yn n y n n A a A a A a A A a A a A a A A a A a A a A L L L L L 22112222212111212111(6上式中:(1i it j jt mt ij x x x x A =1111=mt it mt mt jt jt it x x m x x(1i it t mt iy x x Y Y A =1111=

6、mt t mt mt it it t Y x m x Y二、檢驗(yàn)回歸分析的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量為了估計(jì)以上回歸分析得到的系數(shù)a j 的可靠程度,要進(jìn)行方差分析,對Y的殘差平方和Q,回歸平方和U,剩余標(biāo)準(zhǔn)差S和相關(guān)系數(shù)R進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算。殘差平方和:Q 21(t t mt Y Y =回歸平方和:21(Y Y t m t =UU和Q的比值越大則表示Y與這些自變量的線性關(guān)系越密切,回歸出來的規(guī)律性越強(qiáng),回歸出來的結(jié)果可信程度越高。剩余標(biāo)準(zhǔn)差:1=n m QSS可以看作是排除了x i 對Y的線性影響以后(或者說當(dāng)x i 取固定值時(shí)衡量Y值隨機(jī)波動(dòng)大小的一個(gè)估計(jì)值。根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),對于固定的x i 值,Y的取值是

7、以ì0為中心而對稱分布的。越靠近ì0的地方出現(xiàn)的機(jī)會越大,而離ì0較遠(yuǎn)的地方出現(xiàn)的機(jī)會就越小,且與剩余標(biāo)準(zhǔn)差之間有如下的關(guān)系:落在ì0±0.5S 的概率為0.38 落在ì0±S 的概率為0.68 落在ì0±2S 的概率為0.95 落在ì0±3S 的概率為0.997 由此可見S 越小,從回歸方程計(jì)算Y就越精確。因此S是預(yù)報(bào)精度的標(biāo)志,在實(shí)際使用中只要比較S值與允許的偏差就行。S是檢驗(yàn)一個(gè)回歸是否有效的極其重要的標(biāo)志。處理溴化鋰水溶液物性參數(shù)時(shí),我們認(rèn)為測量值是正態(tài)分布的,測量值與真實(shí)值Y

8、的誤差Y Y t =也是隨機(jī)變量。在這里各統(tǒng)計(jì)量表示了測量值Y t 的統(tǒng)計(jì)特征。 相關(guān)系數(shù)yyyy yy yy S QS Q S S U R =1 式中21(Y Y U Q t mt yy =+=S21121=mt t mt t Y m Y 稱為離差平方和。由R的定義可知,R 2實(shí)質(zhì)上是Y 的回歸平方和U與Y的離差平方和S y y 的比值,這個(gè)比值的大小表示了Y與x 1,x 2,þ,x n 的線性關(guān)系的密切程度。顯然0R1,R越接近1,表明Y與x 1,x 2,þ,x n 的線性關(guān)系越密切。我們用R進(jìn)行顯著性檢驗(yàn),若R>0.99,則認(rèn)為Y與x 1,x 2,þ,

9、x n 存在的線性關(guān)系是真實(shí)的,可靠的。當(dāng)然,可以提高檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn),尋求更確切的表達(dá)式,不過,這對工程計(jì)算顯得太繁雜了。三、對溴化鋰水溶液幾個(gè)物性參數(shù)的處理方法溴化鋰水溶液的物性參數(shù)可以表示為溶液溫度t ,濃度x 的函數(shù),即Y=Y(t, x,但Y=Y(t, x 一般來說并不是簡單的線性組合關(guān)系。計(jì)算結(jié)果將表明,它們之間的關(guān)系是多項(xiàng)式的曲線關(guān)系,換句話,我們可以用t、x 的復(fù)合多項(xiàng)式來逼近物性參數(shù)表達(dá)式,一般地,物性參數(shù)可以表示為多項(xiàng)式:nBmB B n m Bk k n k m k x t a x t a a x t a Y +=L 11100(作變量置換:u k =t m(kx n(k 則=Bk

10、 k k u a Y 0進(jìn)行線性回歸分析。對于參考資料1中表1-1,表1-3,表5,表6所提供的數(shù)據(jù),不同的物性采用不同的變量置換方式。計(jì)算熱傳導(dǎo)系數(shù)時(shí)則使用本文中表2提供的數(shù)據(jù)?；貧w分析的結(jié)果如本文中表1。 表1中最大相對誤差ttt Y Y Y =maxmax 表3是取溫度t=50,70ºC 時(shí)幾組用得到的表達(dá)式計(jì)算值與實(shí)測值的比較,從表中可以看出計(jì)算的結(jié)果是滿意的。表 2 國產(chǎn)溴化鋰水溶液的導(dǎo)熱系數(shù)K(t,x溫度tºC濃度x%0 25 50 75 100 20 0.43 0.47 0.49 0.52 0.53 40 0.39 0.42 0.44 0.46 0.47 50

11、 / 0.39 0.42 0.44 0.45 60 / 0.37 0.39 0.41 0.43 65 / / 0.37 0.39 0.41單位:Kcal/m ·hr·ºC表 1 計(jì)算結(jié)果 物性表達(dá)式系數(shù)相關(guān)系數(shù)R剩余標(biāo)準(zhǔn)差S最大相對誤差max備注比重 d(t,x d(t,x=a 0+a 1t+a 2t1.2+a 3t 1.5+a 4x +a 5x 1.2+a 6x1.5a 0=1.637442 a 4=-3.747908x10-2a 1=-2.725975x10-3 a 5=-1.078937x10-3a 2=1.358832x10-3 a 6=5.379461x

12、10-3a 3=-1.319372x10-40.99962140.0040.008由程序YT.BAS 計(jì)算出來10ºCt130ºC 40%x69% 濃度 x(t,d x(t,d=a 0+a 1t+a 2t2+a 3t 3+a 4d+a 5d 2+a 6d 3a 0=-54.26707 a 4=24.60376a 1=3.609289x10-2 a 5=60.99763a 2=2.807792x10-6a 6=-21.54662a 3=-1.551979x10-70.9999844 0.048 0.008YT2.BAS10ºCt130ºC 1.337d1.

13、913 導(dǎo)熱系數(shù) k(t,xk(t,x=a 0+a 1t+a 2t2+a 3t 3+a 4x+a 5x 2+a 6x3a 0=0.5218988 a 4=-5.514559x10-3a 1=1.412948x10-3 a 5=7.640728x10-5a 2=-6.741987x10-6 a 6=-6.098338x10-7a 3=1.729977x10-80.9955511 0.005 0.017YT4.BAS0ºCt100ºC 20%x65%粘度 (t,x=+=424040,(n nn n n n n n n x C t x B t x A x t A 0=1.7041

14、52 A 1=0.1084067B 0=-5.783394x10-2 B 1=4.951459x10-4C 0=-1.105483x10-4 C 1=5.288185x10-6A 2=-2.735067x10-3 A 3=-5.659458x10-5B 2=7.123706x10-5 B 3=-1.907971x10-6C 2=-2.111622x10-7 C 3=8.204797x10-9A 4=1.9218x10-6B 4=2.24932x10-9C 4=-4.476927x10-110.9948549 0.17 0.04YT5.BAS10ºCt130ºC 40%x68

15、%表面張力系數(shù) (t,x(t,x=a 0+a 1t+a 2t2+a 3t 3+a 4x+a 5x 2+a 6x 3a 0=49.48395 a 4=1.750322a 1=-1.462354 a 5=-3.078061x10-2a 2=6.750326x10-4 a 6=2.477215x10-4a 3=-2.023934x10-60.9991239 0.200 0.009YT4A.BAS25ºCt130ºC 40%x70%表 3 t=50, 70ºC 時(shí)實(shí)測值與表達(dá)式計(jì)算值比較比重d(t, x導(dǎo)熱系數(shù) k(t, x粘度系數(shù)(t,x實(shí)測值計(jì)算值實(shí)測值計(jì)算值實(shí)測值計(jì)

16、算值濃度 x % 50ºC 70ºC 50ºC 70ºC 50ºC 70ºC 50ºC 70ºC 50ºC 70ºC 50ºC 70ºC 40 1.369 1.359 1.366 1.363 0.44 0.456 0.44 0.456 1.288 0.982 1.382 0.991 50 1.516 1.504 1.517 1.502 0.42 0.436 0.417 0.432 2.116 1.598 2.195 1.498 60 1.704 1.693 1.705 1.6

17、96 0.39 0.406 0.390 0.406 4.673 3.318 4.930 3.370表面張力系數(shù)(t,x濃度 x(t, d實(shí)測值計(jì)算值實(shí)測值計(jì)算值濃度 x % 50ºC 70ºC 50ºC 70ºC 50ºC 70ºC 50ºC 70ºC 備 注 40 80.4 79.2 80.3 78.5 40 40 40.2 40.1 x(t, d 實(shí)測值 50 85.2 83.5 85.2 83.4 50 50 49.9 49.9 x(t, d 實(shí)測值 6091.2 89.6 91.4 89.6 60 60 5

18、9.95 60.1x(t, d 實(shí)測值注:實(shí)測值就是文獻(xiàn)1和表2給出的值。以上涉及物理量的單位為: 導(dǎo)熱系數(shù)k-kcal/m ·hr ·ºC 溫度t-ºC表面張力系數(shù)-達(dá)因/厘米 濃度x-每百公斤溶液含LiBr粘度系數(shù)(t,x-是動(dòng)力粘度,厘泊(CP的公斤數(shù)比重d-kg/l四、容積膨脹系數(shù)=(t,x有了比重的表達(dá)式d=d (t, x,就可以推導(dǎo)出溶液的容積膨脹系數(shù)=(t,x。根據(jù)定義:t v v =1 Cº1這里v是溶液的比容,m 3/kg ,t是溫度ºC因?yàn)閐1=v所以,td d d d t d t v v =1(1(12td d =1由表