高等數(shù)學(xué)：第十章 2二重積分的計(jì)算法（1）

1、如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法(1)一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分為曲頂?shù)闹w的體積為曲頂?shù)闹w的體積為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,)(2xy)(1xy),( yxfz)(0 xA得得.),(),()()(21 Dba

2、xxdyyxfdxdyxf 0 xzyxba如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋?dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf X型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，則必須分割則必須分割.D=D1+D2+D3.321 DDDD3D

3、2D1D注注）二重積分化累次積分的步驟）二重積分化累次積分的步驟畫域畫域，選序選序，定限定限）累次積分中積分的上限不小于）累次積分中積分的上限不小于 下限下限）化累次積分定限是關(guān)鍵）化累次積分定限是關(guān)鍵畫好圍成畫好圍成D的幾的幾條邊界線，條邊界線，若是若是X型，型， 就先就先 y 后后 x若是若是Y型，就先型，就先 x 后后 y ，注意內(nèi)層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層注意內(nèi)層積分限是外層積分變量的函數(shù)，外層積分限是常數(shù)。積分限是常數(shù)。解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 1原原式式 ydxyxfdy1010),(. 解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖xy 222xxy 原原式式 102112),(y

4、ydxyxfdy.D 10631022401)(312dxxxxdyydxdxdyxyDxx解二解二D 10yyxyY型型 1022102401)(21dyyyydxxydyIyy例例3 計(jì)算計(jì)算 Ddxdyxy2D域域:2,xyxy 102xxyx解一解一D：X型型解：解：D： 211yyxyY型型I = 21122yydxxydy 注：若先注：若先 y 后后 x 由于由于D的下邊界曲線在的下邊界曲線在 x 的不的不同范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，同范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式， 須分片積分，計(jì)算較須分片積分，計(jì)算較麻煩。麻煩。 213249)(dyyyy212121例例4(P120例例6) 計(jì)算計(jì)算 Dx

5、yyxyDdxdyxy1, 2,:,22例例5 計(jì)算計(jì)算 DxyxyyxxDdxdyye1, 2, 2, 1:,解解D是是X型區(qū)域型區(qū)域 2121xxydyyedxI要分部積分，不易計(jì)算要分部積分，不易計(jì)算若先若先 x 后后 y 則須分片則須分片 212112 121dxyedydxyedyIxyyxy易見盡管須分片積分，但易見盡管須分片積分，但由于被積函數(shù)的特點(diǎn)，積由于被積函數(shù)的特點(diǎn)，積分相對(duì)而言也較方便。分相對(duì)而言也較方便。解解axy2 22xaxy 22yaax D原式原式= ayaaaydxyxfdy02222),( aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaayd

6、xyxfdya2aa2a解解兩兩 曲曲 線線 的的 交交 點(diǎn)點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy2xy 2yx Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 解解 dyey2無(wú)法用初等函數(shù)表示無(wú)法用初等函數(shù)表示 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI22112xy xy 121)(dxeexx.2183e

7、e 練習(xí)解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖., 10 yx,xyyx 所求體積所求體積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 例例12 計(jì)算計(jì)算 DxyxyDdxdyxxy2,:,1) 1sin(2解解根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)根據(jù)積分區(qū)域的特點(diǎn)14-12應(yīng)先對(duì)應(yīng)先對(duì) x 后對(duì)后對(duì) y 積分積分dxxxydyIyy 21221) 1sin(但由于但由于 1) 1sin( xx對(duì)對(duì) x 的積分求不出，無(wú)法計(jì)算，的積分求不出，無(wú)法計(jì)算，須改變積分次序。須改變積分次序。先先 x 后后 y 有有dyxxydxxx 4121) 1sin(dxxxx

8、x1)1sin()2(210241 dxxxxx 4121)1sin()45(21 41)1sin()4(21dxxx)3sin3(21 dyxxydxIxx 101) 1sin(奇函數(shù)奇函數(shù) 化二重積分為累次積分時(shí)選擇積分次序的化二重積分為累次積分時(shí)選擇積分次序的重要性，有些題目?jī)煞N積分次序在計(jì)算上難易程重要性，有些題目?jī)煞N積分次序在計(jì)算上難易程度差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至度差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至有些題目對(duì)一種次序能積出來(lái)，而對(duì)另一種次序有些題目對(duì)一種次序能積出來(lái)，而對(duì)另一種次序卻積不出來(lái)卻積不出來(lái) 另外交換累次積分的次序：先由累次積分另外交換累次積分的次序：

9、先由累次積分找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交找出二重積分的積分區(qū)域，畫出積分區(qū)域，交換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。換積分次序，寫出另一種次序下的累次積分。以上各例說(shuō)明以上各例說(shuō)明二、小結(jié)二、小結(jié)二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf X型型Y型型（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）思考題思考題設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題解答

10、思考題解答 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,則原式則原式 ydxyfxfdy010)()( ,)()(010ydxxfdyyf)()()(10010dyyfdxxfx.)()(221010AdyyfdxxfI),()()(010替換以yxdyyfdxxfx練練 習(xí)習(xí) 題題一一、填填空空題題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .其其中中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

11、 _ _ _ _ _. .其其中中D是是頂頂 點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域 . . 3 3、將將二二重重積積分分 Ddyxf ),(, ,其其中中D是是由由x軸軸及及半半圓圓周周 )0(222 yryx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域, ,化化為為先先對(duì)對(duì)y 后后對(duì)對(duì)x的的二二次次積積分分, ,應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區(qū)所圍成的閉

12、區(qū) 域域, ,化為先對(duì)化為先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的二次積分的二次積分, ,應(yīng)為應(yīng)為 _. _. 5 5、將將二二次次積積分分 22221),(xxxdyyxfdx改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、將將二二次次積積分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1

13、(2112),(ydxyxfdy改改換換積積分分次次序序, , 應(yīng)應(yīng)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二二、畫畫出出積積分分區(qū)區(qū)域域, ,并并計(jì)計(jì)算算下下列列二二重重積積分分: : 1 1、 Dyxde , ,其其中中D是是由由1 yx所所確確定定的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 2 2、 Ddxyx )(22其其中中D是是由由直直線線 xyxyy2, 2 及及所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。 4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域三、設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線由直線, 2 yxxy 和和x軸所圍成軸所圍成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求該求該薄片的質(zhì)量薄片的質(zhì)量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所圍成的所圍成的立體的體積立體的體積 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 22