第四章動量和動量守恒

1、第四章 動量一.動量和沖量1.動量按定義，物體的質(zhì)量和速度的乘積叫做動量：p=mv動量是描述物體運動狀態(tài)的一個狀態(tài)量，它與時刻相對應(yīng)。動量是矢量，它的方向和速度的方向相同。2.沖量按定義，力和力的作用時間的乘積叫做沖量：I=Ft沖量是描述力的時間積累效應(yīng)的物理量，是過程量，它與時間相對應(yīng)。沖量是矢量，它的方向由力的方向決定（不能說和力的方向相同）。如果力的方向在作用時間內(nèi)保持不變，那么沖量的方向就和力的方向相同。高中階段只要求會用I=Ft計算恒力的沖量。對于變力的沖量，高中階段只能利用動量定理通過物體的動量變化來求。要注意的是：沖量和功不同。恒力在一段時間內(nèi)可能不作功，但一定有沖量。mH例1.

2、 質(zhì)量為m的小球由高為H的光滑斜面頂端無初速滑到底端過程中，重力、彈力、合力的沖量各是多大？解：力的作用時間相同都是，力的大小依次是mg、mgcos和mgsin，所以它們的沖量依次是： 特別要注意，彈力雖然不做功，但對物體有沖量。二、動量定理1.動量定理物體所受合外力的沖量等于物體的動量變化。既I=p動量定理表明沖量是使物體動量發(fā)生變化的原因，沖量是物體動量變化的量度。這里所說的沖量必須是物體所受的合外力的沖量（或者說是物體所受各外力沖量的矢量和）。動量定理給出了沖量（過程量）和動量變化（狀態(tài)量）間的互求關(guān)系。實際上現(xiàn)代物理學(xué)把力定義為物體動量的變化率：（這也是牛頓第二定律的動量形式）。動量定

3、理的表達(dá)式是矢量式。在一維的情況下，各個矢量必須以同一個規(guī)定的方向為正。例2. 以初速度v0平拋出一個質(zhì)量為m的物體，拋出后t秒內(nèi)物體的動量變化是多少？解：因為合外力就是重力，所以p=Ft=mgt 有了動量定理，不論是求合力的沖量還是求物體動量的變化，都有了兩種可供選擇的等價的方法。本題用沖量求解，比先求末動量，再求初、末動量的矢量差要方便得多。當(dāng)合外力為恒力時往往用Ft來求較為簡單；當(dāng)合外力為變力時，在高中階段只能用p來求。2.利用動量定理定性地解釋一些現(xiàn)象例3. 雞蛋從同一高度自由下落，第一次落在地板上，雞蛋被打破；第二次落在塑料墊上，沒有被打破。為什么？解：由于兩次碰地（或碰塑料墊）瞬間

4、雞蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以兩次碰撞過程雞蛋的動量變化相同。根據(jù)Ft=p，由于第一次與地板作用時的接觸時間短，作用力大，所以雞蛋被打破；第二次與塑料墊作用的接觸時間長，作用力小，所以雞蛋沒有被打破。（再說得準(zhǔn)確一點應(yīng)該指出：雞蛋被打破是因為受到的壓強(qiáng)大。雞蛋和地板相互作用時的接觸面積小而作用力大，所以壓強(qiáng)大，雞蛋被打破；雞蛋和塑料墊相互作用時的接觸面積大而作用力小，所以壓強(qiáng)小，雞蛋未被打破。）F例4. 某同學(xué)要把壓在木塊下的紙抽出來。第一次他將紙迅速抽出，木塊幾乎不動；第二次他將紙較慢地抽出，木塊反而被拉動了。這是為什么？解：物體動量的改變不是取決于合力的大小，而是取決于合力沖

5、量的大小。在水平方向上，第一次木塊受到的是滑動摩擦力，一般來說大于第二次受到的靜摩擦力；但第一次力的作用時間極短，摩擦力的沖量小，因此木塊沒有明顯的動量變化，幾乎不動。第二次摩擦力雖然較小，但它的作用時間長，摩擦力的沖量反而大，因此木塊會有明顯的動量變化。3.利用動量定理進(jìn)行定量計算利用動量定理解題，必須按照以下幾個步驟進(jìn)行：明確研究對象和研究過程。研究對象可以是一個物體，也可以是幾個物體組成的質(zhì)點組。質(zhì)點組內(nèi)各物體可以是保持相對靜止的，也可以是相對運動的。研究過程既可以是全過程，也可以是全過程中的某一階段。進(jìn)行受力分析。只分析研究對象以外的物體施給研究對象的力。所有外力之和為合外力。研究對象

6、內(nèi)部的相互作用力（內(nèi)力）會改變系統(tǒng)內(nèi)某一物體的動量，但不影響系統(tǒng)的總動量，因此不必分析內(nèi)力。如果在所選定的研究過程中的不同階段中物體的受力情況不同，就要分別計算它們的沖量，然后求它們的矢量和。規(guī)定正方向。由于力、沖量、速度、動量都是矢量，在一維的情況下，列式前要先規(guī)定一個正方向，和這個方向一致的矢量為正，反之為負(fù)。寫出研究對象的初、末動量和合外力的沖量（或各外力在各個階段的沖量的矢量和）。根據(jù)動量定理列式求解。ABC例5. 質(zhì)量為m的小球，從沙坑上方自由下落，經(jīng)過時間t1到達(dá)沙坑表面，又經(jīng)過時間t2停在沙坑里。求：沙對小球的平均阻力F；小球在沙坑里下落過程所受的總沖量I。解：設(shè)剛開始下落的位置

7、為A，剛好接觸沙的位置為B，在沙中到達(dá)的最低點為C。在下落的全過程對小球用動量定理：重力作用時間為t1+t2，而阻力作用時間僅為t2，以豎直向下為正方向，有： mg(t1+t2)-Ft2=0, 解得： 仍然在下落的全過程對小球用動量定理：在t1時間內(nèi)只有重力的沖量，在t2時間內(nèi)只有總沖量（已包括重力沖量在內(nèi)），以豎直向下為正方向，有： mgt1-I=0,I=mgt1 這種題本身并不難，也不復(fù)雜，但一定要認(rèn)真審題。要根據(jù)題意所要求的沖量將各個外力靈活組合。若本題目給出小球自由下落的高度，可先把高度轉(zhuǎn)換成時間后再用動量定理。2002年理綜高考中的蹦床問題就是同類問題。m Mv0v/例6. 質(zhì)量為M

8、的汽車帶著質(zhì)量為m的拖車在平直公路上以加速度a勻加速前進(jìn)，當(dāng)速度為v0時拖車突然與汽車脫鉤，直到拖車停下瞬間司機(jī)才發(fā)現(xiàn)。若汽車的牽引力一直未變，車與路面的動摩擦因數(shù)為，那么拖車剛停下時，汽車的即時速度是多大？解：以汽車和拖車系統(tǒng)為研究對象，全過程系統(tǒng)受的合外力始終為，該過程經(jīng)歷時間為v0/g，末狀態(tài)拖車的動量為零。全過程對系統(tǒng)用動量定理可得： 這種方法只能用在拖車停下之前。因為拖車停下后，系統(tǒng)受的合外力中少了一個拖車受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。例7.質(zhì)量為m=1kg的小球由高h(yuǎn)1=0.45m處自由下落，落到水平地面后，反跳的最大高度為h2=0.2m，從小球下落到反跳到最高點經(jīng)歷的時間為

9、t=0.6s，取g=10m/s2。求：小球撞擊地面過程中，球?qū)Φ孛娴钠骄鶋毫Φ拇笮。解：以小球為研究對象，從開始下落到反跳到最高點的全過程動量變化為零，根據(jù)下降、上升高度可知其中下落、上升分別用時t1=0.3s和t2=0.2s，因此與地面作用的時間必為t3=0.1s。由動量定理得：mgt-Ft3=0 ，F(xiàn)=60N三、動量守恒定律1.動量守恒定律 一個系統(tǒng)不受外力或者受外力之和為零，這個系統(tǒng)的總動量保持不變。 即：2.動量守恒定律成立的條件系統(tǒng)不受外力或者所受外力之和為零；系統(tǒng)受外力，但外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力，可以忽略不計；系統(tǒng)在某一個方向上所受的合外力為零，則該方向上動量守恒。全過程的某一階段系統(tǒng)受

10、的合外力為零，則該階段系統(tǒng)動量守恒。3.動量守恒定律的表達(dá)形式 除了，即p1+p2=p1/+p2/外，還有： p1+p2=0，p1= -p2 和4.動量守恒定律的重要意義從現(xiàn)代物理學(xué)的理論高度來認(rèn)識，動量守恒定律是物理學(xué)中最基本的普適原理之一。（另一個最基本的普適原理就是能量守恒定律。）從科學(xué)實踐的角度來看，迄今為止，人們尚未發(fā)現(xiàn)動量守恒定律有任何例外。相反，每當(dāng)在實驗中觀察到似乎是違反動量守恒定律的現(xiàn)象時，物理學(xué)家們就會提出新的假設(shè)來補(bǔ)救，最后總是以有新的發(fā)現(xiàn)而勝利告終。例如靜止的原子核發(fā)生衰變放出電子時，按動量守恒，反沖核應(yīng)該沿電子的反方向運動。但云室照片顯示，兩者徑跡不在一條直線上。為解

11、釋這一反?，F(xiàn)象，1930年泡利提出了中微子假說。由于中微子既不帶電又幾乎無質(zhì)量，在實驗中極難測量，直到1956年人們才首次證明了中微子的存在。（2000年高考綜合題23 就是根據(jù)這一歷史事實設(shè)計的）。又如人們發(fā)現(xiàn)，兩個運動著的帶電粒子在電磁相互作用下動量似乎也是不守恒的。這時物理學(xué)家把動量的概念推廣到了電磁場，把電磁場的動量也考慮進(jìn)去，總動量就又守恒了。四、動量守恒定律的應(yīng)用1.碰撞A A B A B A Bv1vv1/v2/ 兩個物體在極短時間內(nèi)發(fā)生相互作用，這種情況稱為碰撞。由于作用時間極短，一般都滿足內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，所以可以認(rèn)為系統(tǒng)的動量守恒。碰撞又分彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞

12、三種。 仔細(xì)分析一下碰撞的全過程：設(shè)光滑水平面上，質(zhì)量為m1的物體A以速度v1向質(zhì)量為m2的靜止物體B運動，B的左端連有輕彈簧。在位置A、B剛好接觸，彈簧開始被壓縮，A開始減速，B開始加速；到位置A、B速度剛好相等（設(shè)為v），彈簧被壓縮到最短；再往后A、B開始遠(yuǎn)離，彈簧開始恢復(fù)原長，到位置彈簧剛好為原長，A、B分開，這時A、B的速度分別為。全過程系統(tǒng)動量一定是守恒的；而機(jī)械能是否守恒就要看彈簧的彈性如何了。 彈簧是完全彈性的。系統(tǒng)動能減少全部轉(zhuǎn)化為彈性勢能，狀態(tài)系統(tǒng)動能最小而彈性勢能最大；彈性勢能減少全部轉(zhuǎn)化為動能；因此、狀態(tài)系統(tǒng)動能相等。這種碰撞叫做彈性碰撞。由動量守恒和能量守恒可以證明A、

13、B的最終速度分別為：。（這個結(jié)論最好背下來，以后經(jīng)常要用到。） 彈簧不是完全彈性的。系統(tǒng)動能減少，一部分轉(zhuǎn)化為彈性勢能，一部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，狀態(tài)系統(tǒng)動能仍和相同，彈性勢能仍最大，但比?。粡椥詣菽軠p少，部分轉(zhuǎn)化為動能，部分轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；因為全過程系統(tǒng)動能有損失（一部分動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能）。這種碰撞叫非彈性碰撞。 v1 彈簧完全沒有彈性。系統(tǒng)動能減少全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，狀態(tài)系統(tǒng)動能仍和相同，但沒有彈性勢能；由于沒有彈性，A、B不再分開，而是共同運動，不再有過程。這種碰撞叫完全非彈性碰撞。可以證明，A、B最終的共同速度為。在完全非彈性碰撞過程中，系統(tǒng)的動能損失最大，為：。（這個結(jié)論最好背下來，以后經(jīng)常要用到。）

14、例8. 質(zhì)量為M的楔形物塊上有圓弧軌道，靜止在水平面上。質(zhì)量為m的小球以速度v1向物塊運動。不計一切摩擦，圓弧足夠長。求小球能上升到的最大高度H 和物塊的最終速度v。解：系統(tǒng)水平方向動量守恒，全過程機(jī)械能也守恒。在小球上升過程中，由水平方向系統(tǒng)動量守恒得：由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：解得全過程系統(tǒng)水平動量守恒，機(jī)械能守恒，得 可見本題和上面分析的彈性碰撞基本相同，唯一的不同點僅在于重力勢能代替了彈性勢能。例9. 動量分別為5kgm/s和6kgm/s的小球A、B沿光滑平面上的同一條直線同向運動，A追上B并發(fā)生碰撞后。若已知碰撞后A的動量減小了2kgm/s，而方向不變，那么A、B質(zhì)量之比的可能范圍是什么？

15、解：A能追上B，說明碰前vA>vB,；碰后A的速度不大于B的速度， ；又因為碰撞過程系統(tǒng)動能不會增加， ，由以上不等式組解得：此類碰撞問題要考慮三個因素：碰撞中系統(tǒng)動量守恒；碰撞過程中系統(tǒng)動能不增加；碰前、碰后兩個物體的位置關(guān)系（不穿越）和速度大小應(yīng)保證其順序合理。2.子彈打木塊類問題子彈打木塊實際上是一種完全非彈性碰撞。作為一種典型，它的特點是：子彈以水平速度射向原來靜止的木塊，并留在木塊中跟木塊共同運動。下面從動量、能量和牛頓運動定律等多個角度來分析這一過程。 s2 ds1v0v例10. 設(shè)質(zhì)量為m的子彈以初速度v0射向靜止在光滑水平面上的質(zhì)量為M的木塊，并留在木塊中不再射出，子彈鉆

16、入木塊深度為d。求木塊對子彈的平均阻力的大小和該過程中木塊前進(jìn)的距離。解：子彈和木塊最后共同運動，相當(dāng)于完全非彈性碰撞。從動量的角度看，子彈射入木塊過程中系統(tǒng)動量守恒： 從能量的角度看，該過程系統(tǒng)損失的動能全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能。設(shè)平均阻力大小為f，如示意圖所示，設(shè)子彈、木塊的位移大小分別為s1、s2，顯然有s1-s2=d對子彈用動能定理： 對木塊用動能定理： 、相減得： 這個式子的物理意義是：fd恰好等于系統(tǒng)動能的損失；根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)動能的損失應(yīng)該等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加；可見，即兩物體由于相對運動而摩擦產(chǎn)生的熱（機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能），等于摩擦力大小與兩物體相對滑動的路程的乘積（由于摩擦力是耗

17、散力，摩擦生熱跟路徑有關(guān)，所以這里應(yīng)該用路程，而不是用位移）。 由上式不難求得平均阻力的大?。褐劣谀緣K前進(jìn)的距離s2，可以由以上、相比得出：從牛頓運動定律和運動學(xué)公式出發(fā)，也可以得出同樣的結(jié)論。由于子彈和木塊都在恒力作用下做勻變速運動，位移與平均速度成正比： 一般情況下，所以s2<<d。這說明，在子彈射入木塊過程中，木塊的位移很小，可以忽略不計。這就為分階段處理問題提供了依據(jù)。象這種運動物體與靜止物體相互作用，動量守恒，最后共同運動的類型，全過程動能的損失量可用公式： 當(dāng)子彈速度很大時，可能射穿木塊，這時末狀態(tài)子彈和木塊的速度大小不再相等，但穿透過程中系統(tǒng)動量仍然守恒，系統(tǒng)動能損失

18、仍然是EK= f d（這里的d為木塊的厚度），但由于末狀態(tài)子彈和木塊速度不相等，所以不能再用式計算EK的大小。 做這類題目時一定要畫好示意圖，把各種數(shù)量關(guān)系和速度符號標(biāo)在圖上，以免列方程時帶錯數(shù)據(jù)。3.反沖問題 在某些情況下，原來系統(tǒng)內(nèi)物體具有相同的速度，發(fā)生相互作用后各部分的末速度不再同而分開。這類問題相互作用過程中系統(tǒng)的動能增大，有其它能向動能轉(zhuǎn)化。這種問題可統(tǒng)稱為反沖。例11. 質(zhì)量為m的人站在質(zhì)量為M，長為L的靜止小船的右端，小船的左端靠在岸邊。當(dāng)他向左走到船的左端時，船左端離岸多遠(yuǎn)？l2 l1解：先畫出示意圖。人、船系統(tǒng)動量守恒，總動量始終為零，所以人、船動量大小始終相等。從圖中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。設(shè)人、船位移大小分別為l1、l2，則：mv1=Mv2，兩邊同乘時間t，ml1=Ml2，而l1+l2=L， 應(yīng)該注意到：此結(jié)論與人在船上行走的速度大小無關(guān)。不論是勻速行走還是變速行走，甚至