等比數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)

1、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和河北祁州中學(xué)高麗一、教學(xué)內(nèi)容分析等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是高中數(shù)學(xué)人教A版必修5第二章第五節(jié)的內(nèi)容，分兩個(gè)課時(shí)完成，第一課時(shí)側(cè)重于公式的推導(dǎo)及記憶，第二課時(shí)側(cè)重于公式的靈活應(yīng)用。等比數(shù)列前n項(xiàng)和是教材中很重要的一塊內(nèi)容，是“等差數(shù)列”，“等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)，具有承上啟下的作用。它對(duì)學(xué)生進(jìn)一步理解等比數(shù)列以及數(shù)列的知識(shí)有很重要的作用。此公式的推導(dǎo)過程中所滲透的類比，分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)二、學(xué)情分析從學(xué)生的思維特點(diǎn)看，很難想到變加為減。在學(xué)完等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和的基礎(chǔ)上，大部分學(xué)生會(huì)容易把本節(jié)內(nèi)容與其從

2、公式的形成、推導(dǎo)、特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢(shì)利導(dǎo)。但其實(shí)本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這其中需要學(xué)生強(qiáng)烈的探究及觀察能力。另外對(duì)于q=1 這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在使用公式的過程中容易出錯(cuò)。三、教學(xué)設(shè)計(jì)意圖等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式這一節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)和解決一類求和問題的重要基礎(chǔ)和有力工具。（ 1 ） 對(duì)這節(jié)教材的理解和根據(jù)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維特征，確定的教學(xué)模式和教學(xué)方法以及要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)。（ 2） 在教學(xué)過程中，要注重激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情

3、，調(diào)動(dòng)學(xué)生潛在的學(xué)習(xí)積極性，啟迪學(xué)生的思維，突破教材難點(diǎn)。利用問題探究式的教學(xué)方法對(duì)該課程進(jìn)行教學(xué)，在師生的交流合作中，滲透數(shù)學(xué)知識(shí)。四、教學(xué)目標(biāo)：1 、 知識(shí)與技能目標(biāo)：通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)用方程的思想認(rèn)識(shí)等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式，會(huì)用等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式及有關(guān)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中存在著的大量的數(shù)列求和問題，將等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合起來解決有關(guān)的求解問題。2、過程和方法目標(biāo)：通過啟發(fā)、引導(dǎo)、分析、類比、歸納，并通過嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的解題思想和解題方法的訓(xùn)練，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生分類與整合的數(shù)學(xué)思想及學(xué)生的邏輯思維。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：通過解決生產(chǎn)實(shí)際和社會(huì)生活中的實(shí)

4、際問題，了解社會(huì)，認(rèn)識(shí)社會(huì)，形成科學(xué)的世界觀和價(jià)值觀。五、教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)： 等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及靈活應(yīng)用，及生產(chǎn)和社會(huì)生活中有關(guān)的實(shí)際問題。難點(diǎn)： 建立等比數(shù)列模型，用等比數(shù)列知識(shí)解決有關(guān)生產(chǎn)實(shí)際及社會(huì)生活中的熱點(diǎn)問題。六、教學(xué)過程問題與情境學(xué)情預(yù)設(shè)設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境：在占印度，有個(gè)名叫西薩的 人，發(fā)明了國(guó)際象棋，當(dāng)時(shí)的印 度國(guó)王大為贊賞，對(duì)他說：我可 以滿足你的任何要求.西薩說： 請(qǐng)給我棋盤的64個(gè)方格上，第一 格放1粒小麥，第二格放 2粒， 第三格放4粒，往后每一格都是 前一格的兩倍，直至第 64格.國(guó) 王令宮廷數(shù)學(xué)家計(jì)算，結(jié)果出來 后，國(guó)王大吃一驚.為什么呢？學(xué)生開始討

5、論，分析：數(shù)學(xué)建模生：1,2,22,263的和，用計(jì)算器一項(xiàng)一項(xiàng)加。（學(xué)生笑）師：可以?。〉沁@樣工程非常浩大，計(jì)算相 當(dāng)繁瑣。師：注意觀察每項(xiàng)的特征，及其項(xiàng)與項(xiàng)間的聯(lián)系。生：由于從第二項(xiàng)起每項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值是同一個(gè)常數(shù)2,所以可以把它看成一個(gè)等比數(shù)列，因此我們要求出這個(gè)等比數(shù)列的前64項(xiàng)和S64 1 2 22263 。師：對(duì)！可是這要怎么加？探討：我們觀察發(fā)現(xiàn)：若將等式右邊的每一項(xiàng)乘以一個(gè)2,就得到他后面相鄰的一項(xiàng)。所以：S64 1 2 22263 2S642 22263 264 （學(xué)生發(fā)現(xiàn)相同項(xiàng)）將兩個(gè)式子錯(cuò)位對(duì)齊發(fā)現(xiàn)有相同的部分，可以通過減法消去，-得：S64 2 64 1 （生：原來要

6、艾加為減）麥子質(zhì)量超過7000億噸！國(guó)土/、可能滿足四薩的要求。師：我們將這樣的求和方法叫做“錯(cuò)位相減法”。 你們有沒有發(fā)現(xiàn)其中的關(guān)鍵？誰能說說這種計(jì)算的 關(guān)鍵是什么？生：它的關(guān)鍵在于等式兩辿要同時(shí)乘以公比。還要錯(cuò)位相減。師：那么我們可以從特殊到一般，得出等比數(shù)列的前n項(xiàng)和嗎？以一個(gè)故事做為切入點(diǎn)，該故事內(nèi)容緊扣 本節(jié)課主題及重點(diǎn)，又便于引起學(xué)生的注意，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的趣味性和積極性。學(xué)生主動(dòng)思考回答問題，教師給予肯定。通過教師引導(dǎo)，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)該問題為求和，求和就用加法。但是要怎么加？問題提出，形成繁難的情境，激起了學(xué)生的求知欲。探討幫助學(xué)生充分 感受等比數(shù)列前 n項(xiàng)和 的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是

7、變“加”為“減”。兩個(gè) 式子對(duì)其了書寫，便于 學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)相同項(xiàng)。 利用減法消去相同項(xiàng)， 得到答案。這讓學(xué)生在 探索過程中，充分感受 到成功的情感體驗(yàn)，從 而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。對(duì)特殊題目的歸納小 結(jié)，有助于學(xué)生鞏固理 解新的方法。9 / 7二、提出問題:般地，等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn即求:aa? a?an 1an2Sn4aq aqn.aq2、由 1 q Snaad得到Sn里q能不能等于 1 ? q要是等1,這是個(gè)什么數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn等于什么？（提醒引導(dǎo)學(xué)生注意1 q的取值，如果1 q為0,不能直接除掉的，所以當(dāng)所給數(shù)列的公比是一個(gè)字母時(shí)，一定要討論）師：設(shè)等比數(shù)列 an

8、 ,首項(xiàng)為a1,公比為q ,如何求前n項(xiàng)和Sn?（學(xué)生眾說紛紜，躍躍欲試。此時(shí)由學(xué)生表達(dá)，教師書寫）推導(dǎo)過程:生：Sn a a2 a?2即 Sna1a1qa1q等式左右兩邊同乘 公比q得:2 3qSn aq aq aq利用錯(cuò)位相減,Sna1qSnan 1ann 1aqnaq把兩個(gè)式子錯(cuò)位對(duì)齊發(fā)現(xiàn):aiq“q2aqaq2n 1aqaqn 1 a1qn、的右邊有很多相同的項(xiàng)。用式兩邊分別減去式兩邊得1 q Sn ai Hna1aq生：當(dāng)q 1時(shí)，這個(gè)等比數(shù)列變成一個(gè)常數(shù)列，也可看成一個(gè)等差數(shù)列，所以Sn(q i)na1師：當(dāng)q 1時(shí)，等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和的公式為Sna 1 qn(q 1).1 q因

9、此等比數(shù)列na1Sna1 1On前n項(xiàng)和公式問題的提出的水到渠 成，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生將結(jié) 論一般化，情境為等比 數(shù)列前n項(xiàng)和的提出及 其證明做好鋪墊。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般，利用錯(cuò)位相減法，自己探究公式，從而獲得學(xué)習(xí)的快樂。證明過程的關(guān)鍵是在于讓學(xué)生明白錯(cuò)位相減法，以及它的關(guān)鍵在于等式兩邊要同時(shí)乘以公比q。書寫時(shí)錯(cuò)位對(duì)齊，給予視覺沖擊，加深印象。通過反問精講，一方面 使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的 認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)， 另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn) 單地模仿和接受，變?yōu)?對(duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從 而進(jìn)一步提高分析、類 比和綜合的能力。這一 環(huán)節(jié)非常重要，盡管時(shí) 間有時(shí)比較少，甚至僅 僅幾句話，然而卻有畫 龍點(diǎn)

10、睛之妙用。師：等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式不唯一，至少我們學(xué)了兩個(gè)表達(dá)形式，那等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式也有不一樣的表達(dá)形式嗎？生：可以用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an a1qn 1n 1因?yàn)閍n a1q ，所以公式還可以寫成教師再次追問，推動(dòng)學(xué) 生自主探索發(fā)現(xiàn)，營(yíng)造 一個(gè)讓學(xué)生主動(dòng)思考、 觀察、討論的學(xué)習(xí)氣氛。公式得出后，教師幫助 學(xué)生強(qiáng)調(diào)注意事項(xiàng)，有 助于學(xué)生正確理解記 憶，公式特征的歸納后 助于加快學(xué)生的解題速 度。a1anqSn-1-(q 1).1 q卯：供好！公認(rèn)中找11聚杜忌兒總：(1)、n為等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；(2)、a1, an , n , q , Sn “知二求一”；(3)、等比數(shù)列求和要對(duì)“ q

11、1 ”與“ q 1 ”分類討論；(4)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的特征：Sn 01)3 3qn,即 sn k kqn1 q1 q 1 q形式，其中k 3 , q 1。若等比數(shù)列前n項(xiàng)1 q和 Sn aqn b ,貝U a b 0三、課堂演練例1、求卜列等比數(shù)列前 8項(xiàng)的和：111”2、 4 8 "卜例2. 已知等比數(shù)列 an的前4 項(xiàng)和是S 44 0公比q=3,求首項(xiàng)ai練習(xí)：已知 an是等比數(shù)列完成 卜表-11_斛a1,q-, n8221 1、S2(1 二)25581 12562解：S4 40,q 3, n 4axx 401 q1 3a11例1通過直接套用公 式、變式運(yùn)用公式、這 兩個(gè)層

12、次的問題解決， 促進(jìn)學(xué)生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知 結(jié)構(gòu)的形成。深刻體會(huì)“知三求二”，強(qiáng)調(diào)方程 與函數(shù)的思想。等比數(shù) 列涉及到指數(shù)問題，有 時(shí)解題計(jì)算很繁瑣，要 注意計(jì)算化簡(jiǎn)中的技 巧，靈活運(yùn)用性質(zhì)。通 過學(xué)生板書演示，讓全 體學(xué)生都參與教學(xué)，以 此培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí) 和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)。題號(hào)aiqnsn(1)326(2)35242（學(xué)生自主解答，再請(qǐng)同學(xué)到黑板上演示）例3某制糖廠今年制糖 5萬噸， 如果平均每年的產(chǎn)量比上一年增加10%那么從今年起，幾年內(nèi)可 以使總產(chǎn)量達(dá)到30萬噸（保留到 個(gè)位）.（教師引導(dǎo)學(xué)生探究， 根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列模型，并明確這是一個(gè)已知首項(xiàng)和公比求前 n項(xiàng)和的問

13、題。）解：由題意可知，這個(gè)糖廠從今年起， 平均每年的產(chǎn)量（萬噸）組成一個(gè)等比數(shù)列，記為a na1 5,q 1 10% 1.1, Sn 30于是得到 5（1 1.1n）30. 1 1.1酸由鉆nlg1.60.2041匚整理的11n 16n5lg1.10.0414答：5年內(nèi)可以使總產(chǎn)量達(dá)到 30萬噸.例3是等比數(shù)列前n項(xiàng) 和在實(shí)際生活中的典型 應(yīng)用。通過身邊的例子， 讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在生活 中的應(yīng)用，并培養(yǎng)學(xué)生 數(shù)學(xué)建模的能力和應(yīng)用 知識(shí)解決實(shí)際問題的能 力。例4、等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 Sn 3n r ,則 r_?_生：先求a1 ,a2 ,a3,利用等比中項(xiàng)求出r師：很好，這種方法利用了方程的思

14、想，一個(gè) 未知數(shù)，只需野-個(gè)方程。教師板書：a1 3 r a2 6 a3 18電.2r 1a a2生：把a(bǔ)n通項(xiàng)公式求出來，再利用an是等比數(shù)列，就可以了。師：那我們?cè)囋嚳矗阎猄n求an要注意分n 1, n 1兩個(gè)情況教師板書：當(dāng)n 1時(shí)，a1 3 r例題4的設(shè)置，活躍了 學(xué)生的思維，加強(qiáng)了數(shù) 學(xué)思想方法的訓(xùn)練，通 過本題學(xué)習(xí)，樹立學(xué)生 求真的勇氣和自信心， 增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心 理體驗(yàn)，還幫助學(xué)生感 受等比數(shù)列前n項(xiàng)和公 式的特征，提高解題速 度。當(dāng)n 1時(shí)，an Sn Sn i 2 3n 1 an是等比數(shù)歹U,所以a1 3 r也滿足上式，r 1生：等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Snaqnb,

15、貝 Uab0r10 r 1師：沒錯(cuò)！這是很簡(jiǎn)潔的方法。直接利用等比 數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得到。思考題遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增。其燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？生：可以看成是數(shù)學(xué)建模：已知等比數(shù)列an,公比q=2 , n=7, S7=381，求a1由學(xué)生探究回答例4是公比的討論問 題，解題時(shí)，以學(xué)生分 析為主，教師適時(shí)給予 點(diǎn)撥，該題有意培養(yǎng)學(xué) 生建立數(shù)學(xué)模型思想。 提醒學(xué)生解題嚴(yán)謹(jǐn)。四、課堂小結(jié)1、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（ai, an, n, q, Sn 知二求二）2、公式的推導(dǎo)方法3、應(yīng)用題：等比數(shù)列前 n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用。師生小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生回顧公式、推導(dǎo)方法，鼓 勵(lì)學(xué)生積極回答，然后老師再

16、從知識(shí)點(diǎn)及數(shù)學(xué)思想 方法兩方卸總結(jié)。給學(xué)生充分的時(shí)間獨(dú)立 思考、應(yīng)用公式解決問 題。五、布置作業(yè)1、1、知識(shí)小結(jié)：等比數(shù)列前 n項(xiàng)和公式；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的簡(jiǎn)單運(yùn)用；a1,an, n,q,Sn知三求二；2、方法小結(jié)：從特殊到一般的方法；錯(cuò)位相減法；方程與函數(shù)的思想方法3、作業(yè)布置：課本 58頁(yè)思考：求和 Sn 1 2x 3x2 4x3nxn1鼓勵(lì)學(xué)生積極回答，以 此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá) 能力，歸納概括能力， 也為了加深印象。作業(yè) 布置幫助學(xué)生鞏固所 學(xué)，思考題的給出有助 于學(xué)生克服疲倦及自滿 心理，繼續(xù)探究。六、教學(xué)反思本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)重視“過程與方法”。符合新課標(biāo)理念，把重點(diǎn)放在公式的推導(dǎo)及應(yīng)用

17、上。一、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引起學(xué)生的興趣情境創(chuàng)設(shè)是為了發(fā)展學(xué)生的心理機(jī)能，激發(fā)學(xué)生的興趣、求知欲等來增強(qiáng)教學(xué)效果而營(yíng)造的課堂氛圍。創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，讓學(xué)生“觸境生情”，既可以掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，又可以 體驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容中的情感，使原本枯燥抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得生動(dòng)有趣。本節(jié)課通過數(shù)學(xué)史料引進(jìn)課題，即可以擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，又能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià) 值的認(rèn)識(shí)。二、不斷探索討論，激活學(xué)生的思想高中數(shù)學(xué)新課程的基本理念是要豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法。在教學(xué)中,教師鼓勵(lì)學(xué)生積極參與教學(xué)活動(dòng)，教授過程中要有教師的講授和指導(dǎo)，更要有學(xué)生的自主探索與合作交流。鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)用了錯(cuò)位相減法， 這種方法學(xué)生很難想到，求和都是用加,怎么會(huì)變成減法了呢？如果課上有足夠的時(shí)間, 解答方法。比如：可以讓學(xué)生充分思考,說不定可以得到其他a2aia3a2a2a3ai a2SnaianSnaianq /(q i) q或者:Snaiaqn aiqn i aiqq&aqSnnaiq