勾股定理的逆定理教學(xué)設(shè)計(jì)及點(diǎn)評(獲獎版)

1、義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué) 八年級上（北京師范大學(xué)出版社）1.2一定是直角三角形嗎教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是探索勾股定理的逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單問題.一定是直角三角形嗎是北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊第一章第2 節(jié)的內(nèi)容.勾股定理的逆定理屬于事實(shí)性知識，本節(jié)課繼探索勾股定理之后，勾股定理應(yīng)用之前，在本章起著承上啟下的作用.同時(shí)，勾股定理的逆定理又是初中階段學(xué)生判定直角三角形非常重要的依據(jù).本節(jié)課將勾股定理的條件和結(jié)論互相交換得到一個(gè)新的命題，探索并證明這個(gè)命題是真命題，這也是我們數(shù)學(xué)中研究問題的常用視角.同時(shí)，勾股定理的逆定理是從邊的角度判定一個(gè)三角形是直角三角形，和前面學(xué)過的一些判

2、定方法不同，它是通過數(shù)的計(jì)算來作形的判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 探索定理的過程又體現(xiàn)了科學(xué)探索的一般方法“特殊驗(yàn)證大膽猜想小心求證” ，從特殊到一般再回到特殊問題. 故學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容有利于培養(yǎng)學(xué)生主動提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、 和探索解決問題方法的能力，同時(shí)拓展學(xué)生思維，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)樹立正確、科學(xué)的價(jià)值觀所以，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：探索并證明勾股定理的逆定理.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置根據(jù)課標(biāo)要求和教學(xué)內(nèi)容解析，確定本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下：（ 1）理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容及勾股數(shù)的概念；（2）能根據(jù)三角形三邊的條件判斷三角形是否為直角三角形；（3）經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程,發(fā)展學(xué)生的抽象思維能

3、力；經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)到驗(yàn)證的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力；（4）體驗(yàn)生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的興趣；在探索過程中體驗(yàn)成功的喜悅，在合作交流的過程中提高團(tuán)隊(duì)意識.三、學(xué)生學(xué)情分析從知識上看，學(xué)生已經(jīng)探索并學(xué)習(xí)勾股定理，知道勾股定理是直角三角形重要的性質(zhì)，勾股定理是根據(jù)“形”的特征得到“數(shù)”的關(guān)系.同時(shí)，七年級學(xué)習(xí)了全等三角形，知道通過全等三角形可以將數(shù)量和位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.從八年級學(xué)生的理解能力和思維特征上看，七年級學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了一定的逆向思維、逆向研究的經(jīng)驗(yàn)，如：已知兩直線平行，有什么樣的結(jié)論？反之，滿足什么條件的兩直線平行？這既揭示了知識前后的

4、內(nèi)在聯(lián)系，也是一種研究問題的常見視角.因而，本課時(shí)由勾股定理出發(fā)逆向思考獲得逆命題，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng) 具備這樣的意識，但具體研究中，可能要用到反證法、構(gòu)造全等三角形等思路， 對現(xiàn)階段學(xué)生而言可能還具有一定困難，需要教師適時(shí)的引導(dǎo).因此，本節(jié)課的難點(diǎn)為：探索勾股定理逆定理的過程及定理的證明.四、教學(xué)策略分析：數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不 僅要使學(xué)生知其然”而且要使學(xué)生知其所以然”，讓學(xué)生了解探究問題一般過程 和方法.根據(jù)本課內(nèi)容特點(diǎn)，本節(jié)課采用“實(shí)驗(yàn) 一猜想一歸納一論證一應(yīng)用”的模 式進(jìn)行，從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過知識再現(xiàn)，逆向思考得到關(guān)于直角三角形判 別條件的

5、猜想，通過動手操作驗(yàn)證猜想的合理性，由合情推理得到一般結(jié)論，再 通過演繹推理證明結(jié)論的正確性.本節(jié)課通過“問題申”啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生尋找邊的關(guān)系判斷直角三角.通過“弱”和“強(qiáng)”的提示語試圖調(diào)動不同層次學(xué)生思維的深入，學(xué)生分組遵循“組問無差 距”、“組內(nèi)有梯度”的原則，營造 可探索”的環(huán)境，使學(xué)生積極參與，互相討 論，一步步地掌握勾股定理逆定理的內(nèi)容，更好地理解并證明勾股定理的逆定理， 從而體會轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想.同時(shí)采用多媒體輔助教學(xué)，將不同組學(xué)生的做 法進(jìn)行展示，鼓勵學(xué)生積極主動從不同角度闡述自己的想法， 并及時(shí)肯定或優(yōu)化 解題思路，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更有成就感，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.五、教學(xué)過程

6、：教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明第T節(jié)：問題引入1、溫故知新：上節(jié)課我們一起研究了勾股定理， 對直 角三角形的認(rèn)識更加深入，那么你知道直角三角形有什么 特征？（學(xué)生思考時(shí)教師在黑板上畫出直角三角形ABC,并標(biāo)注直角和各邊，學(xué)生回答后，引導(dǎo)學(xué)生從角和邊兩個(gè)角 度進(jìn)行梳理.）2、提出問題：（口述）反過來，一個(gè)三角形滿足什么條件就是直 角三角形？你如何得到一個(gè)直角三角形？溫故知新主要 讓學(xué)生回憶直角三 角形的性質(zhì)，梳理直 角三角形六要素N 間的關(guān)系；問題1回 憶直角三角形的判 定方法，學(xué)生一般會 選擇從角的方向利 用測量儀器來判定， 此時(shí)條件、結(jié)論是可 以互換的；問題2引 發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突 從而引出古埃及人（展示

7、）：你能用一根繩子得到直角三角形嗎？3、古埃及人的智慧：金字塔的地基必須嚴(yán)格地成為正 方形，四個(gè)角就必須是嚴(yán)格的直角；不管是哪一個(gè)角有微 小的偏差，都會使整個(gè)建筑物走形。那時(shí)候還沒有發(fā)明測 量儀器，要做出周長一公里那么大的正方形，怎樣準(zhǔn)確畫出直角，很可能是古埃及人要解決的最大難題。第二環(huán)節(jié)：探究勾股定理的逆定理1、探索發(fā)現(xiàn)：聰明的埃及人制作了這樣一條神奇的純 子，就像大家現(xiàn)在手中拿到的一樣.古埃及人在一條繩子上打了一些等距的結(jié)，你能用這 條繩子圍成一個(gè)直角三角形嗎？說說你的理由.（四人小組合作，得到直角三角形，并驗(yàn)證它是直角 三角形）師：利用等距的節(jié)點(diǎn)使得你得到的三角形滿足什么條 件？（三角形

8、的三邊長分別為3、4、5）師：你是如何判斷它是直角三角形的？（學(xué)生可以測量最大角，也可以測量另外兩個(gè)較小的 角，還可以通過反證法說明它不可能是銳角三角形或鈍角 三角形，也可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注直角邊長為 3、4的直角三角 形與邊長為3、4、5的三角形之間的全等關(guān)系，從而說明 它是直角三角形.）師：通過驗(yàn)證我們發(fā)現(xiàn)邊長為 3、4、5 （單位：cm） 的三角形是直角三角形，且32 42 52,那么其它滿足這 個(gè)條件的三角形也是直角三角形嗎？2、特殊驗(yàn)證：下面有四組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊 長 a, b, c （單位：cm）:5, 12, 13; 1.5, 2, 2.5;的智慧.介紹古埃及人 智慧，激發(fā)學(xué)

9、生對數(shù) 學(xué)文化的興趣，體會 數(shù)學(xué)來源于生活并 應(yīng)用于生活.同時(shí)了 解探索勾股定理逆 定理的必要性.為下 一個(gè)環(huán)節(jié)做鋪墊.探索發(fā)現(xiàn)：讓學(xué) 生動手操作得到直 角三角形，并體會古 人在沒有精確測量 儀器時(shí)如何利用邊 長3、4、5得到直角 三角形.從而發(fā)現(xiàn)通 過邊的關(guān)系也可以 判定直角三角形.特殊驗(yàn)證：進(jìn)行 更多的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，對 “探索發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論 和說理方法進(jìn)行推4,7.5,8.5;6,8,10,這四組數(shù)都滿足a2b2c2.分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，它們都是直角三角形嗎？你是怎么判斷的？（作圖前，可以先提問學(xué)生“已知三角形的三邊長如何畫出這個(gè)三角形？ 乂&學(xué)生方法上的指導(dǎo).）經(jīng)過學(xué)生充分討論后，

10、匯總各小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：5, 12, 13滿足a2 b2 c2,可以構(gòu)成直角三角形；3.5, 12, 12.5滿足a2 b2 c2 ,可以構(gòu)成直角三角 形；4, 7.5, 8.5滿足a2 b2 c2 ,可以構(gòu)成直角三角形；6, 8, 10滿足a2 b2 c2,可以構(gòu)成直角三角形.3、大膽猜想：從上面的分組實(shí)驗(yàn)，我們能不能得出一個(gè)更一般的結(jié) 論？如果一個(gè)三角形的三邊長 a,b,c,滿足a2 b2 c2,那 么這個(gè)三角形是直角三角形.4、小心求證：如何來論證這個(gè)猜想？有同學(xué)認(rèn)為測量 的方法此時(shí)不可行，覺得這個(gè)猜想可能不對.你認(rèn)為這個(gè)猜 想正確嗎？你能給出一個(gè)更有說服力的理由嗎？你能結(jié)合圖形寫出這個(gè)

11、猜想的條件和結(jié)論嗎？獨(dú)立思 考后和你的同伴交流.（此問題給學(xué)生一定的活動時(shí)間和適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，根據(jù) 前面特殊驗(yàn)證的經(jīng)驗(yàn)，沒有數(shù)據(jù)，不能直接測量，提出“哪 種方法可以繼續(xù)推廣呢？”學(xué)生先獨(dú)立思考后小組合作討 論，敘述的理由只要合理都給與肯定.）理由1:上節(jié)課“議一議”活動的結(jié)論：銳角三角形 和鈍角三角形中，任意兩邊的平方和都不等于第三邊的平 方，則這幾個(gè)三角形一定不是銳角三角形或者鈍角三角形， 只能是直角三角形.大膽猜想：從特 殊到一般，發(fā)展合情 推理能力.通過特 殊的驗(yàn)證，學(xué)生能較 容易得出猜想.教師 需要更加清晰地引 導(dǎo)學(xué)生分析猜想的 條件和結(jié)論.小心求證：體驗(yàn) 數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總 是要經(jīng)歷觀察、

12、歸 納、猜想和驗(yàn)證的過 程，同時(shí)遵循由特 殊一 一股一特殊”的 發(fā)展規(guī)律，發(fā)展學(xué)生 的演繹推理能力.一般來說，學(xué)生 不會僅僅滿足于測 量活動的結(jié)果，部分 學(xué)生會進(jìn)行理性的理由2:以a和b為鄰邊長，構(gòu)造三角形，觀察隨著夾角的增大第三邊的變化趨勢：越來越大；根據(jù)勾股定理， 夾角是直角時(shí)，第三邊長度等于 c,夾角不是直角時(shí)，第 三邊長度肯定不等于C,因此邊長為a，b，c,滿足a2 b2 c2, 那么這個(gè)三角形是直角三角形.理由3:構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明：已知：如圖，在 ABC 中，AB=c , BC=a, CA=b,且 a2 b2 c2.你能否判斷 ABC是直角三角形？并說明理 由.解：是，理由如下

13、：畫一個(gè) ABC,使 C 90,BC a,C A b在 Rt ABC 中，AB2 BC2 CA2 a2 b22. 22a b c AB2 c2 AB cBC a BC 在 ABC和 ABC 中 AC b AC AB c ABABC ABC C C 90 ABC是直角三角形 （根據(jù)學(xué)生給出的理由教師完善并引導(dǎo)學(xué)生條理化， 如 果沒有同學(xué)介紹第3種，教師可以直接介紹方法讓學(xué)生說 出證明過程）思考.也可能有部分 同學(xué)因?yàn)闇y量工具 或者方法的影響得 到不一樣的結(jié)論.及 時(shí)提出問題，讓學(xué)生 明確，僅僅基于測量 結(jié)果得到的結(jié)論未 必可靠，需要進(jìn)一步 通過說理等方式使 學(xué)生確信結(jié)論的可 靠性，同時(shí)明晰結(jié) 論

14、.通過第二環(huán)節(jié) 的測量驗(yàn)證和說理 論證，得出猜想的是 正確的.此環(huán)節(jié)敘述第三環(huán)節(jié)：勾股定理的逆定理及勾股數(shù)通過以上探究得到如下定理：勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的三邊長a,b,c ,滿足a2 b2 c2 ,那么這個(gè)三角形是直角三角形.（教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識此定理的條件和結(jié)論， 為后面反思 總結(jié)做鋪墊，同時(shí)追問“那條邊所對的角是直角”）符號語言：v 在4ABC中，BC=a, CA=b,AB=c, K且 a2 b2 c2,JAABC為直角三角形，且/C=90.C a B滿足a2 b2 c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).（教師此時(shí)直接提問，之前驗(yàn)證的數(shù)據(jù)中有沒有勾股 數(shù)，哪些都是勾股數(shù)，鞏固勾股數(shù)的定義

15、，同時(shí)也讓學(xué)生 體會：邊長是勾股數(shù)的三角形是直角三角形.）思考：1 .這個(gè)結(jié)論與勾股定理的區(qū)別和聯(lián)系.2 .如果a2 b2 c2,那么這個(gè)三角形可能是直角三角 形嗎？（學(xué)生獨(dú)立思考后作答，教師板書勾股定理逆定理的 內(nèi)容并列舉勾股數(shù)）結(jié)論：1.將勾股定理的條件和結(jié)論互換就得到這個(gè)結(jié) 論.勾股定理逆定理的 符號語言，讓學(xué)生明 確條件和結(jié)論，以及 說明一個(gè)三角形是 直角三角形時(shí)需要 找出直角.同時(shí)也要 讓學(xué)生體會數(shù)的關(guān) 系可以推出形的特 征.認(rèn)識常見的勾 股數(shù)能較為快速的 判斷直角三角形.人 們對勾股數(shù)的研究 也很深入，此時(shí)拋磚 引玉為課后研究勾 股數(shù)提供基礎(chǔ).思考1進(jìn)一步 讓學(xué)生認(rèn)識該定理 與勾股

16、定理之間的 關(guān)系，為日后學(xué)習(xí)互 逆定理打好基礎(chǔ)，同 時(shí)體會數(shù)學(xué)上變換 條件和結(jié)論是研究 問題的常見視角.思考2用反證 法和勾股定理來說 明這個(gè)三角形不是 直角三角形，進(jìn)一步 引導(dǎo)學(xué)生理解體會 勾股定理和逆定理 的區(qū)別。3 .如果a2 b2 c2,那么這個(gè)三角形不是直角三角形第四環(huán)節(jié)： 例題講解 應(yīng)用定理1、初步應(yīng)用：下列哪組數(shù)能作為直角三角形的三邊長? 說說你的理由.(1) 7, 24, 25; (2) 15, 17, 8; (3) 3, 5, 6.(使用定理判定時(shí)需要先找到最長邊，再進(jìn)行關(guān)系驗(yàn)證，如果有同學(xué)使用了 a2 c2 b2來驗(yàn)證，及時(shí)肯定并板 書公式的變形；有了思考2可以直接通過關(guān)系

17、不滿足來否 定是直角三角形.學(xué)生獨(dú)立思考后回答，教師補(bǔ)充.)此環(huán)節(jié)分為初步 應(yīng)用和鞏固提高兩 部分，初步應(yīng)用注重 于定理本身的使用. 鞏固提高需要使用 勾股定理進(jìn)行計(jì)算， 再使用逆定理進(jìn)行 驗(yàn)證，讓學(xué)生對判定 和性質(zhì)進(jìn)行區(qū)分，增 強(qiáng)定理使用的靈活 性.2、問題解決：一個(gè)零件的形狀如圖1所示，其中/ A=90 ,按規(guī)定這個(gè)零件中/ DBC也應(yīng)為直角，工人師 傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖2所示，這個(gè)零件合格嗎？9通過問題讓學(xué) 生回憶本節(jié)課的主 要內(nèi)容，從知識性和 方法性兩方面入手， 既有提示語弱的問 題，又有提示語強(qiáng)的 問題，試圖照顧到不 同層次學(xué)生對本節(jié) 課的認(rèn)識，學(xué)生自 述，教師補(bǔ)充并引 導(dǎo).(

18、本題需要學(xué)生先使用勾股定理求出 BD再利用勾股定理 的逆定理判定直角三角形從而指出直角.學(xué)生先獨(dú)立思考, 再進(jìn)行板演，教師規(guī)范書寫過程.)第五環(huán)節(jié)：小結(jié)與思考問題：回顧本節(jié)課，我們探索了什么問題？如何探索 的？獲得了什么結(jié)論？說說你的感受.(師生相互交流總結(jié)出：1 .今天所學(xué)內(nèi)容會利用三 角形三邊數(shù)量關(guān)系a2 b2 c2判斷一個(gè)三角形是直角三角 形；滿足a2 b2 c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；2.從 今天所學(xué)內(nèi)容及所作練習(xí)中總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)與方法：數(shù)學(xué) 是源于生活又服務(wù)于生活的；數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng) 歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過程，同時(shí)遵循由“特殊一 一般一特殊”的發(fā)展規(guī)律；利用三角形三邊數(shù)量

19、關(guān)系a2 b2 c2判斷一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，當(dāng)遇見數(shù)據(jù)較 大時(shí)，要懂得將a2 b2 c2作適當(dāng)變形，c2 b2 a2便于計(jì) 算.）第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，課堂延伸1、基礎(chǔ)鞏固：習(xí)題1.3第1, 2, 3題；2、動手實(shí)踐：做一條古埃及人“神畸的繩子”，有哪些 方法？與你的同伴進(jìn)行交流.3、思考交流：你還啟具它的方法來證明這個(gè)結(jié)論嗎？ 獨(dú)立思考后與你的同伴交流.（基礎(chǔ)鞏固在作業(yè)本上完成，動手實(shí)踐學(xué)生課后完成， 方法多樣，重在勾股數(shù)的應(yīng)用，思考交流拓寬學(xué)生視野 .）基礎(chǔ)鞏固是勾 股定理及其逆定理 的直接使用，鞏固課 堂內(nèi)容，提高學(xué)生靈 活運(yùn)用知識的能力； 動手頭踐具有 aE 的挑戰(zhàn)性和開放性， 發(fā)