高考浙江理科數(shù)學(xué)試題及答案解析

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理科）第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求（1）【2015年浙江，理1】已知集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】，故選C【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵（2）【2015年浙江，理2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積是（ ）（A）（B）（C） （D）【答案】C【解析】圖像為正四棱錐與正方體的組合體，由俯視圖知：正方體棱長(zhǎng)為2，正四棱錐底面邊長(zhǎng)2，高為2，所以該幾何體的體積，故選

2、C【點(diǎn)評(píng)】本題考查三視圖與直觀圖的關(guān)系的判斷，幾何體的體積的求法，考查計(jì)算能力（3）【2015年浙江，理3】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若成等比數(shù)列，則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，化簡(jiǎn)得，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題（4）【2015年浙江，理4】命題“且的否定形式是（ ）（A）且（B）或（C）且（D）或【答案】D【解析】全稱命題，的否定是，所以命題的否定為：，或，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)（5）【2015年浙江，理5】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上

3、有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在軸上，則與的面積之比是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線的方程為，又由拋物線定義知，故選A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的面積關(guān)系，利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵（6）【2015年浙江，理6】設(shè)是有限集，定義，其中表示有限集A中的元素個(gè)數(shù)（ ） 命題：對(duì)任意有限集，“”是“”的充分必要條件；命題：對(duì)任意有限集，（A）命題和命題都成立（B）命題和命題都不成立（C）命題成立，命題不成立（D）命題不成立，命題成立【答案】A【解析】由題意，命題：，命題成立命題：由維恩圖易知命題成立，下面給出嚴(yán)格證明：，因?yàn)榍?，故命題成立，

4、故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查了，元素和集合的關(guān)系，以及邏輯關(guān)系，分清集合之間的關(guān)系與各集合元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，注意本題對(duì)充要條件的考查集合的元素個(gè)數(shù)，體現(xiàn)兩個(gè)集合的關(guān)系，但僅憑借元素個(gè)數(shù)不能判斷集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題（7）【2015年浙江，理7】存在函數(shù)滿足，對(duì)任意都有（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；或?yàn)榕己瘮?shù)，然而并不是偶函數(shù)；選項(xiàng)D：，令得，再令，則，故函數(shù)可以滿足要求，故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查，但是思考問題解決問題的方法比較難（8）【2015年浙江，理8】如圖，已知，是的中

5、點(diǎn)，沿直線將折成，所成二面角的平面角為，則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若，則當(dāng)時(shí)，排除D，當(dāng)時(shí)，排除A，C，故選B解法二：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)投影在上，連接，易得，即綜上所述，故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間角的大小比較，注意解題方法的積累，屬于中檔題第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分（9）【2015年浙江，理9】雙曲線的焦距是，漸近線方程是【答案】；【解析】，焦距，焦距為，漸近線【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)（10）【2015年浙江，理10】已知函數(shù)，

6、則，的最小值是【答案】0；【解析】；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)時(shí)取最小值）當(dāng)時(shí)取最小值，當(dāng)時(shí)，的最小值為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)試題（11）【2015年浙江，理11】函數(shù)的最小正周期是，單調(diào)遞減區(qū)間是【答案】；【解析】，所以最小正周期；單調(diào)遞減區(qū)間：，化簡(jiǎn)得，單調(diào)遞減區(qū)間：【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題（12）【2015年浙江，理12】若，則【答案】【解析】由可知，即，所以【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題（13）【2015年浙江，理13】如圖，三棱錐中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線所成的角的余弦值是_【答案】【解析】取的中點(diǎn)，因

7、為，則為異面直線，所成的角，又，【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力（14）【2015年浙江，理14】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是【答案】【解析】，即，如圖，直線將直線分成了兩部分：在陰影區(qū)域內(nèi)的滿足，即，此時(shí)，利用線性規(guī)劃可知在處取得最小值3；在陰影區(qū)域外的滿足，即， 此時(shí)， 利用線性規(guī)劃可知在處取得最小值3 綜上，當(dāng)，時(shí)，的最小值為3【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，主要考查二元函數(shù)在可行域內(nèi)取得最值的方法，屬于中檔題（15）【2015年浙江，理15】已知是空間單位向量，若空間向量滿足，且對(duì)于任意，則，【答案】，【解析】，不妨設(shè)，則由題意知，解得，由題意，當(dāng)，時(shí)

8、，取到最小值1，此時(shí)，故【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的數(shù)量積，涉及向量的模長(zhǎng)公式，屬中檔題三、解答題：本大題共5題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（16）【2015年浙江，理16】（本小題滿分14分）在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為已知，（）求的值；（）若的面積為7，求的值解：（）由及正弦定理得，故又由，即，得，解得（）由得，又，故，由正弦定理得，又，故，故【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本關(guān)系式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題（17）【2015年浙江，理17】（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：平面；（）求

9、二面角的平面角的余弦值解：解法一：（）設(shè)為的中點(diǎn)，連由題平面，故因，故，從而平面由分別的中點(diǎn)，得且，從而，且，所以為平行四邊形，故又平面，故平面（）作于，連，由題，得由，得由，得，因此為二面角的平面角由，得，由余弦定理得解法二：（）如圖，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，又，又，平面（）設(shè)平面的法向量為，知，則取，設(shè)平面的法向量為，則，則取，又知該二面角為鈍角，所以其平面角的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題（18）【2015年浙江，理18】（本小題滿分15分）已知函數(shù)，記是在

10、區(qū)間上的最大值（）證明：當(dāng)時(shí)，；（）當(dāng)滿足，求的最大值解：（）由，得對(duì)稱軸為直線，由，得，故在上單調(diào)，因此當(dāng)時(shí)，故，即；當(dāng)時(shí)，故，即綜上，當(dāng)時(shí)，（）由得，故，由，得當(dāng)，時(shí)，且在的最大值為2，即，故的最大值為3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值求法；解答本題的關(guān)鍵是正確理解是在區(qū)間上的最大值，以及利用三角不等式變形（19）【2015年浙江，理19】（本小題滿分15分）已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）解：（）由題知，可設(shè)直線：，代入橢圓方程并整理得因直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故將中點(diǎn)代入直線方程得由得或（）令，則，且到的距離為，故的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最大值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式、弦長(zhǎng)公式、均值不等式的性質(zhì)，考