高等數(shù)學第一周講義（商學院）

1、1 課程：課程： 高高 等等 數(shù)數(shù) 學（學（ ）2教材：教材：高等數(shù)學高等數(shù)學 （第六版）（第六版） （上冊）（上冊）,同濟大學應用數(shù)學系同濟大學應用數(shù)學系 主編主編,高等教育出版社高等教育出版社參考書目參考書目1：高等數(shù)學習題全解指南高等數(shù)學習題全解指南,同濟六版同濟六版同濟大學數(shù)學系，高等教育出版社同濟大學數(shù)學系，高等教育出版社.參考書目參考書目2：數(shù)學分析數(shù)學分析習題集（習題集（共六冊）共六冊）,吉米吉米多維奇，多維奇， 費定暉，周學圣編，郭大鈞，邵品琮主審費定暉，周學圣編，郭大鈞，邵品琮主審 山東科學技術出版社。山東科學技術出版社。參考書目參考書目3：微積分學教程微積分學教程(全三卷全

2、三卷,共八冊共八冊) 菲菲赫金哥爾茨，人民教育出版社。赫金哥爾茨，人民教育出版社。3考核：期中考試與平時占考核：期中考試與平時占30，期末考試占，期末考試占70。答疑時間：答疑時間：周三下午周三下午2點到點到3點、周四下午點、周四下午1點到點到2點點答疑地點：集英樓答疑地點：集英樓A101。注意事項：注意事項：提醒：提醒：不得隨意講話、不得走動不得隨意講話、不得走動4第一節(jié)第一節(jié) 函函 數(shù)數(shù)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限預備知識預備知識1.1 實數(shù)、區(qū)間和鄰域?qū)崝?shù)、區(qū)間和鄰域5點點a的的 鄰域鄰域： ),(xaUaxa xax其中其中, a 稱為鄰域中心稱為鄰域中心 , 稱為鄰域半徑稱為鄰

3、域半徑 .特殊的開區(qū)間特殊的開區(qū)間),( aU為為a的的 鄰域鄰域 .稱稱鄰域的數(shù)軸表示：鄰域的數(shù)軸表示： aa a6點點a的左的左 鄰域鄰域 :, ),(aa點點a的右的右 鄰域鄰域 :. ),(aa點點a的去心的去心 鄰域：鄰域： ),(Uxaax0注意：一點的任何兩個鄰域都有公共部分，注意：一點的任何兩個鄰域都有公共部分，其交集仍為此點的鄰域。其交集仍為此點的鄰域。7二、函數(shù)的概念二、函數(shù)的概念 定義定義. 設設D是一個非空數(shù)集，是一個非空數(shù)集， f是一個對應法則，是一個對應法則，如果對于如果對于D中的每一個元素中的每一個元素x,通過通過f，y都有唯都有唯一確定的值與之對應，則稱一確定的

4、值與之對應，則稱y是是x的函數(shù)，記作：的函數(shù)，記作：Dxxfy),(x稱為自變量，稱為自變量，y 稱為因變量。稱為因變量。注意：單值函數(shù)與多值函數(shù)注意：單值函數(shù)與多值函數(shù)8 定義域定義域Df：使表達式及實際問題都有意義的自變量使表達式及實際問題都有意義的自變量取值的集合取值的集合.值域值域Y： fDxxfY | )(決定函數(shù)的要素：定義域與對應法則，決定函數(shù)的要素：定義域與對應法則，僅當定義域與對應法則都相同時，兩個僅當定義域與對應法則都相同時，兩個函數(shù)才相同。函數(shù)才相同。9 xxf)(1、絕對值函數(shù)、絕對值函數(shù)xyo0,xx0,xx定義域定義域RD值值 域域),0)(Df一些常見的函數(shù)一些常

5、見的函數(shù)：102、符號函數(shù)：、符號函數(shù)：xy010001)sgn(xxxxy113、取整函數(shù)：、取整函數(shù)：xy 4、狄里克雷函數(shù)、狄里克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)為有理數(shù)x 為無理數(shù)為無理數(shù), 1,05、分段函數(shù)、分段函數(shù)40000200003625)20000(*25. 0200005000625)5000(*20. 050002000175)2000(*15. 0200050025)500(*1 . 05000*05. 0)(iiiiiiiiiiiT126.最大值函數(shù)與最小值函數(shù)。最大值函數(shù)與最小值函數(shù)。)(),(max)(xhxfxg)(),(min)(xhxfxs13三 函數(shù)的幾種特性

6、函數(shù)的幾種特性14 上的一個上界。X為函數(shù)在MX,M)(,M常數(shù)X)(000上有上界。在那么則稱函數(shù)都有使任意的上有定義，若存在在xfxfXxxfy有界性：有界性：函數(shù)在函數(shù)在X上有上界上有上界結(jié)論：若函數(shù)有上界結(jié)論：若函數(shù)有上界,則必有無窮多個上界則必有無窮多個上界.問題：函數(shù)在問題：函數(shù)在X上無上界如何說明上無上界如何說明?15 上的一個下界。X是函數(shù)在MX ,M)(, ,M常數(shù)X)(111，xfxfXxxfy上有下界的在數(shù)那么則稱函都有使任意的上有定義，若存在在函數(shù)在函數(shù)在X上有下界上有下界若函數(shù)有下界若函數(shù)有下界,則必有無窮多個下界則必有無窮多個下界.問題：如何說明函數(shù)在問題：如何說明

7、函數(shù)在X上無下界上無下界?16 上是有界的。在數(shù)那么則稱函都有使任意的上有定義，若存在在X ,M| )(|, , 0M正數(shù)X)(xfxfXxxfy函數(shù)在函數(shù)在X上有界上有界問題：函數(shù)在問題：函數(shù)在X上無界如何說明上無界如何說明?結(jié)論：函數(shù)在結(jié)論：函數(shù)在X上有界與函數(shù)在上有界與函數(shù)在X上既上既有上界又有下界等價。有上界又有下界等價。17當,21Ixx 任任意意時時, )()(21xfxf若稱稱 )(xf為為 I 上的單調(diào)減函數(shù)上的單調(diào)減函數(shù), )()(21xfxf若為為 I 上的單調(diào)增函數(shù)。上的單調(diào)增函數(shù)。單調(diào)性單調(diào)性21xx 任意任意時時, )()(21xfxf 若若)(xf為為 I 上的不減

8、函數(shù)上的不減函數(shù)21xx 時時, )()(21xfxf 若若)(xf任意任意為為 I 上的不增函數(shù)上的不增函數(shù)21xx )(xf稱稱 奇偶性與周期性（略）奇偶性與周期性（略）18四、四、 反函數(shù)反函數(shù))(1yfx 反函數(shù)：給定函數(shù)反函數(shù)：給定函數(shù)y=f(x)，如果對于值域，如果對于值域Y中的每一個值中的每一個值y0而言，都有唯一一個值而言，都有唯一一個值x0使得使得y0=f(x0).那么，我們就說在那么，我們就說在Y上定上定義了義了y=f(x)的反函數(shù)。的反函數(shù)。反函數(shù)的求法：反函數(shù)的求法：的反函數(shù)的反函數(shù)求求12 xy函數(shù)與反函數(shù)圖象關于函數(shù)與反函數(shù)圖象關于y=x對稱對稱19五、五、 復合函

9、數(shù)復合函數(shù) ,sin uy xu2復合函數(shù)：復合函數(shù)：xy2sin為中間變量。為內(nèi)層函數(shù)為外層函數(shù)，合函數(shù)。的復與為則稱設定義uxgufyxguufyxgfyXxxguUuufy,)()()()()( )(),)( ：20 復合的作用：視復雜函數(shù)為幾個復合的作用：視復雜函數(shù)為幾個簡單函數(shù)的復合，起化簡的目的。簡單函數(shù)的復合，起化簡的目的。例例:xy12sin5 六、函數(shù)的四則運算六、函數(shù)的四則運算 21七七. 初等函數(shù)初等函數(shù)(1) 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)常函數(shù)、冪函數(shù)、常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角函數(shù)自然對數(shù)函數(shù)：自然對數(shù)函

10、數(shù)：.597182818284. 2,lnlogexyxe22反三角函數(shù)及其圖象：反三角函數(shù)及其圖象：2/, 2/,1 , 1,arcsinyxxy1-12/xy23反三角函數(shù)及其圖象：反三角函數(shù)及其圖象：, 0,1 , 1,arccosyxxy1-1xy2/24反三角函數(shù)及其圖象：反三角函數(shù)及其圖象：)2/, 2/(,arctanyRxxyxy2/2/25反三角函數(shù)及其圖象：反三角函數(shù)及其圖象：), 0(,cotyRxxarcyxy2/26(2) 初等函數(shù)初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合所構(gòu)成的函數(shù)合所構(gòu)成的函數(shù) ,稱為初等函數(shù)

11、。稱為初等函數(shù)。判斷判斷 ：y0, xx0, xx是否為初等函數(shù)？是否為初等函數(shù)？本課程的研究對象本課程的研究對象:初等函數(shù)初等函數(shù).27常見的公式常見的公式1、絕對值不等式、絕對值不等式|bababa|bababa3、柯西不等式、柯西不等式)()(121221niiniiniiiyxyx2、均值不等式、均值不等式:設設0,.,21nxxx則：則：).().(2112111111nnnxxxxxxnniixn284、二項式定理：、二項式定理：nnnnnnnnnnbabCbaCbaCaba1122211.)() 1.)(1(121nnnaaaa5、29,2cos,2sin,2tan1cos2si

12、n212coscossin22sin)sin()sin(2coscos)cos()cos(2coscos)sin()cos(2sinsin)cos()sin(2sinsin2222tan1tan1tan1tan2tan1tan22222222222xxxxxxyxyxyxyxyxyxyxyxxxxxxxxxxyxyxyxyx常用的三角函數(shù)的公式常用的三角函數(shù)的公式30判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性)1(log2 xxya考察下列函數(shù)的單調(diào)性及有界性考察下列函數(shù)的單調(diào)性及有界性|1| xy問題問題:f(x)的定義域是的定義域是(4,9，求，求f(x2) 的定義域的定義域31 第一章 第

13、二節(jié)第二節(jié)數(shù)列的極限數(shù)列的極限321、數(shù)列概念：、數(shù)列概念： 按照一定的順序排成的一列數(shù)。按照一定的順序排成的一列數(shù)。.nx123,.,.nx x xx記作：記作：其中其中n稱為項數(shù)，稱為項數(shù)，nx稱為數(shù)列的第稱為數(shù)列的第n項，或通項。項，或通項。數(shù)列的特性：有序性數(shù)列的特性：有序性一一 、數(shù)列極限的概念、數(shù)列極限的概念331,2,3,. ,.n排列法：將列中的項一個一個地排出排列法：將列中的項一個一個地排出 用通項公式法：將數(shù)列中的項與項數(shù)的關用通項公式法：將數(shù)列中的項與項數(shù)的關系表示出來。系表示出來。數(shù)列的表示形式：數(shù)列的表示形式：數(shù)列用排列法給出，寫出通項公式。數(shù)列用排列法給出，寫出通項

14、公式。如：如：2，3/4,4/9,5/16,.比如：比如：), 11(Nnqqxnn)( ,Nnnxn34有界數(shù)列：有界數(shù)列：.nx對數(shù)列對數(shù)列若存在正數(shù)若存在正數(shù)M，對于所有的，對于所有的n,都有都有Mxn |則稱數(shù)列為有界數(shù)列。則稱數(shù)列為有界數(shù)列。35 .nx對數(shù)列對數(shù)列單調(diào)數(shù)列：單調(diào)數(shù)列：.若：1321 nnxxxxx則稱數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列則稱數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列.1321 nnxxxxx若：則稱數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列則稱數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列數(shù)列：有限數(shù)列與無限數(shù)列數(shù)列：有限數(shù)列與無限數(shù)列36數(shù)列的子數(shù)列：從一個無限數(shù)列中抽取無數(shù)列的子數(shù)列：從一個無限數(shù)列中抽取無限多項并且保持在原數(shù)列中的先后次

15、序，限多項并且保持在原數(shù)列中的先后次序，稱這樣得到的數(shù)列是原數(shù)列的子數(shù)列。稱這樣得到的數(shù)列是原數(shù)列的子數(shù)列。 nx knx數(shù)列：數(shù)列：子列：子列：顯然：顯然：knk37例：考察下列數(shù)列，當項數(shù)逐漸增大時，數(shù)例：考察下列數(shù)列，當項數(shù)逐漸增大時，數(shù)列當中的項的變化趨勢。列當中的項的變化趨勢。,./1,.,3/1, 2/11n， 1,1/2,1/3,.,1/ ,.n,./)1(,.,3/1 , 2/111n，n 數(shù)列極限研究的問題：無限數(shù)列中數(shù)列極限研究的問題：無限數(shù)列中,當項數(shù)當項數(shù)n越越來越大，乃至無限增大時，項的變化趨勢。來越大，乃至無限增大時，項的變化趨勢。38數(shù)列極限的描述性定義：數(shù)列極限

16、的描述性定義：對于數(shù)列對于數(shù)列xn而言，如果存在一個常數(shù)而言，如果存在一個常數(shù)a，當，當項數(shù)無限增加時，數(shù)列中的項向項數(shù)無限增加時，數(shù)列中的項向a無限靠近，無限靠近，那么則稱那么則稱a為數(shù)列為數(shù)列xn的極限。的極限。 若數(shù)列有極限若數(shù)列有極限,則稱數(shù)列收斂則稱數(shù)列收斂.否則稱否則稱數(shù)列發(fā)散。數(shù)列發(fā)散。39,1,43,32,21nn,) 1(,43,34,21,21nnn,2,8,4,2n1) 1(nnx例：考察下列數(shù)列，當項數(shù)逐漸增大時，項例：考察下列數(shù)列，當項數(shù)逐漸增大時，項的變化趨勢。的變化趨勢。獲得數(shù)列極限的方法：對數(shù)列直接進行考察。獲得數(shù)列極限的方法：對數(shù)列直接進行考察。40若數(shù)列若數(shù)

17、列nx及常數(shù)及常數(shù) a 有下列關系有下列關系 :,0,整N數(shù)數(shù)正正 當當 n N 時時, 總有總有記作記作此時也稱數(shù)列此時也稱數(shù)列收斂收斂 , 否則稱數(shù)列否則稱數(shù)列發(fā)散發(fā)散 .axnnlim或或)(naxnaxn則稱該數(shù)列則稱該數(shù)列nx的極限為的極限為 a ,-N-N定義定義或稱數(shù)列收斂于或稱數(shù)列收斂于a.數(shù)列極限定義的精確化：數(shù)列極限定義的精確化：利用利用是任意小的正數(shù)來反映項與是任意小的正數(shù)來反映項與a無限接近。無限接近。41收斂數(shù)列的幾何意義收斂數(shù)列的幾何意義證明：常數(shù)列的極限是常數(shù)本身證明：常數(shù)列的極限是常數(shù)本身aa)(a1Nx2Nx4201lim nn例例1：證明：證明：,0取取,

18、1N則當則當Nn 時時, 有有 nn101證證: 01limnn43例例. 設設0,1qq證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列,12nqqq證證:0nx0nq0 欲使欲使,0nx只要只要,nq即即,lnlnqn亦即亦即因此因此 , 取取qNlnln, 則當則當 n N 時時, 就有就有0nq故故0limnnq.lnlnqn的極限為的極限為 0 . nq44用用-N-N定義證明極限：定義證明極限：尋找尋找N N。 axn,0解不等式解不等式考察當項數(shù)考察當項數(shù)n大到一定程度時，此不大到一定程度時，此不等式是否成立。等式是否成立。注意：注意：與與N的關系的關系450sinlimnnn例：證明：例：證明：,0取

19、取, 1N則當則當Nn 時時, 有有nnnnn1|sin|0sin證證: 0sinlimnnn46例例. 已知已知,) 1() 1(2nxnn證明證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n欲使欲使,0nx只要只要n取取, 1 N則當則當Nn 時時, 就有就有,0nx故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn 1n1 47說明：數(shù)列不以說明：數(shù)列不以a為極限。為極限。若對某若對某, 00使得使得0|0axn,0NnNN481、下列結(jié)論是否正確，為什么？、下列結(jié)論是否正確，為什么？nx當當n越來越大時，越來越大時，axn 越來越小，則數(shù)列有極限越來越小，則數(shù)

20、列有極限a.(1)(2),0,整N數(shù)數(shù)正正 當當 n N 時時,有無窮多個有無窮多個xn項項,使使 axn則有則有axnnlim問題討論問題討論49|lim,limaxaxnnnn 則2、判斷：判斷：axaxnnnnlim則,|lim若若若若0|lim則, 0limnnnnxx0lim則, 0|limnnnnxx若若若若503、證明：、證明：0)(limlim axaxnnnn0)1(limnnn51數(shù)列極限存在的準則數(shù)列極限存在的準則1、柯西收斂準則、柯西收斂準則 nx收斂的充要條件是：收斂的充要條件是：,0,整NN數(shù)正mnxxn、m N 時時,2、單調(diào)有界數(shù)列必有極限。、單調(diào)有界數(shù)列必有極限。單調(diào)上升有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)單調(diào)上升有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)下降且有下界的數(shù)列必有極限。下降且有下界的數(shù)列必有極限。5223ba22abnabax二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證證: 用反證法用反證法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取取,2ab因因,limaxnn故存在故存在 N1 , ,2abnax從而從而2banx同理同理, 因因,limbxnn故存在故存在 N2 , 使當使當 n N2 時時, 有有2banx1. 唯一性：收斂數(shù)列的極限是唯一的唯一性：收斂數(shù)列的極限是唯一的.使當使當 n N1 時