用畢奧薩伐爾計(jì)算磁偶極子的磁場分布

1、用畢奧 -薩伐爾定律計(jì)算磁偶極子的磁場分布李建青(武漢理工大學(xué)物理系 , 武漢 430070(收稿日期 :2004-03-01摘 要 本文提供了一種用畢奧 -薩伐爾定律求解磁偶極子的磁場分布公式的方法 . 此方法簡 單明了 , 求解過程嚴(yán)謹(jǐn) , 為針對(duì)低年級(jí)大學(xué)生開設(shè)的 /大學(xué)物理 0課程中導(dǎo)出磁偶極子 磁場的公式提供了一個(gè)很好的途徑 .關(guān)鍵詞 磁偶極子 ; 小環(huán)流 ; 磁場 ; 畢奧 -薩伐爾定律CALCULATING THE MAGNETIC FIELD OF A MAGNETIC DIPOLE BY BIOT -SAVART . S LAWLi Jianqing(Physics Depa

2、rtment, Wuhan University of Science &Technology, Wuhan 430070Abstract This paper offers a concise and rigorous method to calculate the magnetic field by a magnetic dipole using Bio-t Savart . s la w. It is given a good wa y to demonstrate magnetic field formula for a magneticdipole to junior stu

3、dents in studying physics.Key Words magnetic dipole; coin carrying current; magnetic field; Bio-t Savart . s la w1 引言磁偶極 子是靜磁 場中 的一個(gè) 重要的 物理模 型 , 對(duì)研究 物質(zhì)磁 性本質(zhì)有 極其重 要的意 義 . 在 /大學(xué)物理 0課程中對(duì)眾多工科低年級(jí)大學(xué)生介紹 磁偶極子及其性質(zhì) , 尤其磁偶極子的磁場分布 , 是 十分必要的 . 然而 , 一般只在高年級(jí)學(xué)生用的 5電 磁學(xué) 6和 5電動(dòng)力學(xué) 6教材中通過引入磁荷的概念 與電荷類比的方法 1, 或通過求矢勢 A ,

4、再用 B =$A 求出磁偶極子的磁場分布 2; 另有一些文 獻(xiàn)36用 較復(fù)雜的 數(shù)學(xué)近似 求出圓電 流磁場分布 , 在滿足一定條件下導(dǎo)出磁偶極子的磁場公式 . 在現(xiàn)行 的 工科 非 物 理 專業(yè) 用 的 5大 學(xué) 物 理 6教 材 79中 , 磁偶極子的磁場分布公式可謂 /鮮為人 見 0的 . 本文將用畢奧 -薩伐爾定律求出磁偶極子 .2 用畢奧 -薩伐爾定律求圓電流的磁場如圖 1所示 , 將載有電流 I , 半徑為 R 的圓電 流置于直角坐標(biāo)系 Oxyz 中 , 取圓心為坐標(biāo)原點(diǎn) , 其 軸線為 z 軸 . 取觀察點(diǎn) P 在 xz 平面上 , P 點(diǎn)的位圖 114物理與工程 Vol. 14

5、No. 4 2004矢為 r , 在圓電流上任取一電流元 I d l , 其位矢為 R , 所以有r =x i +z k R =R cos U i +R sin U j(1r c =r -R =(x -R cos U i -R sin U j +z kI d l =IR d U S U =IR d U (-sin U i +cos U j 根據(jù)畢奧 -薩伐爾定律 , 電流元 I d l 在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的 磁感應(yīng)強(qiáng)度 d B 為d B =L 04P r c =L 04P |r -R |(2 S U (r -R =(-sin U i +cos U j (x -R cos U i -R sin U

6、j +z k =z cos U i +z sin U j +(R -x cos U k|r -R |3=(x 2+z 2+R 2-2xR cos U 3/2(3將 (3 式代入 (2 式 , 得d B =L 0IR 4P (x +z +R -2xR cos U d U 根據(jù)場疊加原理 , 整個(gè)圓電流在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的 總磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 為B =R L d B =L 0IR4P #Q2P0(x 2+z 2+R 2-2xR cos U 3/2d U B y =L 0IR4P #Q2P0(x +z +R -2xR cos U d U =0_B =L 0IR4P #Q2P0(x 2+z 2+R 2-2x

7、R cos U 3/2d U (4 式 (4 為圓電 流的磁場 分布 , 但這是一 個(gè)復(fù)雜積分 , 無法用初等函數(shù)表示 . 對(duì)其相關(guān)解文獻(xiàn) 36均做了進(jìn)一步的討論 , 在此不再累述 . 我們所 關(guān)心的是 與磁偶極 子等效的 小環(huán)電流 的磁場分 布 , 即距離圓電流遠(yuǎn)處一點(diǎn)的磁場分布 . 3 磁偶極子的磁場分布公式設(shè) r m R, 且 r =x +z , 即 在距離圓電流(小環(huán)流 遠(yuǎn)處一點(diǎn) , 我們將對(duì) (4 式作忽略r2項(xiàng)的一級(jí)近似 : 222-3/2U r-31-r2-3/2U r -31+r 2(5 將 (5 式代入 (4 式 , 積分得 B =L 0IR4P#Q2Pr1+r 2d U =

8、L 0IR 2P r 52i +r -2r 2k=L 0I P R 24P r 5i +22r 5k (6x 2=r 2-z 2, r =x i +z k 代入 (6 式整理得B =L 0I P R 24P r -r k =L 0I P R 24P r 5-r 3k (7如圖 2所示的小環(huán)流對(duì)應(yīng)的磁矩為p m =I P R 2k 且p m z =p m r cos H =p m #r (8將 (8 式代入 (7 式 , 得小環(huán)流的磁場分布公式B =L 043(p m #r rr 5-p m r 3(9 通常我們將小環(huán)流視為磁偶極子 , 或磁偶極 子亦即小環(huán)流 , 二者等價(jià) . 因此 , (9

9、式即磁偶極子 的磁場分布公式 .圖 2另外 , 如圖 2所示 , 利用直角坐標(biāo)系與用球坐(下轉(zhuǎn) 47頁 物理與工程 Vol. 14 No. 4 2004物材料的有效途徑 . 在對(duì)聚合物共混體 系的性能進(jìn)行 分析時(shí) , 形 態(tài)結(jié)構(gòu)的測定十分重要 , 當(dāng)聚合物共混物 的相疇較大時(shí) , 可采用相襯顯微鏡進(jìn)行顯微分析 . 將 聚合物共混體制成樣品 薄片作為觀察的相物 體 , 由于 共混物中兩相組分的折 光率不同 , 在顯 微鏡目鏡中可 觀察到光強(qiáng)度的差別 , 明暗不同的部分 顯示了共混物 的形態(tài)結(jié)構(gòu)及相疇尺寸 . 圖 2給出的是用相襯顯微鏡 直接觀察高抗沖聚苯乙烯 (HIPS 中橡膠顆粒的形態(tài) 和尺寸

10、 , 由此可 判斷兩相聚合物之間的 相溶性及其分 散狀態(tài) .澤爾尼克由于相襯顯 微鏡的發(fā)明使他獲得了 眾 圖 2多殊榮 :1946年荷蘭皇家科學(xué)院授予 他皇家科學(xué)院院 士和物理學(xué)部主任的職 務(wù) ; 1950年英 國倫敦皇家顯微 協(xié)會(huì)提名他為榮譽(yù)會(huì)員 ; 1952年澤爾 尼克被英國皇家 學(xué)會(huì)授予倫福德 (Rumford 金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)?; 1955年美國光 學(xué)協(xié)會(huì)授予他榮譽(yù)會(huì)員 ; 1955年法國的晉瓦捷大學(xué)、 倫敦大學(xué)和 1963年意大利的摩德納大學(xué)分別授予他 榮譽(yù)博士學(xué)位 . 1966年 3月 10日澤爾尼克在家鄉(xiāng)阿 默斯福特逝世 , 終年 78歲 . 澤 爾尼克作為一位杰出的 物理學(xué)家和優(yōu)秀的科

11、學(xué)實(shí)驗(yàn)者 , 對(duì)科學(xué)研究鍥而不 舍、 精益求精 的精神 , 為后繼學(xué)人留下了一筆豐富的 精神遺產(chǎn) .參考 文獻(xiàn)1 呂乃光 1傅里葉光學(xué) 1北京 :機(jī)械工業(yè)出版社 , 1988. 2722322 吳培熙 , 張留城 . 聚 合物共混改性 . 北京 :中國輕工業(yè)出 版社 ,1996. 78813 馬 文蔚 , 蘇惠惠 , 陳鶴 鳴 . 物 理學(xué)原理 在工程技 術(shù)中的 應(yīng)用 .2872904 趙凱華 , 鐘錫華 . 光學(xué) . 北京 :北京大學(xué)出版社 , 1984. 2112245 郭奕玲 , 沈慧君 . 諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng) . 北京 :高等教育出版社 . 海德堡 :施普林格出版社 . 1999. 227

12、240(上接 15頁 標(biāo)系單位矢的變換關(guān)系 :k =cos H r -sin H S H將上式代入 (9式 , 我們便可以得到用球坐標(biāo)系表示的磁偶極子磁場分布公 式B =L 04m r 5-m Hr 3=L 042p m cos H r 3r +p m sin H r 3S (10 參考 文獻(xiàn)1 趙凱華 , 陳熙謀 . 電磁 學(xué) M 下冊(cè) . 北 京 :人民教 育出版 社 ,1978. 95972 閥仲元 . 電動(dòng)力學(xué) M. 北京 :人民教育出版社 , 1982. 73753 彭中漢 . 蔡領(lǐng) . 圓電流平面上的磁場分布 . 大學(xué)物理 , 1983, 2(11:12174 向裕民 . 圓環(huán)電流

13、磁場的普遍分布 J. 大學(xué)物理 , 1999, 18:(1:14175 李海等 . 圓形線電流的磁感強(qiáng) 度 J . 大學(xué)物 理 , 1999, 18(6 :20226 丁鳳軍 . 圓 形 面偶 極層 與 圓電 流 的電 磁 場 J. 大 學(xué)物 理 , 2001, 20(2 :19207 張三慧 . 大學(xué)物理 M 第三冊(cè) . 北京 :清華大學(xué)出版社 , 19998 程守洙 , 江之永 . 普通物理學(xué) M 第二冊(cè) . 第五版 . 北京 :高等教育出版社 , 19989 Halliday, Resnick, Walker, etc. Funda mentals of Physics, 6th ed.J ohn Wiley &Sons, Inc. 2002(上接 23頁 實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目可以逐步納入基本實(shí)驗(yàn)或設(shè)計(jì)性綜合性 實(shí)驗(yàn) , 這對(duì)整體實(shí)驗(yàn)水平的提高 , 具有重要意義 . 此外研究性實(shí)驗(yàn)的開發(fā)使一些先進(jìn)儀器的功能得 到了充分的發(fā)揮 , 避免了資源浪費(fèi) .參考文獻(xiàn)1 梁 春廣 , 張 翼 . GaN 第 三 代半 導(dǎo) 體的 曙 光 . 半 導(dǎo)體 學(xué) 報(bào) ,1999, 20(2:892 孟 憲 章 , 康 昌鶴 . 半 導(dǎo) 體物 理 學(xué) . 長 春 :吉 林 大 學(xué)出 版 社 ,1993. 2952963 葉良修 . 半導(dǎo)體物理學(xué) 下冊(cè) . 北京 :高 等教