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1、,0時(shí)xxxxsin,32都是無(wú)窮小,第七節(jié)引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見(jiàn)無(wú)窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 無(wú)窮小的比較,0limCk定義定義.,0lim若則稱 是比 高階高階的無(wú)窮小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱 是比 低階低階的無(wú)窮小;則稱 是 的同階同階無(wú)窮小;則稱 是關(guān)于 的 k 階階無(wú)窮小;則稱 是 的等價(jià)等價(jià)無(wú)窮小, 記作例如例如 , 當(dāng))(o0 x時(shí)3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又

2、如 ，22)(4x21故0 x時(shí)xcos1是關(guān)于 x 的二階無(wú)窮小,xcos1221x且例例1. 證明: 當(dāng)0 x時(shí),11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時(shí)當(dāng) x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb定理定理1.)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 時(shí)x,sinxx,tanxx故,0 時(shí)x, )(sinxoxx)(tanxoxx定理定理2 . 設(shè),且lim存在 , 則lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 x

3、xx52lim052.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求解解: 原式 231x221x例例2. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時(shí)當(dāng)x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 無(wú)窮小的比較設(shè) , 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小, 且 是 的高階無(wú)窮小 是 的低階無(wú)窮小 是 的同階無(wú)窮小 是 的等價(jià)無(wú)窮小 是 的 k 階無(wú)窮小2. 等價(jià)無(wú)窮小替換定理,0時(shí)當(dāng) xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11

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