非線性有限元分析報(bào)告

1、非線性有限元分析1 概述在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，對(duì)于許多力學(xué)問題和物理問題，人們已經(jīng)得到了它們所應(yīng)遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相應(yīng)的定解條件（邊界條件）。但能夠用解析方法求出精確解的只是少數(shù)方程性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，并且?guī)缀涡螤钕喈?dāng)規(guī)則的問題。對(duì)于大多數(shù)工程實(shí)際問題，由于方程的某些特征的非線性性質(zhì)，或由于求解區(qū)域的幾何形狀比較復(fù)雜，則不能得到解析的答案。這類問題的解決通常有兩種途徑。一是引入簡(jiǎn)化假設(shè)，將方程和幾何邊界簡(jiǎn)化為能夠處理的情況，從而得到問題在簡(jiǎn)化狀態(tài)下的解答。但是這種方法只是在有限的情況下是可行的，因?yàn)檫^多的簡(jiǎn)化可能導(dǎo)致誤差很大甚至是錯(cuò)誤的解答。因此人們多年來一直在致力于尋找和發(fā)展另

2、一種求解途徑和方法數(shù)值解法。特別是五十多年來，隨著電子計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，數(shù)值分析方法已成為求解科學(xué)技術(shù)問題的主要工具。已經(jīng)發(fā)展的數(shù)值分析方法可以分為兩大類。一類以有限差分法為代表，主要特點(diǎn)是直接求解基本方程和相應(yīng)定解條件的近似解。其具體解法是將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格，然后在網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)上用差分方程來近似微分方程，當(dāng)采用較多結(jié)點(diǎn)時(shí)，近似解的精度可以得到改善。但是當(dāng)用于求解幾何形狀復(fù)雜的問題時(shí)，有限差分法的精度將降低，甚至發(fā)生困難。另一類數(shù)值分析方法是首先建立和原問題基本方程及相應(yīng)定解條件相等效的積分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原問題的方程具有某些特定的性質(zhì)，則它的等效積分提法可以歸結(jié)

3、為某個(gè)泛函的變分，相應(yīng)的近似解法實(shí)際上就是求解泛函的駐值問題。諸如里茲法，配點(diǎn)法，最小二乘法，伽遼金法，力矩法等都屬于這一類方法。但此類方法也只能局限于幾何形狀規(guī)則的問題，原因在于它們都是在整個(gè)求解區(qū)域上假設(shè)近似函數(shù)，因此，對(duì)于幾何形狀復(fù)雜的問題，不可能建立合乎要求的近似函數(shù)。1960 年，R.W.CLOUGHt表了有限單元法的第一篇文獻(xiàn)"The Finite Element Methodin PlaneStress Analysis ”，這同時(shí)也標(biāo)志著有限單元法（ FEM） 的問世。有限單元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)，且按一定方式相互聯(lián)接在一起的單元的組合體。由

4、于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域。并且可以利用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片地表示全求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題?，F(xiàn)已證明，有限單元法是基于變分原理的里茲法的另一種形式，從而使里茲法分析的所有理論基礎(chǔ)都適用于有限單元法，確認(rèn)了有限單元法是處理連續(xù)介質(zhì)問題的一種普遍方法。利用變分原理建立有限元方程和經(jīng)典里茲法的主要區(qū)別是有限單元法假設(shè)的近似函數(shù)不是在全求解域而是在單元上規(guī)定的，而且事先不要求滿足任何邊界條件，因此可以用來處理很復(fù)雜的連續(xù)介質(zhì)問題。在短短四十余年的時(shí)間里，有限單元

5、的分析方法已經(jīng)迅速地發(fā)展為適合于使用各種類型計(jì)算機(jī)解決復(fù)雜工程問題的一種相當(dāng)普及的方法。如今，有限元廣泛地應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科門類，已經(jīng)成為工程師和科研人員用于解決實(shí)際工程問題，進(jìn)行科學(xué)研究不可或缺的有力工具。有限單元法的應(yīng)用范圍已由彈性力學(xué)平面問題擴(kuò)展到空間問題，板殼問題，由靜力平衡問題擴(kuò)展到穩(wěn)定問題，動(dòng)力問題和波動(dòng)問題。分析的對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性，粘彈性，粘塑性和復(fù)合材料等，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)，傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴(kuò)展到優(yōu)化設(shè)計(jì)并和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)相結(jié)合。各種各樣商業(yè)化的大型通用有限元軟件層出不窮，不斷推陳出新?？梢灶A(yù)見，隨著現(xiàn)代力學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)，

6、計(jì)算機(jī)技術(shù)等學(xué)科的發(fā)展，有限單元法作 為一個(gè)具有鞏固理論基礎(chǔ)和廣泛應(yīng)用范圍的數(shù)值分析工具，必將得到進(jìn)一步的完善和發(fā)展。2 非線性問題的類型和求解特點(diǎn)2. 1 非線性問題的類型3. 1. 1 線性分析的含義在有限元分析中的線性假設(shè)包含下列含義：即結(jié)點(diǎn)位移為無限小量，材料為線彈性，加載時(shí)邊界條件的性質(zhì)保持不變。于是，靜力平衡方程可以表示為：K U R（2.1）其中， K 為剛度矩陣，R 為荷載矢量。由于K 和 R 的元素為常數(shù)，故位移響應(yīng)U 是荷載矢量 R 的線性函數(shù)。也就是說，如果R 變?yōu)?R ，則 U 變?yōu)?U ，其中，為常數(shù)。這就是所謂的線性有限元分析。如果上述假設(shè)中的任何一條不能得到滿足，

7、那么就屬于非線性有限 元分析。4. 1. 2 非線性分析的必要性結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，從本質(zhì)上講都是非線性的，線性假設(shè)只是實(shí)際工程問題的一種簡(jiǎn)化。當(dāng)然，任何實(shí)際工程問題的求解都避免不了適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化，簡(jiǎn)化是否合理主要應(yīng)根據(jù)求解效果和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來判斷。對(duì)于目前工程實(shí)際中的很多問題，如地震作用下結(jié)構(gòu)的彈塑性動(dòng)力響應(yīng)，高層建筑抗風(fēng)，大跨度網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定性，索膜結(jié)構(gòu)找形荷載與裁減分析，大型橋梁風(fēng)致振動(dòng)等問題的研究，僅僅假設(shè)為線性問題是很不夠的，常常需要進(jìn)一步考慮為非線性問題。因此，對(duì)各種工程結(jié)構(gòu)的非線性分析就是必不可少且日趨重要了。對(duì)于結(jié)構(gòu)力學(xué)的非線性問題來說，有限單元法是最為有效的數(shù)值分析方法。5. 1. 3

8、非線性問題的類型通常，把非線性問題分為兩大類，即分為幾何非線性和材料非線性。但從建立基本方程和程序設(shè)計(jì)的方便出發(fā)，又可分為三種類型：1 材料非線性： 非線性效應(yīng)僅由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的非線性引起，位移分量仍假設(shè)為無限小量，故仍可采用工程應(yīng)力和工程應(yīng)變來描述，即僅材料為非線性。非線性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是結(jié)構(gòu)非線性的常見原因，許多因素都可以影響材料的應(yīng)力應(yīng)變性質(zhì)，包括加載歷史（如在彈塑性響應(yīng)狀況下） ，環(huán)境狀況（如溫度），加載的時(shí)間總量（如在蠕變響應(yīng)狀況下）等。2幾何非線性：如果結(jié)構(gòu)經(jīng)受大變形，則變化了的幾何形狀可能會(huì)引起結(jié)構(gòu)的非線性響應(yīng)，這又可以分為兩種情形：第一種情形，大位移小應(yīng)變。只是物體經(jīng)歷了大的剛

9、體平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，固連于物體坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量仍假設(shè)為無限小。此時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系則根據(jù)實(shí)際材料和實(shí)際問題可以是線性的也可以是非線性的。第二種情形，大位移大應(yīng)變。也即最一般的的情況，此時(shí)結(jié)構(gòu)的平動(dòng)位移，轉(zhuǎn)動(dòng)位移和應(yīng)變都不再是無限小量，本構(gòu)關(guān)系也是非線性的。3狀態(tài)非線性：除以上兩種非線性問題之外，還有一種非線性問題，即由于系統(tǒng)剛度和邊界條件的性質(zhì)隨物體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化所引起的非線性響應(yīng)。例如，一根只能拉伸的鋼索可能是松散的 , 也可能是繃緊的；軸承套可能是接觸的, 也可能是不接觸的；凍土可能是凍結(jié)的, 也可能是融化的。這些系統(tǒng)的剛度和邊界條件由于系統(tǒng)狀態(tài)的改變?cè)诓煌闹抵g突然變化。狀態(tài)改變也許和載荷直

10、接有關(guān)，也可能由某種外部原因引起。最為典型的就是接觸問題，接觸是狀態(tài)非線性類型中一個(gè)特殊而重要的子集。通常情況下，狀態(tài)非線性問題可以在上述材料非線性和幾何非線性類型中的每一種同時(shí)出現(xiàn)，從而使得問題的分析變得更為復(fù)雜。2 2 非線性問題的求解特點(diǎn)2. 2. 1 非線性分析的基本問題非線性分析的基本問題是求出在當(dāng)前荷載作用下的平衡狀態(tài)。如果作用的荷載被描述成時(shí)間的函數(shù)，則物體有限元離散系統(tǒng)的平衡方程可以表示為：t R t F 0(2.2)其中， 矢量 t R 由 t 時(shí)刻外荷載的結(jié)點(diǎn)力分量所構(gòu)成，而矢量 t F 則表示 t 時(shí)刻的單元應(yīng)力所引起的結(jié)點(diǎn)力分量。平衡方程(2.2) 應(yīng)針對(duì) t 時(shí)刻的幾

11、何位形建立，并應(yīng)計(jì)入所有的非線性效應(yīng)。如果是動(dòng)力分析，矢量t R 中還應(yīng)當(dāng)包括慣性力和阻尼力。在求解非線性問題時(shí)，(2.2) 式應(yīng)在全部加載歷史中成立。變量 t 的引入并不意味著一定是動(dòng)力問題。在靜力分析中，t 不具有真實(shí)“時(shí)間”的含義，它的不同取值只是表示相應(yīng)于不同位形的不同的荷載水平。但是， 在動(dòng)力分析或具有時(shí)間效應(yīng)的靜力分析中，變量 t 就有了它本來的 “時(shí)間”的含義。2. 2. 2 非線性方程組的增量逐步解法對(duì)于許多工程結(jié)構(gòu)，我們所關(guān)心的常常是在特定的荷載水平下，或相應(yīng)的時(shí)間物體中的應(yīng)力和變形。實(shí)際問題根據(jù)其解法可以分為兩大類型。第一類問題無需計(jì)算中間變形過程，可直接求解在給定荷載下的

12、平衡位形。但是，如果問題的幾何性質(zhì)或材料性質(zhì)與路徑相關(guān)或與時(shí)間相關(guān)，即該問題依賴于變形歷史，則中間變形過程的計(jì)算是不可缺少的，這就是第二類問題。從本質(zhì)上來說，非線性問題是第二類問題。此時(shí)，往往采用增量分析的方法。增量逐步解法的基本思想是：假定t時(shí)刻的解為已知，要求 t + At時(shí)刻的解，其中，At是適當(dāng)選擇的時(shí)間增量。在t + At時(shí)刻，式(2.2)寫成為：t t R t t F 0(2.3)這里，左上標(biāo)表示為 t+At時(shí)刻的量。由于t時(shí)刻的解為已知，因此，可以寫為：t t F t F F(2.4)式中，F(xiàn)表示t到t + At時(shí)間間隔內(nèi)，由于單元內(nèi)應(yīng)力增量所引起的結(jié)點(diǎn)力增量矢量。這一矢 量可以

13、近似表示為：F t K U(2.5)式中，t K為相應(yīng)于t時(shí)刻材料和幾何條件的切線剛度矩陣。U為At時(shí)間間隔中的結(jié)點(diǎn)位移增量，現(xiàn)在它還是未知的。將式(2.4) 和 (2.5) 代入式 (2.3) 中，得到：t K U t t R t F(2.6)上式中只有位移增量U為未知，一旦解出，即可算得t + At時(shí)刻的位移：t t U t U U(2.7)根據(jù)t t U ,就容易算出t + At時(shí)刻的應(yīng)力及t t F , t t K ,于是馬上可以著手下一步的計(jì)算。但要指出的是，式(2.5)是一個(gè)近似表達(dá)式，因此 t + At時(shí)刻的解也是近似的，如果急于求成的作下去，最終結(jié)果可能出現(xiàn)不可忽視的重大誤差以

14、致于達(dá)到荒謬的地步。解決這一困難的辦法是以花費(fèi)計(jì)算時(shí)間為代價(jià)，即在t至ij t十 t時(shí)步中進(jìn)行足夠次數(shù)的迭代，以保證最終的解獲得足夠的精度。2 . 2. 3 引入修正Newton Raphson 迭代格式的增量逐步解法現(xiàn)在更多采用的方法是在每一個(gè)荷載增量步中，使用Newton Raphson 迭代法或修正的Newton Raphson 迭代法。由于后者不需要每次迭代時(shí)都計(jì)算切線剛度矩陣，因此在實(shí)際中具有更廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)對(duì)該方法做簡(jiǎn)單的介紹。在t時(shí)刻到t + At時(shí)刻的時(shí)步中，修正 NewtonRaphson法的迭代公式可以表示為：tK Ui t tR t tF i1(2.8)t tUt tU

15、i1 U i(2.9)其中，i表示迭代步數(shù)，依次取 1, 2, 3,其迭代所用的初始值正是時(shí)刻的解，即：U0tU,ttF0 tF(2.10)式 (2.8) 的右端項(xiàng)：t t R t t稱為第i 步迭代前的不平衡荷載。在迭代過程中，在迭代過程中,t t i1F 隨 i 的增加而逐步接近R 。因此，我們可事先對(duì)不平衡荷載的模給定一個(gè)精度指我們可事先對(duì)不平衡荷載的模給定一個(gè)精度指標(biāo)，每次迭代后檢查不平衡荷載是否小于該指標(biāo)。若滿足精度，則在求出t t U 之后轉(zhuǎn)入下一時(shí)步的計(jì)算，否則繼續(xù)迭代，直到滿足精度要求為止。3 材料非線性問題的有限單元法4 1 材料非線性問題概述在所有的非線性分析問題中，材料非

16、線性問題的處理相對(duì)簡(jiǎn)單，不需要重新列出整個(gè)問題的表達(dá)格式，只要將材料本構(gòu)關(guān)系線性化，就可將線性問題的表達(dá)格式推廣用于非線性分析。一般來說，通過試探和迭代的過程求解一系列線性問題，如果在最后階段，材料的狀態(tài)參數(shù)被調(diào)整得滿足材料的非線性本構(gòu)關(guān)系，則最終可得到問題的解答。材料非線性問題可以分為兩種類型。一類是不依賴于時(shí)間的彈塑性問題，其特點(diǎn)是當(dāng)荷載作用以后，材料變形立即發(fā)生，并且不再隨時(shí)間而變化。另一類是依賴于時(shí)間的粘(彈，塑)性問題，其特點(diǎn)是荷載作用以后，材料不僅立即發(fā)生變形，而且變形隨時(shí)間繼續(xù)變化。在荷載保持不變的條件下，由于材料粘性而繼續(xù)增長(zhǎng)的變形稱之為蠕變；另一方面，在變形保持不變的條件下，

17、由于材料粘性而使應(yīng)力衰減稱之為松弛。顯然，后一類材料非線性問題在求解時(shí)更為困難一些。3 2 材料非線性本構(gòu)關(guān)系限于篇幅，本文僅討論最為常見的彈塑性非線性本構(gòu)關(guān)系。彈塑性材料進(jìn)入塑性的特征是當(dāng)荷載卸去以后存在不可恢復(fù)的永久變形，因而在涉及卸載的情況下，應(yīng)力應(yīng)變之間不再存在惟一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是區(qū)別于非線彈性材料的基本屬性。以材料的單向受力情況為例，只是在加載時(shí)應(yīng)力應(yīng)變呈現(xiàn)非線性關(guān)系，還不足以判定材料是非線性彈性還是彈塑性。但是一經(jīng)卸載立即發(fā)生兩者的區(qū)別，非線性彈性材料將沿原路徑返回，而彈塑性材料將依據(jù)不同的加載歷史卸載后產(chǎn)生不同的永久變形。任何一種彈塑性材料都應(yīng)當(dāng)滿足塑性力學(xué)的四條基本準(zhǔn)則，這里對(duì)

18、此作簡(jiǎn)單的介紹：1 初始屈服條件：規(guī)定了材料開始塑性變形的應(yīng)力狀態(tài)。在有限元分析中，通常采用V.Mises準(zhǔn)則。2 流動(dòng)準(zhǔn)則：規(guī)定塑性應(yīng)變?cè)隽康姆至亢蛻?yīng)力分量以及應(yīng)力增量分量之間的關(guān)系。3 硬化準(zhǔn)則：規(guī)定材料進(jìn)入塑性變形后的后繼屈服函數(shù)。對(duì)于理想彈塑性材料，因無硬化效應(yīng)，后繼屈服函數(shù)和初始屈服函數(shù)一致；對(duì)于硬化材料，通常又有各向同性硬化準(zhǔn)則，隨動(dòng)硬化準(zhǔn)則和混合硬化準(zhǔn)則三種不同的準(zhǔn)則。4 加載，卸載準(zhǔn)則：用以判別從一塑性狀態(tài)出發(fā)是繼續(xù)塑性加載還是彈性卸載，這是計(jì)算中判定是否繼續(xù)塑性變形以及決定是采用彈塑性本構(gòu)關(guān)系還是彈性本構(gòu)關(guān)系所必須的。各種類型的彈塑性材料可以從對(duì)各自的后繼屈服函數(shù)進(jìn)行微分出發(fā)

19、，進(jìn)而推導(dǎo)出各自相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變的增量關(guān)系，這里不一一列舉。需要進(jìn)一步說明的是，對(duì)于處于高溫條件下工作的結(jié)構(gòu)，必須考慮溫度對(duì)本構(gòu)關(guān)系的影響。比如隨著溫度的升高，屈曲極限有所降低，材料硬化特性也有所減少，并逐漸接近理想塑性材料，同時(shí)材料常數(shù)E,“等也隨溫度變化而有所變化。至于長(zhǎng)期工作在高溫條件下的結(jié)構(gòu)還必須考慮蠕變的效應(yīng)。4 3 材料非線性問題的有限元表達(dá)格式對(duì)于彈塑性材料，由于材料和結(jié)構(gòu)的彈塑性行為與加載以及變形的歷史有關(guān)。因此，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的彈塑性分析時(shí)，通常將荷載分成若干個(gè)增量，然后對(duì)于每一荷載增量，將彈塑性方程線性化，從而使彈塑性分析這一非線性問題分解為一系列的線性問題。按照這種思想，首先建

20、立增量形式的荷載條件和位移條件，進(jìn)而建立增量形式的虛位移原理，即增量形式的最小勢(shì)能原理，最終即可得到基于增量形式的有限元表達(dá)格式。系統(tǒng)平衡方程形式同前 (3.5) 式，其中切線剛度矩陣t K 在這里是系統(tǒng)的彈塑性剛度矩陣。彈塑性增量有限元分析在將加載過程劃分為若干增量步以后，對(duì)于每一個(gè)增量步應(yīng)包含下列三個(gè)算法步驟：1 線性化彈塑性本構(gòu)關(guān)系，并形成增量有限元方程。2 求解有限元方程。注意在求解過程中每個(gè)增量步或每次迭代時(shí)彈塑性剛度矩陣都可能發(fā)生局部的變化。3 積分本構(gòu)方程，決定新的應(yīng)力狀態(tài)，檢查平衡條件，并決定是否進(jìn)行新的迭代。上述每一步驟的算法方案和數(shù)值方法，以及荷載增量步長(zhǎng)的選擇都關(guān)系到整個(gè)

21、求解過程的穩(wěn)定性，精度和效率。這里尤其需要注意的是非線性方程組求解方案的選擇。通?？梢圆捎靡韵聨追N求解方案：無迭代的增量解法，具有變剛度迭代（N-R 迭代 ） 的增量解法和具有常剛度迭代（mN-R迭代）的增量解法。變剛度迭代具有良好的收斂性，允許采用較大的時(shí)間步長(zhǎng)，但每次迭代都要重新形成和分解新的剛度矩陣。而采用常剛度迭代可以節(jié)省上述計(jì)算費(fèi)用，缺點(diǎn)是收斂速度較慢，特別在接近荷載的極限狀況時(shí)，因此經(jīng)常需要同時(shí)采用加速迭代的措施。具體采用何種求解方案，應(yīng)根據(jù)具體問題的特點(diǎn)，綜合考慮精度和效率兩方面因素。對(duì)于除彈塑性以外的材料非線性問題，例如熱彈塑性蠕變問題，粘彈塑性問題等，由于同時(shí)涉及獨(dú)立于時(shí)間和

22、依賴于時(shí)間的兩類非彈性變形以及本構(gòu)方程的高度非線性，無論是其本構(gòu)方程的建立和它的積分方法，還是非線性方程組的求解方法都遠(yuǎn)比通常的彈塑性分析困難得多。但 還是有很多共性的方面，這里不再展開詳述。4 幾何非線性問題的有限單元法4 1 幾何非線性問題概述在某一固體力學(xué)問題中，如果假定物體所發(fā)生的位移遠(yuǎn)小于物體自身的幾何尺度，應(yīng)變遠(yuǎn)小于 1 ，那么此問題就稱作滿足“小變形假定”。在此前提下，建立物體或微元體的平衡條件時(shí)可以不考慮物體的位置和形狀（簡(jiǎn)稱位形）的變化。因此分析中不必區(qū)分變形前和變形后的位形。同時(shí)在加載和變形過程中的應(yīng)變可用一階無窮小的線性應(yīng)變進(jìn)行度量。但是在實(shí)際中，我們往往會(huì)遇到很多不符合

23、小變形假定的問題，例如板殼等薄壁結(jié)構(gòu)的屈曲問題。此時(shí)必須考慮變形對(duì)平衡的影響，即平衡條件應(yīng)建立在變形后的位形上，同時(shí)應(yīng)變表達(dá)式也應(yīng)包括位移的二次項(xiàng)。這樣一來，平衡方程和幾何關(guān)系都將是非線性的。這種由于大平動(dòng)和大轉(zhuǎn)動(dòng)引起的非線性問題稱為幾何非線性問題。幾何非線性問題還有另外一種類型，例如金屬的成型，橡皮型材料受荷載作用，都可能會(huì)出現(xiàn)很大的應(yīng)變，這時(shí)除了采用非線性的平衡方程和幾何關(guān)系以外，還需要引入相應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，盡管對(duì)于后一問題材料通常還處于彈性狀態(tài)。當(dāng)然大多數(shù)大應(yīng)變問題是和材料的非彈性性質(zhì)聯(lián)系在一起的。這類幾何非線性問題即通常所說的大平動(dòng)，大轉(zhuǎn)動(dòng)，大應(yīng)變問題。5 2 幾何非線性問題的有限元

24、表達(dá)格式早期幾何非線性有限元分析基本上是線性分析的擴(kuò)展，針對(duì)各個(gè)具體問題分別進(jìn)行分析。而近年來，基于非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原理的有限元分析取得很大發(fā)展，得到了統(tǒng)一的一般非線性分析的表達(dá)格式?；诜蔷€性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，首先應(yīng)當(dāng)對(duì)大變形情況下的應(yīng)變和應(yīng)力進(jìn)行度量。這是因?yàn)樵诜蔷€性問題中，由于存在的大位移，大應(yīng)變而導(dǎo)致有限變形，使得原來傳統(tǒng)的小變形下的Cauchy方程不再適用。此時(shí)，根據(jù)連續(xù)體在不同的位形下坐標(biāo)的變換，對(duì)變形前后物體上某一線段變形的度量可以采用兩種不同的應(yīng)變度量方式。即用變形前坐標(biāo)表示的Green 應(yīng)變張量和用變形后坐標(biāo)表示的Almansi 應(yīng)變張量。在大變形問題中，是用從變形后的物體內(nèi)截

25、取出的微元體來建立平衡方程和與之等效的虛功原理的。因此，在從變形后物體內(nèi)截取出的微元體上面定義的應(yīng)力張量稱為 Euler 應(yīng)力張量。如果用于變形前的位形，可以具體定義另外兩種應(yīng)力張量：Lagrange 應(yīng)力張量和 Kirchhoff 應(yīng)力張量。此外，在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中還定義了一種其分量不隨材料剛體轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的速率型應(yīng)力張量，Jaumann應(yīng)力速率張量。在涉及幾何非線性問題的有限單元法中，通常都采用增量分析的方法。為了得到方程的解答，所有的變量都應(yīng)參考某一已經(jīng)求得的平衡位形。在實(shí)際分析中，通常有以下兩種選擇：1 .全Lagrange格式（Total Lagrange Formulation ,簡(jiǎn)稱

26、 T.L.格式），這種格式中所有變 量以時(shí)間0的位形作為參考位形。2 .更新 Lagrange 格式（Updated Lagrange Formulation ,簡(jiǎn)稱 U.L.格式），這種格式中所 有變量以時(shí)間t的位形作為參考位形。因?yàn)樵谇蠼膺^程中參考位形是不斷改變的，所以稱之為更 新的 Lagrange 格式。由以上兩種格式導(dǎo)出的求解方程在理論上是等效的，如若采用數(shù)學(xué)上相一致的本構(gòu)關(guān)系，它 們將產(chǎn)生相同的結(jié)果。但在求解的有限元矩陣方程本身和求解步驟上仍有一定的差別。在通用的 有限元程序中，通常同時(shí)包括這兩種格式，使用時(shí)可以根據(jù)所分析問題及材料本構(gòu)關(guān)系的具體特 點(diǎn)和形式選擇最有效的格式。為進(jìn)一

27、步說明非線性分析的特點(diǎn)，下表列出按非線性問題的不同分類所采用的不同描述方法 和應(yīng)力應(yīng)變。表1非線性問題分類分析類型特 點(diǎn)描述方法應(yīng)力和應(yīng)變僅材料非線性平動(dòng)位移，轉(zhuǎn)動(dòng)位移和應(yīng)變無限小，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性的。僅材料非線性（M.N.O.）工程應(yīng)力工程應(yīng)變大平動(dòng)大轉(zhuǎn)動(dòng)小應(yīng)變線元的平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移充分大， 但線元的伸長(zhǎng)和線元之間的角度改變無限小， 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的或非線性的。全 Lagrange 描述 (T.L.)Kirchhoff 應(yīng)力Green應(yīng)變更新 Lagrange 描述 (U.L.)Cauchy應(yīng)力Almansi 應(yīng)變大平動(dòng)大轉(zhuǎn)動(dòng)大應(yīng)變線元的伸長(zhǎng)和線元之間的角度改變充分大， 線元的平動(dòng)

28、位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移也可以充分大， 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性的或非線性的。全 Lagrange 描述 (T.L.)Kirchhoff 應(yīng)力Green應(yīng)變更新 Lagrange-Jaumann描述(U.L.J.)Jaumann應(yīng)力率Almansi應(yīng)變率4. 3幾何非線性問題有限元方程的求解對(duì)于幾何非線性有限元的求解，一般采用等參元對(duì)求解域進(jìn)行離散。兩種表達(dá)格式T.L.和U.L.都可應(yīng)用，關(guān)鍵在于對(duì)求解方程的線性化處理。因?yàn)闊o論是T.L.格式還是U.L.格式，都是基于線性化處理后的虛位移原理建立的有限元矩陣方程，該矩陣方程僅是對(duì)于每一時(shí)間步長(zhǎng)所應(yīng) 求解的非線性方程的近似。由于系統(tǒng)的非線性性質(zhì)，線性化處理帶來的

29、誤差將可能導(dǎo)致解的漂移 或不穩(wěn)定。因此，仍需采用基于Newton-Raphson迭代格式或修正 Newton-Raphson迭代格式的增量逐步解法求解方程組。在實(shí)際分析中，兩種格式用于求解的時(shí)間一般情況下相差不多，究竟選擇哪種格式通常取決 于所采用的本構(gòu)關(guān)系的具體形式。也就應(yīng)當(dāng)在求解之初便首先區(qū)分是大應(yīng)變還是小應(yīng)變，選擇格 式已在表1中列出，此處不再詳述。和材料非線性問題相比，幾何非線性問題有著更為復(fù)雜多樣的荷載一位移路徑，如在荷載控制下的疾速通過和位移控制下的疾速通過。因此，荷載增量步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇就顯得格外重要。近些年來，廣泛應(yīng)用的一類荷載增量步長(zhǎng)的自動(dòng)選擇方法是“廣義弧長(zhǎng)法”。在廣義弧長(zhǎng)法

30、中，用于調(diào)節(jié)荷載增量和位移增量在弧長(zhǎng)L中作用的比例因子“對(duì)弧長(zhǎng)法的總體性能有很大的影響。一般采用的比例因子有：1 = 1的球面弧長(zhǎng)法，o = 0的柱面弧長(zhǎng)法，s = Sp的橢圓弧長(zhǎng)法。對(duì)于不 同的結(jié)構(gòu)和荷載情況，很難說以上a不同取值的三種情況中哪一種具有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，但是a=0的柱面弧長(zhǎng)法具有較好的普遍適應(yīng)性。5桿索非線性有限元理論在結(jié)構(gòu)非線性有限元分析中，最為重要也最為基本的是建立精度適合的各種有限單元列式， 并在基于某些假定的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其單元?jiǎng)偠染仃嚭陀邢拊蠼夥匠?。下由于目前的研究和?yīng)用 中已經(jīng)出現(xiàn)了相當(dāng)多的上述單元的理論和模型，限于篇幅并基于應(yīng)用角度，每種單元僅選擇一種 最為常用，精度

31、也較高的單元加以介紹。5. 15. 1. 11.2.3.5. 1.2非線性有限桿單元理論基本假定桿單元只能承受軸向力；桿單元的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系符合虎克定律； 桿單元位移變形為大位移小應(yīng)變。剛度矩陣及有限元方程假定單元位移函數(shù)線性插值:Ui1Ui2Ui(5.1)tUiui,j 一tXj(5.2)在局部坐標(biāo)系E中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為:E ep在局部和整體坐標(biāo)系關(guān)系中，轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)力增量和應(yīng)變?cè)隽康淖儞Q矩陣T為:(5.3)式中：l,mn是方向余弦。由此可得:式中:l2Eepn2 lm表示局部坐標(biāo)系下單元的應(yīng)變和應(yīng)力;tln mn表示整體坐標(biāo)系下單元的應(yīng)力和應(yīng)變。應(yīng)變?cè)隽亢臀灰圃隽康年P(guān)系可用B 矩陣表示，則有限元

32、矩陣可表示為：ttK0tBLTDtBLtdVtVttKutBNLTSEtBNL tdVtV(5.4)ttFtBLT E dVtV式中：SE, (TE分別為Kirchhoff應(yīng)力矩陣和向量。l2lmlnl2lmlnlm2 mmnlm2 mmntlnttK02l2mn2 nlnl2mn2 nlmlnlmlnlm2 mmnlm2 mmnlnmn2 nlnmn2 n(5.5)100100010010tt KuE001001A/L100100010010001001(5.6)ttFEA1mnlmt n將積分式展開，得到線性剛度矩陣，非線性剛度矩陣和內(nèi)力項(xiàng)的矩陣表達(dá)式：(5.7)按虛位移原理的矩陣列式為t

33、tK0tt Kuu t tQtt F(5.8)上式即為有限元基本方程。5 2 非線性有限索單元理論索結(jié)構(gòu)在大跨結(jié)構(gòu)中已得到廣泛的應(yīng)用。隨著連續(xù)長(zhǎng)索的不斷應(yīng)用，對(duì)于索力學(xué)模型的精度要求也越來越高。初期的研究以解析法為基礎(chǔ)，對(duì)較為簡(jiǎn)單理想的外荷載和邊界條件作了分析。隨著計(jì)算技術(shù)的提高，提出并采用了考慮大變形的各種離散模型，主要有：兩節(jié)點(diǎn)直線桿單元模型，以等效彈性模量來考慮垂度影響；兩節(jié)點(diǎn)拋物線索單元模型，以及為了提高分析精度采用內(nèi)插節(jié)點(diǎn)的多節(jié)點(diǎn)索單元( 三節(jié)點(diǎn)， 四節(jié)點(diǎn)，五節(jié)點(diǎn)索單元) 模型和采用B 樣條基構(gòu)建的索單元模型。下面簡(jiǎn)要介紹懸鏈線索單元模型。5. 2. 1 基本假定1 .索為理想柔索，不受壓且無彎曲剛度；2 .滿足大變形，小應(yīng)變要求；3 .索中外荷載沿索長(zhǎng)均勻分布。5. 2. 2剛度矩陣及有限元方程作幾何非線性分析時(shí)，索單元的切線剛度可按下述方法計(jì)算。如圖 1中為一個(gè)索單元，其中 i點(diǎn)的位移是 1,2,3; j點(diǎn)的位移是4,5,6;節(jié)點(diǎn)力由原來的 F0i, F02, F03, F04, F05, F06增加到Fl, F2, F3, F4, F