高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-9-3 可積條件

1、 判別一個(gè)函數(shù) f (x) 在a, b上是否可積,就是判別極限 是否存在. 在實(shí)際應(yīng)用中，直接按定義來判定是困難的. 我們希望由函數(shù)本身的性質(zhì)（例如函數(shù)的有界性、連續(xù)性等）來判別函數(shù)的可積性. 為此, 先給出可積準(zhǔn)則,并以此證明有界性是可積的必要條件而非充分條件, 連續(xù)性是可積的充分條件而非必要條件.3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章定積分01lim(),Tniiifx 3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社定理9.1（可積必有界）若函數(shù)若函數(shù) 在在 上可積，則上可積，則 在在 上必有界上必有界.ff,ba,ba證證 設(shè)設(shè)( )d.baf xxJ 由定義由定義, 對(duì)對(duì)11niiif ()

2、 xJ, 于是于是1, (1,2, ),iiixxin 與與如如何何選選取取, 01 , 0 , T只要只要T無論無論后退 前進(jìn) 目錄 退出都都有有11niiif () xJM. 3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社1,. kkxx上上無無界界(),iiikGfx 1,kkkxx 故故必必存存在在滿滿足足().kkMGfx ( ) , f xa b倘倘若若在在上上無無界界，,k則必有則必有( )f x使使得得在在令令于是于是1()niiifx ()()kkiiikfxfx kkMGxGx ,M 矛盾矛盾.3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社1Q,1,2, ,iiix

3、xin 現(xiàn)現(xiàn)任任取取1()niiiDx R,0,J 證證 若若 D(x) 在在 a, b 上可積上可積 , 1().2niiibaDxJ (1)D x試用反證法證明:狄利克雷函數(shù)試用反證法證明:狄利克雷函數(shù)例例在任何在任何 , .a b區(qū)間上不可積區(qū)間上不可積,T 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 1,iiixx 對(duì)對(duì)任任何何有有則則則則1.niixba3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社于是于是11()(),nniiiiiiDxDxba 而這與而這與 11()()nniiiiiiDxDx1, Q,1,2, ,iiixxin 又又任任取取則則1()0.niiiDx 所以所以 , ( ).a bD x 在

4、在上上不不可可積積=b- - a 相矛盾相矛盾, niiiniiiJxDJxD11 22baba3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社定義2,.:10bxxxaTn稱為稱為 f 關(guān)于分割關(guān)于分割 T 的上和的上和, 1( )niiiS TMx1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin稱為稱為 f 關(guān)于分割關(guān)于分割 T 的下和的下和,1( )niiis Tmx1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxxxin , ,fa b設(shè)設(shè)在在上上有有界界對(duì)任意分割對(duì)任意分割1(1, 2,),iiiiiM minfxx 稱稱為為在在上上的的.振振幅幅其中其中其中其中3 可

5、積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社定理9.3（可積準(zhǔn)則）函數(shù)函數(shù) f 在在a, b上可積的充要上可積的充要條件是：條件是：0,T 分分割割使使1( )( )()niiiiS Ts TMmx振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍振幅反映了函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的變化范圍, ,是一個(gè)與連是一個(gè)與連續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念續(xù)性相關(guān)聯(lián)的概念. .1.niiix3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社定理9.4（連續(xù)必可積）11.nniiiiixxba 常見的有三種方法常見的有三種方法, ,下面分別作出介紹下面分別作出介紹. .每個(gè)每個(gè),iba 從而從而第一種方法第一種方法: :, , .a bf例例如如

6、在在上上一一致致連連續(xù)續(xù)的的, ,便便屬屬于于這這種種情情形形連續(xù)，則可積連續(xù)，則可積. .若若 , fa b在在上上 , fa b在在上上此定理將在本章第六節(jié)定理此定理將在本章第六節(jié)定理 9.15 中證明中證明. . 在用它在用它.1 niiix 證明可積性問題時(shí)證明可積性問題時(shí), ,有多種方法可使有多種方法可使3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社()().f xf xba iiimM 1sup()(),iif xf xx xxx，,ab 從而從而11.nniiiiixxba 因此當(dāng)因此當(dāng) , a bTT 上上的的分分割割滿滿足足時(shí)時(shí), ,xx 若若則則從而在從而在a, b上一

7、致連續(xù)上一致連續(xù). 證證 , fa b在在上上連連續(xù)續(xù)，于于, 0 是是, 0 , , ,x xa b3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社, , fa b例例如如在在上上單單調(diào)調(diào)時(shí)時(shí), ,有有1( )( ) ,niif bf a 第二種方法第二種方法: :|,TM 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)1,niiM , fa b從從而而可可證證在在上上可可積積. .nii1有界，有界，若若 ,M即即對(duì)任意分割，對(duì)任意分割，niiniiiTx11 MM . 定理9.5（單調(diào)必可積） , , fa bfa b若若是是上上的的單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù), ,則則在在上上可可積積. .3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高

8、等教育出版社f證證 不妨設(shè)不妨設(shè)是非常值的增函數(shù)，是非常值的增函數(shù)，01:.,nTaxxxb 1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是于是因此因此, 若若,( )( )Tf bf a 則則則對(duì)任意分割則對(duì)任意分割111()()nniiiiif xf x ( )( ).f bf a 11nniiiiixT .)()()()( afbfafbf3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社,iix 在在中中iix 而而在在中中，,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx 若若第三種方法第三種方法: :,1,2, .iMm in , .Mmfa b其其中中是是在在上上的的

9、振振幅幅于是于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . 從從而而3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社定理9.6（有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)必可積）0, 取取滿滿足足0().2()baMm 若若 , fa b在在上上有界有界, ,且只有有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且只有有限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，此時(shí)可用第三種方法證明此時(shí)可用第三種方法證明 f 可積可積. f 在在 a, b 上可積上可積.只有一個(gè)間斷點(diǎn)只有一個(gè)間斷點(diǎn), 且為且為 b.證證 不妨設(shè)不妨設(shè) , fa b在在上上 , fa b若 在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則若 在上有界，且只有有限多個(gè)間斷點(diǎn)，則 , .Mmfa

10、b其其中中與與分分別別為為在在上上的的上上確確界界與與下下確確界界3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社 ,.:110 bxxxaTn使使.2Tiix 則存在分割則存在分割 ,fa b 由由于于在在上上連連續(xù)續(xù), , ,fbb 設(shè)設(shè)在在上上的的振振幅幅為為則則().2()2MmMm 令令,.:10bxxxaTn則則 Tiix Tiix.22 , .fa b由由可可積積準(zhǔn)準(zhǔn)則則, ,在在上上可可積積3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社0,1在在上可積上可積, ,且且10( )d0.R xx例例2 證明黎曼函數(shù)證明黎曼函數(shù)1,(,),( )0 ,0, 1(0, 1)pxp

11、 qqqR xx互互素素及及中中的的無無理理數(shù)數(shù)證證只有有限多個(gè)只有有限多個(gè),分割分割01:01,nTxxx2.kT 使使12 ,kTrrr中中含含的小區(qū)間至多有的小區(qū)間至多有, 0 的有理數(shù)的有理數(shù)prq10,12q 在在中中滿滿足足.,21krrr設(shè)它們?yōu)樵O(shè)它們?yōu)?,1對(duì)對(duì)作作 2 2k 個(gè)個(gè), ,記為記為 .i 3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社2.2ixkk i 由由于于在在12,.kiTrrr 中中不不含含的的區(qū)區(qū)間間記記為為0( ),2R x 上上.2i 于于是是從而從而因此這些小區(qū)間長度之和為因此這些小區(qū)間長度之和為3 可積條件數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社( ).R x這這就就證證明明了了的的可可積積性性( ),R x由由于于已已證證得得可可積積 而而且且無無理理數(shù)數(shù)具具有有稠稠密密性性, ,1, (1,2, )iiixxin 因因此此可可取取皆皆為為無無理理數(shù)數(shù), ,1001( )dlim()0.niiTiR xxRx 從而從而 iix iiiixx iixx221 .22 復(fù)習(xí)思考題數(shù)學(xué)分析 第九章 定積分高等教育出版社1. f (x) 為為 a, b 上的有界函數(shù)上的有界函數(shù), 其不連續(xù)點(diǎn)的集合其不連續(xù)點(diǎn)的集合011(,),|