和差化積積化和差萬能公式

1、正、余弦和差化積公式指高中數(shù)學三角函數(shù) 部分的一組 恒等式sin a +sin B =2sin(a + B )/2 cos( a - B )/2sina-sinB=2cos(a + B )/2sin (a - B )/2cosa+cosB=2cos(a + B )/2COS (a - B )/2cosa-cosB=-2sin(a + B )/2 sin(a - B )/2【注意右式前的負號】以上四組公式可以由積化和差 公式推導得到證明過程sin a +sin B =2sin(a +B )/2 cos( a - B )/2的證明過程因為sin( a + B )=sin a cos B +cos

2、a sin B，sin( a - B )=sina cos B - cos a sin B，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin( a + B )+sin( a - B )=2sin a cos B ,設 a + B = 0 , a - B = ©那么a =( 0 + © )/2, B = (0 - ©) /2把a , B的值代入，即得sin 0 +sin © =2sin ( 0 + © )/2 cos( 0 - © ) /2 編輯本段正切的和差化積tana± tan B =sin(a±B )/(cosa cos

3、 B)(附證明)cota± cot B =sin(B±a )/(sina sin B)tana+cot B =cos( a -B)/(cosa sin B )tana-cot B =-cos(a+B )/(cos a sin B )證明：左邊=tan a ± tan B =sin a /cos a ± sin B /cos B=(sin a cos B ± cos a sin B )/(cos a cos B )=sin( a ± B )/(cos a cos B )=右邊等式成立編輯本段注意事項在應用和差化積時，必須是一次同名三角函

4、數(shù)方可實行。若是異名，必須用誘導公式化為同名；若是高次函數(shù)，必須用 降幕公式降為一次口訣正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負正弦反之亦然生動的口訣：(和差化積)帥+帥二帥哥帥-帥二哥帥咕+咕=咕咕哥-哥=負嫂嫂反之亦然編輯本段記憶方法和差化積公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了各自的 簡單記憶方法。結果乘以2這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其積的值域也應該是-1,1，而和差的值域卻是-2,2，因此乘以2是必須 的。也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成 有系數(shù)2，如：cos

5、( a - B )-COS( a + B )=(cos a cos B +sin a sin B )-(cos a cos B -sin a sin B )=2sin a sin B故最后需要乘以 2。只有同名三角函數(shù)能和差化積無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)的和差能夠化為乘積。這一 點主要是根據(jù)證明記憶，因為如果不是同名三角函數(shù)，兩角和差公式展開后乘積項的 形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。乘積項中的角要除以 2在和差化積公式的證明中，必須先把a和B表示成兩角和差的形式，才能夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等于a和B，這兩個角應該是(a + B )/

6、2和(a - B )/2，也就是乘積項中角的形式。注意和差化積和積化和差的公式中都有一個“除以2”，但位置不同；而只有和差化積公式中有“乘以 2”。使用哪兩種三角函數(shù)的積這一點較好的記憶方法是拆分成兩點，一是是否同名乘積，二是“半差 角”(a - B )/2的三角函數(shù)名。是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有 兩對同名三角函數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以，余弦的 和差化作同名三角函數(shù)的乘積；正弦的和差化作異名三角函數(shù)的乘積。(a - B )/2的三角函數(shù)名規(guī)律為：和化為積時，以 cos( a - B )/2的形式出現(xiàn)；反 之，以sin (

7、a - B )/2的形式出現(xiàn)。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為積，那么a和B調換位置對結果沒有影響，也就是若把（a - B ）/2替換為（B - a ）/2，結果應當是一樣的，從而（a - B ）/2的形式是COS（ a - B ）/2 ；另一種情況可以類似說明。余弦-余弦差公式中的順序相反 /負號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。當然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如（0, n 內余弦函數(shù)的單調性。因為這個區(qū)間內余弦函數(shù)是單調減的，所以當a大于B時，COS a小于COS B。但是這時對應的（a +B ）/2和（a - B ）/2在（0, n ）的范圍內，其正弦的乘積

8、應大于0，所以要么反過來把COS B放到cos a前面，要么就在式子的最前面加上負號。積化和差公式sin a sin B =cos( 或寫作：sin a sin cos a cos B =cos( sin a cos B =sin( cos a sin B =sin(a- B)-cos(a+ B)/2B=- cos( a+ B )-cos(a- B)+cos(a+ B)/2a+ B)+sin(a- B)/2a+ B)-sin(a- B)/2（注意：此時 差的余弦 在和的余弦 前面） a - B ）/2 （注意：此時公式前有 負號）編輯本段證明積化和差恒等式可以通過展開角的和差恒等式的右手端來證

9、明。 即只需要把等式右邊用兩角和差公式拆開就能證明：sin a sin B =-1/2-2sin a sin B =-1/2（cosa cos B -sin a sin B ）-（cos a cos B +sin a sin B ）=-1/2cos（a + B ）-cos（ a - B ）其他的3個式子也是相同的證明方法。（參見和差化積）編輯本段作用積化和差公式可以將兩個三角函數(shù)值的積化為另兩個三角函數(shù)值的和乘以常數(shù)的 形式，所以使用積化和差公式可以達到降次的效果。在歷史上，對數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來將乘除運算化為加減運算，運算 需要利用三角函數(shù)表。運算過程：將兩個數(shù)通過乘、除 10的方

10、幕化為0到1之間的數(shù)，通過查表求出對 應的反三角函數(shù)值，即將原式化為 10Ak*sin a sin B的形式，套用積化和差后再次查表 求三角函數(shù)的值，并最后利用加減算出結果。對數(shù)出現(xiàn)后，積化和差公式的這個作用由更加便捷的對數(shù)取代。編輯本段記憶方法積化和差公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了各自的 簡單記憶方法。結果除以2這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數(shù)的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其和差的值域應該是-2,2，而積的值域確是-1,1，因此除以2是必須的也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成 有系數(shù)2，如：cos( a - B

11、 )-COS( a + B )=(cos a cos B +sin a sin B )-(cos a cos B -sin a sin B )=2sin a sin B故最后需要除以 2。使用同名三角函數(shù)的和差無論乘積項中的三角函數(shù)是否同名，化為和差形式時，都應是同名三角函數(shù)的和 差。這一點主要是根據(jù)證明記憶，因為如果不是同名三角函數(shù)，兩角和差公式展開后 乘積項的形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。使用哪種三角函數(shù)的和差仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函 數(shù)的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數(shù)的乘積。所以反過來，同名三角函數(shù)的 乘積

12、，化作余弦的和差；異名三角函數(shù)的乘積，化作正弦的和差。是和還是差？這是積化和差公式的使用中最容易出錯的一項。規(guī)律為：“小角”B以cos B的形式出現(xiàn)時，乘積化為 和；反之，則乘積化為 差。由函數(shù)的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果B的形式是cos B，那么若把B替換為-B,結果應當是一樣的，也就是含a +B和a - B的兩項調換位置對結果沒有影響，從而結果的形式應當是和；另一種情況可以類似說明。正弦-正弦積公式中的順序相反 /負號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。當然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如0, n 內余弦函數(shù)的單調性。因為這個區(qū)間內余弦函數(shù)是單調減的，所以cos( a +B

13、)不大于cos( a - B )。但是這時對應的a和B在0, n 的范圍內，其正弦的乘積應大于等于0,所以要么反過來把cos( a - B )放到cos( a +B )前面，要么就在式子的最前面加上負號。萬能公式【詞語】：萬能公式【釋義】：應用公式sin a =2tan( a /2)/1+tan(a /2)A2cos a =1-tan( a /2)A2/1+tan( a /2)人2tan a =2tan( a /2)/1-tan( a /2)人2將sin a cos a tan a代換成tan ( a /2的式子，這種代換稱為萬能置換?！就茖А浚?字符版)sin a =2sin( a /2)cos( a /2)=2sin(a /2)cos( a /2)/sin(a /2)A2+cos(