二項式定理通項公式

1、二項式定理二項式知識回顧1. 二項式定理(a b)n 二C：an 心叫1 |C：an±bk |cnbn,以上展開式共n+1項，其中 C叫做二項式系數(shù)，Ti =C：anJsbk叫做二項展開式的通項.(請同學完成下列二項展開式)nOn in 1. 1kknkknnnk k n_k k(ab) =Ga Ga b+H| + (1) Ga b +川+(1)Cb，Tk申=(1) C.ab(1 +X)n =C0+川十&乂(2x 1)n =C：(2x)n C(2x)2 |( C：(2x)n± 川C：(2x) 1= anXn anjxn 1 JU an±xn 0|a1x a

2、o 式中分別令x=1和x=-1，則可以得到C： C| C： =2n，即二項式系數(shù)和等于2n ；偶數(shù)項二項式系數(shù)和等于奇數(shù)項二項式系數(shù)和，即Cn +Cn +j|=Cn +Cn +| =2 式中令x=1則可以得到二項展開式的各項系數(shù)和2. 二項式系數(shù)的性質(zhì)（1 ）對稱性：與首末兩端等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即C,二C：.k（2 ）二項式系數(shù)Cn增減性與最大值：n+1n+1當k時，二項式系數(shù)是遞增的；當 k時，二項式系數(shù)是遞減的2 2當n是偶數(shù)時，中間一項ncn2取得最大值.當n是奇數(shù)時，中間兩項n-1n 1cF和C占相等，且同2時取得最大值.3. 二項展開式的系數(shù)ao,a1,a2,as,an的性

3、質(zhì)：f( x)=a°+a1X+a2X2+a3X3+anXn(1) ao+a1+a2+a3+an=f(1) a。-a+a2-a3+(-1)an=f(-1) ao+a2+a4+a6=f(1)f(-1)2 a1+a3+a5+a7=f(1) -f(T)經(jīng)典例題1、“ （a b）n展開式：1例1 求（3仮+）4的展開式;Jx【練習1】求（3JX_卜）4的展開式2. 求展開式中的項例2.已知在 （3 x -16項為常數(shù)項3）n的展開式中，第23x（1）求n； （ 2）求含x2的項的系數(shù)；（3）求展開式中所有的有理項【練習2】若(.、xn展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列 求:(1 )展開式中含X的一次

4、幕的項；(2)展開式中所有X的有理項.3. 二項展開式中的系數(shù)例3.已知(3X x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x -1)n的展開式的二項式系數(shù)和大1992,求(2x)2n的展開式中：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項X練習3已知-$)n(nN*)的展開式中的第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)之比是10:x1.3(1)求展開式中含x2的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項4、求兩個二項式乘積的展開式指定幕的系數(shù)273例4. （ X1）（X-2）的展開式中，x項的系數(shù)是5、求可化為二項式的三項展開式中指定幕的系數(shù)例5（ 04安徽改編）（x 丄_2）3的展開式中,X

5、6、求中間項例6求（.、x-）10的展開式的中間項;例7的展開式中有理項共有項;8、求系數(shù)最大或最小項(1)特殊的系數(shù)最大或最小問題例8 (00上海)在二項式(x-1)11的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)是 ；(2) 般的系數(shù)最大或最小問題例9求(、.x(3) 系數(shù)絕對值最大的項例10在(x-y)7的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是 9、利用“賦值法”及二項式性質(zhì) 3求部分項系數(shù)，二項式系數(shù)和例 11 .若(2x .3)" =a° - aix a?x2 - asX3 - aqX4 ,貝U (a° - a? a。)2 -(d - a3)2 的值【練習 1】若（1 2x）2004 =a0 亠ax 亠a2x2 亠亠2OO4 x2004 ,則（aoaj - （aoa?） -. - （a° a?。）：【練