高三函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題含答案經(jīng)典

1、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(1、對于R上的可導(dǎo)函數(shù)f (x)，假設(shè)滿足(x 1)f/(x)A.f(0)f(2)2f(1)B.f (0)f(2)2f(1)C.f(0)f(2)2f(1)D.f (0)f(2)2f (1)0，那么必有(C)2、f(x)是定義在(0,)上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xF(x) f(x) 0對任意正數(shù)a,b.假設(shè)a b那么必有(C)af (a) f (b) bf (b)f(a) af(b) bf(a) bf(a) af(b)、f (x)是定義在(0,)上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf/(x)f (x)0對任意正數(shù)a,b .假設(shè)a b那么必有(C)A、af(a)f(b)B、bf (b) f(a)C

2、、af (b) bf (a) D bf (a) af (b)4、記 min p,qP,當P q .假設(shè)函數(shù)f(x)q.當 p qmin 3 log 1 x, log 2 x ，4那么函數(shù)f(x)的解析式.f (x)2的解集為log -1 x, 34log 2 x ,3log 1 x log 2 x43分log-1 x log 2 x4答案：(1) f (x) min 3 log 1 x, log 2 x43 log 1 x4)內(nèi)遞減，y2 log2x在(0,)內(nèi)解 3 log 1 x log2 x得 x 4 .又函數(shù) y14遞增，所以當0 x 4時，3 log1 x 在(0,4log2 x ；

3、當 x 4時，3 log2 x log2 x .4所以f (x)(2) f(x)2等價于:0 log 2 x4,或24,log 1 x 24.解得：0 x即f (x)2的解集為(0,4)(4,).log2x, 03 log 1 x,45、設(shè)函數(shù)f(x) x3 - x2 (a 1)x 1,其中a為實數(shù)。32(1) 函數(shù)f(x)在x 1處取得極值，求a的值;(2) 不等式f (x)x96、函數(shù)f (x)-x4 x3 - x2 cx有三個極值點。 42(1) 證明：27 c 5;x a 1對任意a (0,)都成立，求實數(shù)x的取值范圍解：(1) f'(x) ax2 3x (a 1)，由于函數(shù)f

4、 (x)在x 1時取得極值，所以f'(1) 0即 a 3 a 10,a a 1方法一由題設(shè)知:ax2 3x (a 1) x2 x a 1 對任意 a (0,)都成立,即 a(x 2) x 2x 0 對任意 a (0,2 2)都成立，設(shè)g(a) a(x 2) x 2x(a R),那么對任意x R, g(a)為單調(diào)遞增函數(shù)(a R)，所以對任意a (0,)，g(a) 0恒成立的充分必要條件是g(0)0，即x2 2x 0,二2 x 0,于是x的取值范圍是x| 2 x 0方法二由題設(shè)知：ax2 3x (a 1) x2 x a 1對任意a (0,)都成立，即 a(x 2) x 2x 0 對任意

5、a (0,)都成立，于是a2x2x與對任意a (0,)都成立,x 2x即一20二2 x 0于是x的取值范圍是x | 2 x 0x22(2)由(I )的證明可知，當 27 c 5時，f(x)有三個極值點.不妨設(shè)為Xi, X2, X3(Xi X2 X3)，貝U f (x) (x Xi)(x X2)(x X3).所以 f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,Xi, X2, X3假設(shè)f (x)在區(qū)間a,a 2上單調(diào)遞減，那么 a,a 2(, Xi,或 a,a 2 鳧必,假設(shè) a,a2(,Xi,那么 a2 Xi.由(I)知，Xi3 ,于是 a5.假設(shè) a,a2x2,x3,那么 a x2且a2 x3.由(I)知，3

6、x2i.又f (x)x33x (2) 因為 a , b i ,所以 f (x) x(x 2)(ex i i)，令 f (x)0 ,解得 x 2 , x?0, X3 i .因為當 x (, 2) U(0,)時，f (x) 0 ；當 x ( 2,0)U(i,)時，f (x) 0 .所以f(x)在(2,0)和(i,)上是單調(diào)遞增的；在(,2)和(0,i)上是單調(diào)遞減的.(3) 由可知 f(x) xZ )3 %2，故 f(X)曲)/訂 x3 x2(eXi X)，9x c,當c 27時，f (x)(x3)(x3)2；當 c 5時，f (x)(x5)(xi)2.因此，當27c5時，ix33.所以 a3,且

7、a 2 3.即3 a i.故a 5,或3 a i.反之，當a 5,或3 a i時，總可找到c ( 27,5),使函數(shù)f (x)在區(qū)間a,a 2上單調(diào)遞減.綜上所述,a的取值范圍是(,5)U( 3,i).7、設(shè)函數(shù)f(x) x2eX i ax3 bx2，x 2和x i為f (x)的極值點.(1) 求a和b的值；(2) 討論f(x)的單調(diào)性；2(3) 設(shè)g(x) r3 x2 '試比擬f(x)與g(x)的大小.解：(i)因為 f (x) ex i (2x x2) 3ax2 2bx xeX i(x 2) x(3ax 2b),又x 2和x i為f(x)的極值點，所以f ( 2) f (i) 0

8、,因此6a 2b解方程組得a丄,b i .3 3a 2b 0,3令 h(x) ex1 x，那么 h(x) ex 1 1 .令 h(x) 0,得 x 1，因為 x,1 時，h(x) < 0 ,所以h(x)在x ,上單調(diào)遞減.故x,1時，h(x) > h(1) 0 ；因為x 1,時,h (x) > 0,所以h(x)在x 1,上單調(diào)遞增.故x 1, 時，h(x) > h(1) 0 .所以對任意x (,)，恒有h(x) > 0,又x2 > 0,因此f(x) g(x) > 0 ,故對任意x (,)，恒有f (x) > g(x).8 設(shè)函數(shù) f(x) x4

9、ax3 2x2 b(x R)，其中 a, b R .(1) 當a 10時，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；3(2) 假設(shè)函數(shù)f(x)僅在x 0處有極值，求a的取值范圍；(3) 假設(shè)對于任意的a2,2，不等式f (x) < 1在1,上恒成立，求b的取值范圍.10(1)解：f (x) 4x3 3ax2 4x x(4x2 3ax 4).當 a 時，31f (x) x(4x2 10x 4) 2x(2 x 1)(x 2).令 f (x) 0,解得 x1 0 , x2 - , x3 2 .2當x變化時，f (x) , f (x)的變化情況如下表:極小值/極大值極小值/11所以f (x)在0,- , (2,

10、力)內(nèi)是增函數(shù)，在(豐0) , ,2內(nèi)是減函數(shù).2 2(2)解：f (x) x(4x2 3ax 4)，顯然 x 0不是方程 4x2 3ax 4 0 的根.為使f (x)僅在x 0處有極值，必須4x2 3ax 4> 0恒成立，即有9a2 64< 0 .解此不等式，得 8 < a < 8 .這時，f (0) b是唯一極值.3 3因此滿足條件的a的取值范圍是8,8 .3 3(3) 解：由條件a2,2可知 9a2 64 0 ,從而4x2 3ax 4 0恒成立.當 x 0 時，f (x) 0 ；當 x 0 時，f (x)0 .因此函數(shù)f(x)在1,上的最大值是f(1)與f( 1)

11、兩者中的較大者.為使對任意的a2,2，不等式f(x) < 1在1,1上恒成立，當且僅當f(1)w 1,即 b < 2 a, f ( 1) < 1， b < 2 a在a 2,2上恒成立.所以b <4，因此滿足條件的b的取值范圍是oo 4? r 9.設(shè)函數(shù) f (x) x a(x 1)ln( x1),(x 1,a0)(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當a 1時，假設(shè)方程f(x) t在*,1上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍;解析：(1) f/(x)1 aln(x 1) aa 0時，f/(x)0二f (x)在(一1，+)上是增函數(shù)1 a1 a當a 0時，f(x)在(1

12、,ev 1上遞增，在ev 1,)單調(diào)遞減.1(2)由(I)知，f(x)在,0上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減211又 f (0)0, f(1) 1 In 4, f (-)-2211當 t , In2,0)時，方程 f (x)22ax3 3ax, g(x) bx21 1 尹2，5)f( 1)0t有兩解10.設(shè)函數(shù)f xIn x(a,b R)，它們在x1處的切線互相平行.(1)求b的值;(2)假設(shè)函數(shù)F(x)f (x),xg(x),x00，且方程x a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍.解：(1) f' x3ax2 3a2bx丄x依題意：2b 1 0，所以b1-；(2) x0,1X 1 0

13、，所以當x 1時，g x取極小值0時，方程F x2a不可能有四個解;時，f' x 0，時,g 1g' 1 2b 1，x 1,0 時 f ' x 0,所以x 1時，f x取得極小值f' 1 =2a，又f 0所以F x的圖像如下：2從圖像可以看出F x a不可能有四個解。當a 0時,1 時，f' x 0，x 1,0 時 f' x 0，所以x 1時，f x取得極小值f '1 =2a，又f 00，所以F x的圖像如下:從圖像看出方程Fxa2有四個解，那么1 a2 2a，a11.函數(shù) f(x) In X,g(x) (a 0)，設(shè) F(x) f (x

14、) g(x)。x(1) 求F (x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 假設(shè)以y F(x)(x 0,3)圖象上任意一點P(x°,y°)為切點的切線斜率k -恒成立，求實2數(shù)a的最小值。(3)是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)y g(嚴)m 1的圖象與y f (1 x2)的圖象恰好有四x 1個不同的交點？假設(shè)存在，求出m的取值范圍，假設(shè)不存在，說名理由。解.(1) F (x) f (x) g(x) In x 旦(x 0 F'(x)- 弓 x 2a (x 0)xx x x由 F (x)0 x (0,a), F(x)在(0, a)上單調(diào)遞減。(2)(x)3),kF (xc)X。3)恒成立1Xo2x

15、0 ) min 當 x01時,(3)y f(1x2即丄x22令 G(x)1 2x022x0取得最大值丄2a nmn(2a、g(r ) mx 1)ln(x2 1)的圖象恰有四個不同交點,x2In (x2ln( x2 1)有四個不同的根，亦即，m ln(x21)1-有四個不同的根。21 1 2x1) r2 1，那么G(x)廠2x x3xx21x(x1)(x 1)x21。當X變化時G (x).G(x)的變化情況如下表:(-1,0)(0,1)(1, )G (x)的符號+-+-G(x)的單調(diào)性/1由表格知：G(x)最小值G(0),G(x)最大值G(1) G( 1) In 20。211i畫出草圖和驗證G(2) G( 2) In 5 2 -可知，當m ( ,1 n 2)時2 22(2) 假設(shè)存在實數(shù)c,使函數(shù)f (x)在區(qū)間a,a 2上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解：(1)因為函數(shù)f (x) -x4 x3 - x2 cx有三個極值點，42所以f (x) x3 3x2 -x c 0有三個互異的實根.設(shè) g(x) x3 3x2 -x c,那么 g (x) 3x2 6x -3(x 3)