復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法和技巧

1、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法和技巧毛濤(理工學(xué)院數(shù)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)2011級(jí)1班，723000)指導(dǎo)老師：延軍摘要箕合函數(shù)求導(dǎo)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)難點(diǎn)，也是微積分中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，因此本文先從復(fù)合函數(shù)的 定義以及性質(zhì)人手，在全面了解宜合函數(shù)后再探討亙合函數(shù)的求導(dǎo)方法，分析箕合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中容易出現(xiàn) 的問(wèn)題，然后尋求能快速準(zhǔn)確的對(duì)亙合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)的方法，并進(jìn)行歸納總結(jié)，最終進(jìn)行推廣，幫助學(xué)生的 有效學(xué)習(xí)。關(guān)鍵詞亙合函數(shù)，定義，分解，方法和技巧，數(shù)學(xué)應(yīng)用1引言復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)難點(diǎn)，也是高等數(shù)學(xué)三大基本運(yùn)算中的關(guān)鍵，是學(xué)生深入學(xué)習(xí) 高等數(shù)學(xué)知識(shí)，提高基本運(yùn)算技能的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生后繼課程的學(xué)習(xí)

2、和思維素質(zhì)的培養(yǎng)起著至關(guān)重要的 作用，在各學(xué)科和現(xiàn)實(shí)生活中也發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，從而必須解決復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。同時(shí), 在教學(xué)過(guò)程中，許多學(xué)生在進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)也犯各種各樣的錯(cuò)誤，有的甚至在學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)之后做題 時(shí)仍然不會(huì)進(jìn)行求導(dǎo)，或者只能求導(dǎo)對(duì)一部分，而對(duì)另外一部分比較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)則還停留在一知 半解的程度上，不知該求導(dǎo)哪一部分，也不知要對(duì)哪一部分得進(jìn)行分解求導(dǎo)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法是求 導(dǎo)的重中之重，而且也是函數(shù)求導(dǎo)、求積分時(shí)不可缺少的工具，這個(gè)問(wèn)題解決的好壞直接影響到換元 積分法甚至以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否能夠順利進(jìn)行。求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu), 明確復(fù)合次數(shù)，然后由外層

3、向?qū)又饘忧髮?dǎo)(或者也可以由層向外層逐層求導(dǎo))，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)， 同時(shí)還要注意不能漏掉求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)果。因此本文先紿出了復(fù)合函數(shù)的定義和性質(zhì)，在 充分了解并且堂握復(fù)合函數(shù)的概念之后，根據(jù)其定義和性質(zhì)對(duì)各種復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)鏈?zhǔn)角?導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、反序求導(dǎo)法、多元復(fù)合函數(shù)的一元求導(dǎo)法以及反函數(shù)求導(dǎo)法的分析，加以對(duì)各種 對(duì)應(yīng)例題的詳細(xì)分解，分析每一步的步驟，比較各種求導(dǎo)方法，明確并且能夠堂提各種題型的最佳解 決方法，最終尋求一種能夠既簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確的解決復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題的方法，并總結(jié)技巧，方便在以后 學(xué)習(xí)生活中的使用。2復(fù)合函數(shù)的定義如果y是的函數(shù)，“又是的函數(shù)，即)，=73),

4、= g(x),那么y關(guān)于的函數(shù)y = /g(x) 叫做函數(shù)y = /W和"= g(x)的復(fù)合函數(shù)，其中。是中間變量，自變量為4,函數(shù)值為y。3導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算定理1若函數(shù)和u(x)在點(diǎn)與可導(dǎo)，則函數(shù)/(x) = (x)±y(x)在點(diǎn)差也可導(dǎo),且：/'(%) = '(入0)±/(與)定理2若函數(shù)“W和似x)在點(diǎn)與可導(dǎo)，則函數(shù)/(x) = (x)Mx)在點(diǎn)口也可導(dǎo),且:八/)='(%)"() + 6), Mx。)推論1若函數(shù)Mx)在點(diǎn)/可導(dǎo)，c為常數(shù),則:("(x)L ="*()定理3若函數(shù)“(X)和U(x)在點(diǎn)凡都

5、可導(dǎo)，且X%)。，則x)= 皿在點(diǎn)/也可尋,且: 心)/'（%） =“'（/Mx。）-（Xo）y'（Xo）（%）4復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法和技巧4.1鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理4如果函數(shù)"=叭。及u = W都在點(diǎn)，可導(dǎo)，函數(shù)Z = f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(凡v)具有連續(xù)偏 導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)Z = /'例，)&(/)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)，可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：dt Jz du 5z dv ,I . dz du dt 5v dt思路 根據(jù)公式(/。)'"0)= /'(0)0(%) = /'(9(/)。'(飛)我們首

6、先要清楚的分析出復(fù)合函數(shù)的 復(fù)合關(guān)系，找出要求導(dǎo)的復(fù)合函數(shù)是由哪幾個(gè)初等函數(shù)復(fù)合而成的，然后再恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置中間變量，把 它分解成一些基本的初等函數(shù)的復(fù)合，最后由最外層開(kāi)始，先使用法則，后使用導(dǎo)數(shù)基本公式，由表 及里的一層一層地求導(dǎo)，注意不可忘記里層的求導(dǎo)。例1求復(fù)合函數(shù)/*)= 0+，1 + .1)的導(dǎo)函數(shù)。解(分析過(guò)程)第一步，將這個(gè)復(fù)合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：f(x) = bin ll = X+yJi + X1(可以看出要求導(dǎo)的函數(shù)是由這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而來(lái)，然后設(shè)置中間變量) 第二步，再根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo)，并將中間變量代回原來(lái)的X變量：/(X)，=(加(Inn)' = =)u&#

7、39; = 1 + a11 x+j + x2y/l + X2(注意對(duì)u的求導(dǎo)時(shí)Ji* 也是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，(x+Ji+Yy=1+(717?/.W.=1+ 2d+x2y2，1 + 產(chǎn)=1+ J 2x2y/l + x2 x=1+ /l + X2不可忘記里層的求導(dǎo)，要做到準(zhǔn)確求導(dǎo))第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：1r/(0二-(1+1=)x + a/1 + 廠，1 + 廠1V1 + A'2例2求復(fù)合函數(shù)y = /2cosx的導(dǎo)函數(shù)。解 (分析過(guò)程)第一步，將這個(gè)復(fù)合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：y = Inn u = 2v v = cos x(可以看出要求導(dǎo)的函數(shù)是由這三個(gè)函數(shù)復(fù)合而來(lái)，設(shè)

8、置恰當(dāng)?shù)闹虚g變量) 第二步，再根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo)，并將中間變量代回原來(lái)的X變量：)，=(/ u)'(2y)'(cos x)'(/)，= (2v = 2 (cos = -sinxu(注意J的表達(dá)式均是一元函數(shù)表達(dá)式)第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：yf =(加 )'(2.)'(cos x)f1 c=-z-sinxu1 c=-2-sinx2v-sinxcosx=kinx例3求復(fù)合函數(shù)y =。/(/x)的導(dǎo)函數(shù)。第一步，將這個(gè)復(fù)合函數(shù)“分解”成基本初等函數(shù)：y = Innu = Invv = Inx(可以看出要求導(dǎo)的函數(shù)是由這三個(gè)函數(shù)復(fù)合而來(lái)，設(shè)置恰當(dāng)

9、的中間變量)第二步，再根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行求導(dǎo)，并將中間變量代回原來(lái)的X變量：yf = (limy Invy (Inx)9(/)' = (Inv)r = -=uvx(注意v的表達(dá)式均是一元函數(shù)表達(dá)式)第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：y" = (Ini(y ,(/)'. (Inx)91 1 1 II V X1 1 1= In(Inx') Inx x1x Inx - In(Inx')注：鏈?zhǔn)椒▌t求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的一種基本方法，也是一種關(guān)鍵方法。在運(yùn)用鏈 式法則求導(dǎo)時(shí)，一定要先明確鏈?zhǔn)椒▌t的適用條件，在適合運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)的前提下，準(zhǔn)確的設(shè)置

10、 中間變量，在分析所給的函數(shù)時(shí)，y = e(),=w"),u = g(x)等分解表達(dá)式必須為一元函數(shù)。在求導(dǎo) 過(guò)程中，一定要記清每一步是誰(shuí)對(duì)誰(shuí)(即什么函數(shù)對(duì)哪個(gè)變量)求導(dǎo)數(shù)，對(duì)前變量(即函數(shù))求導(dǎo)后, 在后邊應(yīng)馬上乘以一個(gè)前變量對(duì)后變量求導(dǎo)因子，不能漏掉鏈?zhǔn)椒▌t中的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，不能忘記對(duì) 里層函數(shù)的求導(dǎo)。而在實(shí)際做題中，當(dāng)我們已經(jīng)熟練堂握鏈?zhǔn)椒▌t后，并不一定要每一步都寫(xiě)出所求 復(fù)合函數(shù)的中間變量，心中知道是怎么復(fù)合而來(lái)的就行，然后做到準(zhǔn)確無(wú)誤的求導(dǎo)。4.2對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法可以把乘積的函數(shù)轉(zhuǎn)化成加減的函數(shù)，把函數(shù)的黑運(yùn)算轉(zhuǎn)化成函數(shù)的相乘運(yùn)算，對(duì)于 一些函數(shù)的乘、除

11、、乘方、開(kāi)方所構(gòu)成的函數(shù)，采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求導(dǎo)，這會(huì)簡(jiǎn)化我們的求導(dǎo)運(yùn)算， 因此對(duì)數(shù)求導(dǎo)法是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的一種重要的，同時(shí)也是一種比較簡(jiǎn)便的方法。思路 先對(duì)類(lèi)型如y = /W的復(fù)合函數(shù)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后對(duì)兩邊同時(shí)關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，最后移項(xiàng)， 移成)/ = y'(x)的形式，最終整理得出答案。例4求復(fù)合函數(shù))，=/上萼二,(工4)的導(dǎo)函數(shù)。(x-3)(x-4)解 (分析過(guò)程).W.第一步，先對(duì)函數(shù)式兩邊取對(duì)數(shù)，得：l(x - l)(x - 2)lny = In V(x-3)(x-4)=In(x -1) + In(x -2)- In(x-3)- In(x - 4) 2第二步，對(duì)上式兩邊同時(shí)對(duì)求

12、導(dǎo)數(shù)，得：1,11 1 1 1 y = -(+)尸 2 x-1 x2 x-3 工一4(切記不可寫(xiě)成(/y)' =-)y移項(xiàng)，得：，1 1 1 1 、y =-(+-)2 x-1 x-2 x3 x-4第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：，1 l(x-l)(x-2) 1111 .v =-J(+)2帕-3)(工-4) x-1 x-2 x-3 x-4例5求復(fù)合函數(shù))/"，。，(的導(dǎo)函數(shù)。解(分析過(guò)程)第一步，先對(duì)函數(shù)式兩邊取對(duì)數(shù)，得：Iny = Inx3'nx=sin xlux第二步，對(duì)上式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得：1 ， ； 1y = cos xlnx +sin x-yx移項(xiàng)，

13、得：yr = y(cos xlnx + x第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：*yf =(cos xlnx + Sin -)xi例6求復(fù)合函數(shù)("二")；,(x>4)的導(dǎo)函數(shù)。(x +2)5*+ 4戶解(分析過(guò)程)第一步，先對(duì)函數(shù)式兩邊取對(duì)數(shù)，得：£z 7 * + 5尸。-4戶Iny = In(x+2)s(x+4-=2/z/(a+ 5) + - Inx - 4) -5In(x + 2)-In(x + 4)32第二步，對(duì)上式兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得：1,2151y =j)x + 5 3(x-4) x + 2 2(x + 4)移項(xiàng)，得：，2151、y = y(+-

14、),6 x + 5 3。-4) x + 2 2(x + 4)第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：I(工 + 5)2(工一4戶2151y =7-(+)(x + 2)2 + 4)! "53(-4) x + 22(x + 4)注：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)一些幕指數(shù)函數(shù)，乘積形式函數(shù)這類(lèi)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是很便捷的。在求 解時(shí)先對(duì)函數(shù)式兩邊取對(duì)數(shù)，然后對(duì)此對(duì)數(shù)式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，但要注意在解題時(shí)，/(x)WO時(shí)， Infx) = fXx),而不是他(幻二-；由于此類(lèi)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)計(jì)算比較繁瑣，所以在求導(dǎo)過(guò) 于(x)f(x)程中要及時(shí)對(duì)所求導(dǎo)后的函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后通過(guò)移項(xiàng)，整理得出結(jié)果，確保得到最簡(jiǎn)潔

15、、準(zhǔn)確的 答案。4.3 反序求導(dǎo)法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反序求導(dǎo)法是一種對(duì)復(fù)合函數(shù)從里到外依次求導(dǎo)的方法，它和鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法在求導(dǎo)時(shí)具有相似性， 但本質(zhì)又不同。反序求導(dǎo)法具有以下三個(gè)方面的優(yōu)點(diǎn)：第一，求導(dǎo)次序和求復(fù)合函數(shù)值的次序一樣， 合乎習(xí)慣，有助于對(duì)此方法的堂提和運(yùn)用；第二，從里到外的求導(dǎo)，避免了求導(dǎo)不徹底的錯(cuò)誤；第三, 形式上便于書(shū)寫(xiě)。思路 通常求由函數(shù),，= /()， =夕。)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)y = /奴工)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，是應(yīng)用復(fù)合函數(shù) 求導(dǎo)法則：乂 = /：()夕(外，從外到里求導(dǎo)；而反序求導(dǎo)法則是：乂從里到外進(jìn)行求導(dǎo)。例7求復(fù)合函數(shù)y = "-2"的導(dǎo)函數(shù)。第一步，設(shè) 丁 =

16、e'1 u = -2x(采用反序求導(dǎo)法則求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)依然先要設(shè)置中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成初等函數(shù))第二步，根據(jù)反序求導(dǎo)法則：/：()從里到外進(jìn)行求導(dǎo)/ = -2/ = e"第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：=-2產(chǎn)例8求復(fù)合函數(shù)y = sin 3/的導(dǎo)函數(shù)。解 (分析過(guò)程)第一步，設(shè))' =$11 u = 3x2(設(shè)置中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解為初等函數(shù)后采用反序求導(dǎo)法則從里到外進(jìn)行求導(dǎo))第二步，根據(jù)反序求導(dǎo)法則：)；=?'")£()從里到外進(jìn)行求導(dǎo)u =6x(sin )' = cos u第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：)

17、/ = ' (sin )= 6xcos 3x2例9求復(fù)合函數(shù)y = (sin/r的導(dǎo)函數(shù)。解 (分析過(guò)程)第一步，設(shè)丁 = 、 u = sinvv = x2(先恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置中間變量，然后將原復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)，最后采用反序求導(dǎo)法從 里到外進(jìn)行求導(dǎo))第二步，根據(jù)反序求導(dǎo)法則：4進(jìn)行求導(dǎo)M = 2x u = cos v y： = 3ir第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：=2x-cos v-3/r=2x cosx2 - 3(sin x2 )2= 6xcosx2 -(sinx2)2注：在對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，反序求導(dǎo)法與鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法的區(qū)別在于鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法對(duì)復(fù)合函數(shù)的求 .W.導(dǎo)是從外到依

18、次進(jìn)行求導(dǎo)，而反序求導(dǎo)法對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)則是從到外依次進(jìn)行求導(dǎo)，因此反序求導(dǎo) 法相比較于鏈?zhǔn)椒▌t的優(yōu)點(diǎn)在于鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)復(fù)合函數(shù)從外到進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)容易忽略對(duì)部函數(shù)的求導(dǎo)，從 而導(dǎo)致求導(dǎo)不徹底，而反序求導(dǎo)法在對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)首先就對(duì)函數(shù)部進(jìn)行求導(dǎo)，因此出現(xiàn)求導(dǎo) 不徹底的可能性非常小，甚至直接可以避免這種情況的發(fā)生，所以反序求導(dǎo)法則是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的 一種非常重要的方法。4.4 多元復(fù)合函數(shù)的一元求導(dǎo)法多元復(fù)合函數(shù)的一元求導(dǎo)法是根據(jù)多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，對(duì)自變量4求偏導(dǎo)數(shù)，把其余自 變量都暫時(shí)看成常量，從而函數(shù)就變成是x的一元函數(shù)，從而就可以利用一元函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行復(fù)合函 數(shù)的求導(dǎo)，對(duì)一些復(fù)合函數(shù)

19、求偏導(dǎo)可以起到既方便又準(zhǔn)確的作用。思路 將復(fù)合函數(shù)中除過(guò)要求導(dǎo)的自變里外其余自變量均看成常量，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)法依 次進(jìn)行求導(dǎo)。例 10 已知復(fù)合函數(shù)Z = e"(一口)，其中 = asinx + y, y = cosx-y求，。 dx解(分析過(guò)程)第一步，先將其余自變量暫時(shí)看成常數(shù)： = aeax(u-v) + eax(uf-vf) dx第二步，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)法依次進(jìn)行求導(dǎo)：=aeax(a sin x + y) (cos x - y) + eax (a cos x + sin x)=aeaa sin x -cos x + 2y) + aeax cos x + Din x=

20、creax sin x - aeax cos x + laye + aeax cos x + eax sin x第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：=ecx (a2 + l)sin x + lay*(v_z)du例11已知復(fù)合函數(shù)=；,其中y = asinx, z = cosx求丁。cr + dx解(分析過(guò)程)第一步，先將其余自變量暫時(shí)看成常數(shù)：dx cr +1第二步，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)：=一aeay - z) + * (a cos x + sin x) cr +1=(creax sin x - aeax cos x + aeax cos x + eax sin x) cr=/一

21、(a2 +1)* sin xcr +第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：=eax sin x例 12 已知復(fù)合函數(shù) Z = e" sin v, = xy, y = x + y,求二，二。dx dy解（分析過(guò)程）第一步，先將其余自變量暫時(shí)看成常數(shù)：dz dz du dz dvdx du dx dy dx第二步，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)：=elt sin v-y + eu cosv 第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：=exry -sin（x + y） + cos（x + y）第一步，先將其余自變量暫時(shí)看成常數(shù)：dz. dz du dz. dvdy du dy dv dy第二步

22、，然后利用一元函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo)：=e" sin v-x+e" cos v 1第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：=eXY x - sin（x + y） + cos（x + y）注：利用多元復(fù)合函數(shù)的一元求導(dǎo)法求導(dǎo)函數(shù)時(shí)對(duì)自變量求偏導(dǎo)，把其余自變量都暫時(shí)看成常量, 從而要求導(dǎo)的函數(shù)就變成了一元函數(shù)，此時(shí)，便可以使用一元函數(shù)的所有求導(dǎo)公式和法則進(jìn)行求導(dǎo)了, 使用這種方法可以既快速又準(zhǔn)確的對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，但一定要看清要求導(dǎo)的自變量和把其余自變 里要看成常數(shù)。4.5 反函數(shù)求導(dǎo)法。'（為）定理5設(shè)y = /（x）為x = 9（y）的反函數(shù)，若奴?。┰邳c(diǎn)兒的某鄰域連續(xù)

23、，嚴(yán)格單調(diào)且。'（用）工。，則/（X）在點(diǎn)發(fā)0（%=奴為）可導(dǎo)，且/"（/） =.W.思路設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y = /(a)的反函數(shù)x =(p(y)也可導(dǎo)，然后由x =奴y) = °(/'(x)兩邊對(duì)x求導(dǎo),從而得出所要求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例13求函數(shù)y = arcsina的導(dǎo)函數(shù)。解(分析過(guò)程)第一步，由于y = arcsinx, xw(-1,1)是x = sin y , y e (-，,g)的反函數(shù)，故由公式x = sin(arcsin x)第二步，兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)后變形得:(arcsin x)f =!(sin ycos y 5/l-sin2 y第三步，將分析求導(dǎo)

24、后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果:-=2=,xe(-lJ) Jl-r例14求函數(shù)丁 = arctanx的導(dǎo)函數(shù)。解 (分析過(guò)程)的反函數(shù)，因此由公式 2 2第一步，由于 y = arctanx , xe R 是 x = tany , y e(:(與)=下可以得出: (%)x = tan(arctaii x)第二步，兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)后變形得:(arctan 打=!(tan ysec2 y1 +tan2 y第三步，將分析求導(dǎo)后的數(shù)據(jù)整理得結(jié)果：= （-CO,+O0）1 +廠注：反函數(shù)求導(dǎo)方法是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中一種重要的方法，熟練的寫(xiě)出原函數(shù)的反函數(shù)是求導(dǎo)的關(guān) 鍵，此外，在求導(dǎo)過(guò)程中要記得是同時(shí)對(duì)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，不可

25、以一邊求導(dǎo)而另外一邊照寫(xiě)。在解題時(shí) 熟練堂提各種公式的變形也是正確解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。5小結(jié)在對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)時(shí)，首先必須熟練堂提函數(shù)的運(yùn)算順序，其次在于弄清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)。 在用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)時(shí)，首先應(yīng)將其分解成若干簡(jiǎn)單函數(shù)，復(fù)合函數(shù)分解的徹底與否是復(fù)合函 數(shù)求導(dǎo)正確與否的關(guān)鍵所在，所以在分解復(fù)合函數(shù)時(shí)，要做到不漏不重，明確復(fù)合次數(shù)，應(yīng)注意分清 哪個(gè)是外層函數(shù)，哪個(gè)是里層函數(shù)，如果這一步發(fā)生錯(cuò)誤，那么后一步求導(dǎo)肯定是錯(cuò)誤的。求導(dǎo)時(shí)應(yīng) 先對(duì)外層函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再對(duì)里層函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，按法則詳細(xì)寫(xiě)出求導(dǎo)過(guò)程，并應(yīng)注意及時(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算 結(jié)果，不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)。做題時(shí)，要會(huì)引進(jìn)中間變量，將復(fù)合函數(shù)正

26、確分解是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵, 這需要通過(guò)一定數(shù)量的練習(xí)才可堂握。當(dāng)熟練堂提復(fù)合函數(shù)的分解后，可以不必把中間變量寫(xiě)出來(lái)， 按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，由外向里，逐層求導(dǎo)即可。在用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)時(shí)，首先要對(duì)函 數(shù)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，以此來(lái)方便求導(dǎo)。在用反序求導(dǎo)法進(jìn)行復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，首先也要對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn) 行分解，但是注意是從到外進(jìn)行求導(dǎo)，該方法避免了求導(dǎo)不徹底的錯(cuò)誤，而且方便于書(shū)寫(xiě)。多元復(fù)合 函數(shù)的一元求導(dǎo)法主要是對(duì)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)，注意要把要求自變里之外的其余自變it都暫時(shí)看成常數(shù), 使用這種方法對(duì)一些復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)可以起到既方便又準(zhǔn)確的作用。在實(shí)際求導(dǎo)過(guò)程中，有時(shí)將復(fù)合1 1 -函數(shù)進(jìn)行變形也可以

27、起到方便求導(dǎo)的作用，如：復(fù)合函數(shù)丁= /、可以變形為:>'=（-一r）2 ,Vl + x21 + 廠（ = ）;復(fù)合函數(shù) y = 1sin3xcosx-4sin3xsinx 變形為 y = Isin（4x + ） + sin（2x-）, 22233再進(jìn)行求導(dǎo)就方便很多了。所以在求導(dǎo)時(shí)要根據(jù)具體情況對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行具體分析，要有明確的思路, 靈活選用恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)方法，最終尋求一種能夠既簡(jiǎn)便又準(zhǔn)確的解決復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題的方法，進(jìn)行準(zhǔn) 確無(wú)誤的求導(dǎo)。參考文獻(xiàn)m華東師大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析M.（第三版）,：高等教育出社.2001.87-114.清華，昊.數(shù)學(xué)分析容、方法與技巧（上）,華中科技大

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