構(gòu)造不等式解題例說 學(xué)法指導(dǎo) 不分版本

1、構(gòu)造不等式解題例說 李明俠 肖俠 不等式是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，應(yīng)用十分廣泛，有些數(shù)學(xué)問題表面上似乎與不等式?jīng)]有關(guān)系，在求解時，若能合理地通過構(gòu)造不等式來解，往往可收到意想不到的效果，下面舉例說明。 例1. 如果自然數(shù)滿足，那么的最大值是_。 解：由于上式中是關(guān)于的對稱式，要求的最大值，可用有序化方法，令，于是由題設(shè)知 即 由于都是正整數(shù)，由<1>式可得到如下兩種情況： （1）； （2）。 由（1）得： 在情形（2）時，代入原式得： ，于是有 或，則的最大值為5。 例2. 有一個算式，左邊的圓括號里都是整數(shù)，右邊答案只寫出了四舍五入的近似值。 那么算式左邊的三個圓括號中的數(shù)從左到

2、右依次是多少？ 分析：借助數(shù)軸直觀地看，精確計算是用一個點來對應(yīng)一個數(shù)，近似計算則是用一個線段來“蓋”一個數(shù)，當(dāng)然來“蓋”一個數(shù)的線段越短，近似結(jié)果越好。由于1.16是四舍五入的結(jié)果，因此，它代表的是“一片數(shù)” 整理，得： 由于（ ）中填的都是正整數(shù)，因此 必為整數(shù)，而且只能是122。 即，由于122被3除余2，知第一個（ ）內(nèi)的數(shù)是1；由于122除5余2，第二個（ ）內(nèi)的數(shù)被5除余2，只能是2；易知第三個（ ）內(nèi)的數(shù)是3。 故算式左邊的三個圓括號中的數(shù)從左到右依次是1，2，3。 例3. 小林擬將1，2，n這n個數(shù)輸入電腦，求平均數(shù)，當(dāng)他認為輸入完畢時，電腦顯示只輸入了個數(shù)，平均數(shù)為，假設(shè)這個

3、數(shù)輸入無誤，則漏輸入的一個數(shù)是（ ） A. 10B. 53C. 56D. 67 解：2到n的平均數(shù)最大為： ，1到的平均數(shù)最小為 解得： 或71 又是整數(shù) 能被7整除 設(shè)漏輸入的數(shù)為k，則 ，故應(yīng)選C。 例4. 一個凸多邊形的一個內(nèi)角的補角與其他內(nèi)角的和恰為500°，那么這個多邊形的邊數(shù)是_或_。 解：設(shè)凸多邊形的這個內(nèi)角的補角為x° 則這個內(nèi)角為，邊數(shù)為n，于是得方程 即 即 解得： 又n為整數(shù)，故或5 例5. 求方程的正整數(shù)解。 解：，由不等式性質(zhì)得： ，則有 即，解得： 正整數(shù) 經(jīng)檢驗知為所求的解。 例6. 已知實數(shù)滿足，求證： 分析：此題常規(guī)解決由題設(shè)及根與系數(shù)關(guān)系定理得方程的兩根是a，b，再用判別式得證，而采用不等關(guān)系來證明。比常規(guī)方法更簡便。 證明： 而對實數(shù)a，b來說，總有