第五節(jié) 點的軌跡的構(gòu)造

1、第五節(jié) 點的軌跡的構(gòu)造例1：P為圓上任意一點，O為圓外的點，當P在圓上運動時，線段OP中點M的軌跡是什么？操作步驟：1，作基本圖形。作一圓，在圓上取一點P，在圓外作一點O，連接OP，構(gòu)造其中點M2，制作P點的動畫。選擇點P，執(zhí)行“編輯/操作類按鈕/動畫”命令制作點P的動畫按鈕3，追蹤點M的軌跡。選擇點M，執(zhí)行“顯示/追蹤中點”命令4，單擊按鈕，查看結(jié)果，按“Esc”就能清除軌跡5，構(gòu)造點M的軌跡：選定點P和點M（沒有先后），單擊菜單命令：【構(gòu)造】【軌跡（U）】構(gòu)造軌跡的前提條件是：選定兩點，一點是在一條路徑上的自由點和能夠跟隨此點運動的點即被動點。路徑可以是任何線（線段、直線、射線）軌跡、函數(shù)

2、圖像。例2：橢圓的畫法（一）操作步驟：1，畫圓，圓心為A，在圓周上畫一點D，在圓內(nèi)畫一點C，連結(jié)AD，CD2，作線段CD的垂直平分線，作垂直平分線和直線AD的交點E。3，構(gòu)造軌跡：選定E點和D點，單擊菜單命令：【構(gòu)造】【軌跡（U）】4，隱藏不必要對象 選定圓、兩直線、點E、D、B例3畫出一條直線繞一點旋轉(zhuǎn)的軌跡操作步驟：，畫一圓，圓心為A，在圓上畫一點C，作線段AC，作過C點垂直于AC的垂線，選擇垂線，執(zhí)行“顯示/追蹤直線”命令；3，隱藏圓、線段AC、點B，執(zhí)行“顯示/顯示運動控制臺”4，選擇C點，單擊運動控制臺上的播放按鈕，修改速度5，按Esc鍵取消追蹤結(jié)果，選擇點C及垂線，執(zhí)行【構(gòu)造】【軌

3、跡（U）】例4作過兩點的圓系，即過兩點的所有圓操作步驟：，作兩點、，過此兩點的線段，線段的中點，中垂線，在垂線上取一點，作以該點為圓心，為圓上點的圓，選擇圓，執(zhí)行“顯示/追蹤圓”命令；，選擇圓心，建立動畫例5探索線段的端點在圓上運動時其中點及中垂線的軌跡操作步驟：，作一圓，作一線段，為圓上的一點，為圓外的點，作的中點及中垂線，選擇中點，執(zhí)行“顯示/追蹤點”命令；選擇中垂線，執(zhí)行“顯示/追蹤垂線”命令；，建立點的動畫：選擇點，通過“編輯/操作類按鈕/動畫”命令建立動畫。綜合實例：一、正方形的畫法（一） 二、菱形的畫法（一） 例6畫雙曲線操作步驟：1，作一圓，圓心為A2，在圓周的水平方向上（右邊）

4、作一點C，選擇點A，C，執(zhí)行“構(gòu)造/射線”3，在A的延長線上作一點D，過D作一線段D，其中E為圓的下半部分上的一點4，作DE的中點F，過F作DE的垂線4，選擇點E、A，作一直線交的中垂線于G6，依次選擇E、G，執(zhí)行“構(gòu)造/軌跡”命令第三章 用變換菜單作圖在幾何畫板中，研究的是圖形的演變。我們能對圖形進行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射、迭代等變換。一、旋轉(zhuǎn)對象一個或一個以上圖形以某一點為標記中心作旋轉(zhuǎn)變換。點B以點A為標記中心旋轉(zhuǎn)度，即固定線段AB的端點A，然后線段AB逆時針旋轉(zhuǎn)度得到線段AB，則B為B點以A為標記中心旋轉(zhuǎn)度后得到的點，圖形的旋轉(zhuǎn)是先旋轉(zhuǎn)圖上的各點，然后再連結(jié)得到旋轉(zhuǎn)后的圖形。例1：畫一

5、個正方形作圖思路：將一線段以其左端點為中心旋轉(zhuǎn)90度操作步驟：1、畫線段AB。2、用選擇工具雙擊點A，點A被標記為中心。3、用選擇工具選取點B和線段AB，由菜單“變換”-“旋轉(zhuǎn)”，在彈出的“旋轉(zhuǎn)”對話框中以固定角度旋轉(zhuǎn)90度4、雙擊點B，標記新的中心。5、用選擇工具選取點A和線段AB，由菜單“變換”-“旋轉(zhuǎn)”，在彈出的“旋轉(zhuǎn)”對話框中以固定角度旋轉(zhuǎn)-90度6、連結(jié)上方兩個頂點得第四邊。練習(xí)：用旋轉(zhuǎn)交換的方法畫一個正三角形，并與前面用工具畫正三角形的方法比較，你覺得哪種方法簡便些？例2六角形1，通過旋轉(zhuǎn)的方法作一角度為60度的菱形：作一線段AB，雙擊A點，選擇B點，執(zhí)行“變換/旋轉(zhuǎn)”命令，旋轉(zhuǎn)6

6、0度得到點C，以其點為中心將B點旋轉(zhuǎn)60得到點D2，以A為標記中心，將菱形旋轉(zhuǎn)60度，重復(fù)旋轉(zhuǎn)5次。例3.四瓣花將半圓以圓上中點為標記中心旋轉(zhuǎn)90度1，作半圓：作一水平線段DE，及線段上的中點F，以中點F為中心點將右邊點E旋轉(zhuǎn)90度得到點E'，選擇、'、通過構(gòu)造菜單作一過三點的弧2，以'為中心點，將弧及直徑旋轉(zhuǎn)90度3，反復(fù)旋轉(zhuǎn)次例4立體圖1，作一菱形ABA'B'，2，以菱形左上角的頂點B'為中心將菱形旋轉(zhuǎn)120度，旋轉(zhuǎn)2次3，選擇菱形的頂點，構(gòu)造四邊形內(nèi)部，然后通過顯示菜單中的顏色命令設(shè)置四邊形內(nèi)部的顏色4，對另兩個四邊形重復(fù)的操作。二、平移對

7、象 平移是指：對于兩個幾何圖形，如果在它們的所有點與點之間可以建立起一一對應(yīng)關(guān)系，并且以一個圖形上任一點為起點，另一個圖形上的對應(yīng)點為終點作向量，所得的一切向量都彼此相等，那么 其中一個圖形到另一個圖形的變換叫做平移。平移是一個保距變換，又是一個保角變換。幾何畫板中，平移可以按三大類：1，極坐標下的平移選擇平移對象后，通過“變換/平移”命令打開平移對話框，設(shè)置平移的角度和距離2，直角坐標下的平移在平移對話框中設(shè)置的是水平與垂直方向上的改變量3，標記平移先標記好向量，然后按向量的方向和距離平移例1 畫一個半徑為cm的圓操作思路：將一個點在水平與垂直方向上都平移1cm生成一個長為cm的線段，然后以

8、圓心和半徑繪圓例2 全等三角形將一個三角形按水平方向平移例3平行四邊形的畫法將其中一條邊標記為向量，對另一頂點按標記平移例4矩形三、縮放對象縮放是指對象關(guān)于“標記的中心”按固定的比例或“標記的比例”進行位似變換。1，按固定比例縮放先設(shè)定標記中心（雙擊該點），然后選擇縮放的對象，再執(zhí)行“變換/縮放”命令2，按標記比縮放（1）依次選擇作為分子與分母的線段，執(zhí)行菜單“變換/標記線段比例”（2）選擇縮放的對象，再執(zhí)行“變換/縮放”命令例1 相似三角形四、反射對象反射是指將選中的對象按標記的鏡面（即對稱軸，可以是直線、射線或線段）構(gòu)造軸對稱關(guān)系。但并不是所有的對象都可以反射，例如軌跡就不能反射。反射命令

9、不會彈出對話框，反射前必須標記鏡面，否則即使能夠進行反射，得到的結(jié)果一般不會是你想要的。例1 軸對稱三角形關(guān)于對稱軸的反射對象五、迭代與深度迭代問題：我們用旋轉(zhuǎn)變換不難畫出正多邊形，但邊數(shù)太多，如要畫正十七邊型，如圖所示，你不嫌繁的話，得用旋轉(zhuǎn)變換16次，那么有沒有簡單的方法呢，有，那就是“迭代”例1、正十七邊形的畫法操作步驟：1、畫兩個點，讓B點圍繞點A旋轉(zhuǎn)得，連接。2、選定B點，單擊菜單“變換”“迭代”，出現(xiàn)下面對話框3、單擊，對話框變?yōu)樯蠄D，注意到“迭代規(guī)則數(shù)：3”，圖形在原有的基礎(chǔ)上，增加了3條線段。（想一想，應(yīng)讓計算機重復(fù)畫幾條線段？）4、重復(fù)按小鍵盤上的“”鍵，直到迭代規(guī)則數(shù)變?yōu)?

10、6（也就是要讓計算機重復(fù)畫16條），注意工作區(qū)中圖形的變化5、單擊“迭代”按鈕，正十七邊形構(gòu)造完畢，如上圖：迭代變換使用的前提條件：1)選定一個（或幾個）自由的點，即平面上任一點，或線（直線、線段、射線、圓、軌跡）上的任一點，如上例的B點。2)由選定的點產(chǎn)生的目標點（不要選定，出現(xiàn)迭代對話框后，再選），如線段的中點，或由選定點經(jīng)過變換產(chǎn)生的點當然迭代的對象還有參數(shù)，請看進階篇：再說迭代迭代的深度（即重復(fù)的次數(shù)），可用參數(shù)控制，即深度迭代，請看例2例2、正n邊形的畫法運行結(jié)果：如圖，選定參數(shù)n，按小鍵盤上的“”或“”鍵，可改變n的值，從而改變多邊形的邊數(shù)，即得到正n邊形（這在黑板上是畫不出的）。

11、基本思路：1、畫兩個點，標記其中一個點作為正n 邊形的中心。另一個點為最基本的第一頂點；2、“新建參數(shù)”n，用3600除以n，得正n邊形的圓心角；3、選取圓心角后“標記角度”，讓第一頂點繞中心按“標記的角度”旋轉(zhuǎn),得第二頂點；4、選取參數(shù)n、進行第一頂點到第二頂點的“深度迭代”；5、選取參數(shù)n，按小鍵盤上的“+、”鍵可以改變參數(shù)，得到動態(tài)的正n邊形。操作步驟：一、準備工作（確定旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)和迭代的深度）按“alt”鍵，調(diào)出計算器，輸入“360°÷”（“°”由單位按鈕輸入）單擊計算器的“數(shù)值”按鈕單擊“新建參數(shù)”按鈕將新建參數(shù)的對話框改為下圖單擊新建參數(shù)的對話框的“確定按鈕”后，單擊計算器上的“確定按鈕”，再調(diào)出計算器，計算n1。畫出點A和點B，如下圖所示6、讓B點，繞點A旋轉(zhuǎn)“”，得，連接。如下圖所示：二、深度迭代1、同時選取點B、“n15”；2、按住Shift鍵不放，單擊菜單“變換”“深度迭代”彈出如圖5的迭代對話框；圖5說明：此步如不按住Shift 鍵，菜單中的命令項是“迭代”，幾何畫板中部分菜單項會根據(jù)按鍵、工具按鈕的選