第二類曲線積分典型例題解析

1、高等數(shù)學(2)第12章第二類曲線積分典型例題解析例1若對任意的如小治罷設C是有向閉曲線，則£ Pdx + Qdy 二解：由格林公式將£ P(x、y)dx + Q(x, y)dy=ff (型一蘭)5 JJd dx dy 其中Q為"圍成的平面區(qū)域，及條件譽唏知，應該填寫：。例 2. £- j'dx + xdy =,其中/是延圓周(x-1)2 +(y-l)2 = 1 正向一周.解：因為圓周(x-l)2+(y-l)2=l所圍圓面積。為：Fs,由格林 公式得：ycLv + xdy = JJ。(1 + l)dxdy = 2zr,應該填寫：2/r例3 若P(x

2、,y)及0(工,刃在單連通域。內(nèi)有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則 在Q內(nèi)，曲線積分JPdx + Qdy與路徑無關的充分必要條件是().A.在域。內(nèi)恒有空=:翌B.在域Q內(nèi)恒有 =dx dydx dyC.在。內(nèi)任一條閉曲線廠上，曲線積分£ Pdv + Qdy 0D.在Q內(nèi)任一條閉曲線上，曲線積分f,PdA + Qdy = O解：若P(A-,>O，e(x,y)在單連通區(qū)域D內(nèi)有一階連續(xù)偏導數(shù)，則x. y)ch +。(兀 y)dy 與路徑無關 o = $,(x, y) e £)o所以選擇：B例4 設C是平面上有向曲線，下列曲線積分中，()是與路徑無關的.解：因為選項A中，蘭=空心=3

3、疋,翌=沁=3凡由曲線積 dy dydx dx分與路徑無關的充分必要條件知道，正確選擇：A例5設積分路徑l-X =(pt a<t<p)，那么第二類曲線積分計 y =屮算公式 j P(x, y)dx + C(X, y)dy =()a. r肖a）0（/）+0（0（f）"（f）（/）d/JCtb. p（0（/）,肖）+。（0（）"（。）0d/JC（c p（0（/）,肖）+a© "）wa）d/JetD. f%(w(r) + 0(r),必)0解：因為積分曲線的路徑由參數(shù)方程/： “，（«</</?）給出,y = 0（/）把參數(shù)方程

4、代入曲線積分中，得：屮（0（/）,必）0（/） + 0（卩,0（r）”a）d/所以正確選擇：A例 6 計算 J(e v sin y - 3y + x2 )dx + (eA cosy - x)dy，其中 / 為由點 A(3.0) 經(jīng)橢圓f=COS/的上半弧到點B(-3,0)再沿直線回到M的路徑.y = 2sinr解：由于/為封閉曲線，故原式可寫成f (e' sin y _ 3y +)d¥ + (eA cosy _ x)dy其中 P = ev sin y-3y + x2. Q = ev cosy-x ,由格林公式原式二*e sb】y-3y + x)dv + (eA cosy-A)

5、dy = jj- 一學ckdy-JJ(ev cosy-l)-(ev cosy-3dxdy D2鬧二2.存3.2二6”例7.2計算 f(e' sin y -寧)di + (ecosy-；)d)，其中/是上半圓周x2 + y2 = 2x (y > 0)和X軸圍成平面區(qū)域邊界的正向解:v P = evsiny-, Q = e' cosy,由格林公式得2 2gsiny-與)dx + 0沁-處屮譽詈鬧-JJ ev cosy-(er cosy - y)dxdy - jj jdxdy DD二 fsin附廣,"二防 sin&cosS&2= _(-cos4 0)例8計算A>?2dv-x2ycLv ,其中l(wèi)