數(shù)值分析、計算方法試題庫及答案

1、xx學(xué)年第1學(xué)期«計算方法課程考試試卷(A )開課二級學(xué)院：理學(xué)院 ，考試時間：x年 月 日 時考試形式：閉卷，口、開卷口，允許帶 計算器 入場考生姓名： 學(xué)號： 專業(yè)： 班級：題序一二三四五六七總分得分評卷人、填空(每個空3分，共27分); * * . 1,設(shè) x 2.6718 ,x 2.671 ,則x有 位有效數(shù)字: * _一 一. *2 2, x2.8451是經(jīng)四舍五入得到的近似值，則其相對誤差 0 ；3,設(shè) x (3, 2,6),則 |M , |x| b4,設(shè)f (x) 0,則由梯形公式計算的近似值T和定積分If(x)dx的值的大小a:關(guān)系為: 5,設(shè) f(0) 1, f(1

2、) 3, f(2) 4, f(3) 2, f01,2,3 46,對點 供)。 1,2,n)擬建立模型y a bx2,則a,b滿足的正規(guī)方程組為na7,若a,b滿足的正規(guī)方程組為:nxiai 1xib1nx2bi 1yin xis使x(k 1)sx(k),則A的按模最大則y與x之間的關(guān)系式為8,對哥法迭代公式x(k 1)Ax(k)當(dāng)k充分大時有常數(shù)!的特征值11寂涯網(wǎng)絡(luò) xxxx學(xué)年第1學(xué)期計算方法課程試卷 A 第5頁共4頁:、設(shè) f(2) 0,f(0) 2,f(2) 8,求 p(x)使 p(xj f(xj ,(i 0,1,2)；又設(shè)f (x) M ,則估計余項 r(x) f (x) p(x)的

3、大小。(15分)三、設(shè) f(0) 1, f(0.5) 5, f(1) 6,f(1.5) 3, f(2) 2, f(k) M (k 2,3,4),2(1)計算°f(x)dx, (2)估計截斷誤差的大小(12分)四、設(shè)方程x3 5x2 12 0在1,2內(nèi)有實根 ，試寫出迭代公式xk 1(xk) k 0,1,2,，使 xk,并說明迭代公式的收斂性。（10分）1352五、設(shè)有線性方程組 Ax b,其中 A31015, b8515305（1）求A LU分解；（2）求方程組的解判斷矩陣A的正定性（14分）六、設(shè)有線性方程組 Ax b,其中 A1442 12,4 41an TO A2試討論Jaco

4、bi迭代法和 Gauss-Seidel迭代法的收斂性。（14分）七、設(shè)A aj nn是n階實對稱正定矩陣，A經(jīng)過一次高斯消元計算變?yōu)槠渲蠺為行向量，。是零列向量，試證明 A2是對稱正定矩陣（8分）xx _ xx_學(xué)年第二學(xué)期«計算方法課程考試試卷(B)開課二級學(xué)院：理學(xué)院 ，考試時間：xx年2月_31日 時考試形式：閉卷，口、開卷口，允許帶 計算器 入場考生姓名： 學(xué)號： 專業(yè)： 班級： 題序一二三四五六七八總分得分評卷人、填空(每空3分，共27分)1,牛頓柯特斯求積公式的系數(shù) C,2,設(shè)x的相對誤差為，則 &的相對誤差為3,設(shè)x4.5585是經(jīng)四舍五入得到的近似值，則4,設(shè)

5、 x (2, 2, 8),則 |x|5,對實驗數(shù)據(jù)(xi,y)(i 1,2,n)擬建立模型a bx ,則a, b滿足的正規(guī)方程組為6,若a,b滿足的正規(guī)方程組為:nan2為ai 1nx2bi 1nx4bi 1n2xi yii 1則y與x之間的關(guān)系式為7,若1是A1的按模最大的特征值，則A的按模最小的特征值為8,對哥法迭代公式x(k 1)Ax(k)當(dāng)k充分大時有常數(shù)p, q使32;八、設(shè)萬程x 4x 10 0在1,2內(nèi)有實根，試寫出迭代公式xk 1 (xk) k 0,1,2,，使xk。1 10 分)七、設(shè)A是非奇異矩陣，矩陣序列Xk滿足XkiXk(2I AXk),若(I AXo) 1,證明：ki

6、mXk A1 (8 分)xx _ xx _學(xué)年第。學(xué)期計算方法課程試卷（A）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)開課二級學(xué)院： 理學(xué)院，學(xué)生班級:07數(shù)學(xué),07信算1,2教師:何滿喜1,6,、填空（共27分，每空3分)na2xi ai 12,x2b1o 43, 114, T I5,nx4bi 1n 2Xi i 1yi17, ya bx8, S（共15分）、由公式得P(X)f (Xo) f Xo,X1(X1(X 2) -(x 2)x2Xo)1 2X2f Xo,Xi, X2(X2x 2 L Lr(X)f(3)()3!(x 2)x(x2)Xo)(x Xi) L L 3M I, 6 Kx2)x(x 2)168.5,M3

7、.327三（共12分）、根據(jù)給定數(shù)據(jù)點的個數(shù)應(yīng)該用復(fù)化simpson公式計算由公式得f(x)dx 3(f(o) 4(f(a5) f(1.5)2 f(1)f(2)R(f,s4)476/h：f(4)(2 0 一 M M288o144oh1 2h若用其它公式計算正確，且誤差比以上的誤差大時只給過程分?jǐn)?shù)8分，扣除方法分?jǐn)?shù)4分。四、（1。分）把方程X3 5x2 12 o等價變?yōu)橐韵路匠?則有（x）«計算方法課程試卷 A參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第 1頁共 3 頁1222因此對1 x 2有所以由定理可知迭代公Xk 1(Xk)五、（14分）因為(x)12. XkA,b.121,2 1(1) A=LU= 3

8、X 5)32 ,(1 5)3（xk）是收斂的,即迭代公式收斂于方程在區(qū)間1 ,2內(nèi)根上。101515305 01X1（2）方程組的解為X2X31(3)由于A= 3所以矩陣A是對稱正定的六（14分）、BiD1(DA)所以舊）B2(IL)所以(B2)1UB2B116由定理可知簡單Jacobi)迭代法收斂。4 141610 ,243232)1,由定理可知Seidel迭代法不收斂。七（8分）、證：A2的元素為af，ai 1ai ja1ja j1a j i a1i aj i ?a11an«計算方法課程試卷 A參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)第 3頁共 3 頁因此A2為對稱矩陣。記mi1ai1, L1 a11

9、0m)21 1a110對任意n-1維非零向量mni 0(0,x0)t ,記A20,而ytAy (L；x)tA(L；x) xtL1Ax (0,x0)anOOtA2xO而A2為正定矩陣。«計算方法課程試卷 A參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)課程編號：12000044a11OOtytAy 0,x0A2x0 ,xAx。北京理工大學(xué)2010-2011學(xué)年第一學(xué)期xx級計算機(jī)學(xué)院數(shù)值分析期末試卷A卷班級 學(xué)號 姓名 成績 注意：答題方式為閉卷。 可以使用計算器。請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上。一、填空題(2 0X2')1 .設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，

10、則x有 位有效數(shù)字。2.設(shè)A:22，U A 口 °° 二,X2 13| X | 00 =,II AX |(注意：不計算口 AX廠的值)3 .非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x= (x)在有解區(qū)間滿足,則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的4 .若 f(x)=x7 x3 + 1 ,則 f20,21,22,23,24,25,26,27=f20,21,22,23,24,25,26,27,28=5 .區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。6 .當(dāng)插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓 差商公式的 (填寫前插公式、后插

11、公式或中心差分 公式)，若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的(填寫前插公式、后插公式或中心差分公式)；如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的 n7 .拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)ai(x)的特點是：ai(x) ;所i 0以當(dāng)系數(shù)a(x)滿足,計算時不會放大f(xi)的誤差8 .要使J20的近似值的相對誤差小于0.1%,至少要取 位有效數(shù)字。9 .對任意初始向量X(0)及任意向量g,線性方程組的迭代公式 x(k+1)=Bx的+g(k=0,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件10.由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是 x00.511.522.5y=f(x)-

12、2-1.75-10.2524.2511 .牛頓下山法的下山條件為12 .線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri (i=0,1，,n)來實現(xiàn)的，其中的殘差 ri =, (i=0,1，,n)。13 .在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解， 且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號，則初始點xo的選取依據(jù) 為 o14 .使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、迭代計算。二、判斷題(在題目后的()中填上y或“x”。)(10X1')1、若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX= b一定可以使用高斯消元法求解。()2、解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂

13、的。()3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式naiiaj(i 1,2,.,n)j 1則解線性方程組AX = b的高斯塞德爾迭代法一定收斂。()4、樣 條 插 值 一 種 分 段 插 值 o()5、如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤 差 及 舍 入 誤 差。()7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX = b。()8、迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到最后一 步 迭 代 計 算 的 舍 入 誤 差。()9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和

14、舍入誤差，則誤差的最佳分配原則 是截斷 誤差 = 舍 入 誤 差。()10、 插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差。()三、計算題(5X8'+10')1、用列主元高斯消元法解線性方程組。(計算時小數(shù)點后保留5位)。x1 x2x345x1 4x2 3x3121232x1 x2 x3 112-用牛頓一一埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4(x),并寫出其截斷誤差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。xi012f(xi)1-13f '(xi)153、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法均收斂，寫

15、出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法的迭代 公式，并簡單說明收斂的理由2x1xix2xix3xx34x3x3x45x4X416834、設(shè)y=sinx,當(dāng)取x0=1.74, xi=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式計算 x=1.75的函數(shù)值時，函數(shù)值yo, yi, y2應(yīng)取幾位小數(shù)？5、已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù):xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法計算，x約為多少時f(x)=1。(計算時小數(shù)點后保留5位)。a -6、應(yīng)用牛頓法于方程 f(x) 1 0,導(dǎo)出求a的迭代公式，并用此公x式求、115

16、的值。(計算時小數(shù)點后保留4位)。課程編號：12000044北京理工大學(xué)xx-2010學(xué)年第二學(xué)期xx級計算機(jī)學(xué)院數(shù)值分析期末試卷A卷班級學(xué)號姓名成績注意：答題方式為閉卷。 可以使用計算器。四、15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.請將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計算題答在答題紙上。填空題(2 0X 2')設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有位有效數(shù)字II A | oo =5II X | 8 =1，XII AX |15非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x= (x)在有解區(qū)間滿足|彳x)|<1，則使用該 迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收

17、斂的 若 f(x)=x7 x3 + 1 ,則 f20,21,22,23,24,25,26,27=J f20,21,22,23,24,25,26,27,28=區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。當(dāng)插值節(jié)點為等距分布時，若所求節(jié)點靠近首節(jié)點，應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓 差商公式的前插公式,若所求節(jié)點靠近尾節(jié)點,應(yīng)該選用等距節(jié)點下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。n拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)a(x)的特點是：ai(x)1;i 0所以當(dāng)系數(shù)ai(x)滿足 ai(x)>1,計算時不會放大f(xi)的誤差。

18、要使<20的近似值的相對誤差小于0.1%,至少耍取4位有效數(shù)字。對任意初始向量X(0)及任意向量g,線性方程組的迭代公式 x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是(B)<1。由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項式的次數(shù)最高是 5。0.51.52.5y=f(x)-2-1.75-10.254.2525 .牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)Vf(xn)|。26 .線性方程組的松弛迭代法是通過逐漸減少殘差ri (i=0,1,n)來實現(xiàn)的，其中的殘差 ri = (bi-ajixi-aj2x2-aoxn)/a«, (i=0,1，,n)。27 .在

19、非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時，若在迭代區(qū)間存在唯一解， 且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號，則初始點xo的選取依據(jù)為 f(x0)f ”(x0)>0。28 .使用迭代計算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計算。五、判斷題(10X 1')10、 若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX= b 一定可以使用高斯消元法求解。(x )11、 解非線 性方程f(x)=0的牛頓迭代法 在單根x*附近是平 方收斂的。()12、 若A為n階方陣，且其元素滿足不等式naiiaj (i 1,2,.,n)j 1則解線性方程組AX = b的高斯塞德爾迭代法一定收斂。(x )13、 樣 條 插 值

20、 一 種 分 段 插 值。()14、 如果插值結(jié)點相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。()15、 從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截 斷 誤 差 及 舍 入 誤 差。()16、 解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX = b。(X )17、 迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到最 后一步 迭 代 計 算 的 舍 入誤 差。(X )18、 數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則 是 截 斷 誤差 =舍入誤差()10 、插 值 計 算 中避 免 外插 是 為 了 減 少 舍 入

21、 誤 差(X )六、計算題(5X 10')1、用列主元高斯消元法解線性方程組。x1 x2 x345x1 4x2 3x3121232x1 x2x3 11解答：( 1， 5， 2)最大元5 在第二行，交換第一與第二行：5x1 4x2 3x312123x1 x2 x342x1 x2x3 11L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化為：5x1 4x2 3x3121230.2x20.4x31.6232.6x2 0.2x315.823( -0.2,2.6)最大元在第三行，交換第二與第三行：5x1 4x2 3x3121232.6x2 0.2x315.8230.2x20.4x31.623

22、L32=-0.2/2.6=-0.076923方程化為:5X| 4x9 3x.12I232.6x2 0.2x315.80.38462x30.38466回代得：X13.00005x25.99999x31.0001032-用牛頓一一埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項式P4(x),并寫出其截斷誤差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))ox012f(xi)1-13f '(xi)15解答：做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1.xi+2Fxi,xi+1,xi+2,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-1-21-11323430

23、2351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對下面的線性方程組變化為等價的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯賽德爾迭代法均收斂，寫出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯一一賽德爾迭代法的迭代 公式，并簡單說明收斂的理由2xiX2X41XiX35X46X24x3X48Xi3x2X33解答:交換第二和第四個方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu):2x1X2X4Xi3x2x2 4x3x4 8Xix3 5x4 6雅克比迭代公式:2x1x2x4 1Xi 3X2X3X2 4X3 X48x1

24、x3 5x464、設(shè)y=sinx,當(dāng)取xo=1.74, xi=1.76, X2=1.78建立拉格朗日插值公式計算 x=1.75的函數(shù)值時，函數(shù)值yo, y1, y2應(yīng)取幾位小數(shù)？5、已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù)：Xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法計算，x約為多少時f(x)=1。(計算時小數(shù)點后保留5位)。一a 一6、應(yīng)用牛頓法于方程 f (x)1 0,導(dǎo)出求7a的迭代公式，并用此公x式求2115的值。(計算時小數(shù)點后保留4位)華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷(A卷)2007學(xué)年第二學(xué)期考試科目： 數(shù)值分析考試時間：120分鐘學(xué)號 姓

25、名 年級專業(yè)題號一二三四總分123456得分評閱人一、判斷題(每小題 2分，共10分)10001.用計算機(jī)求1000時，應(yīng)按照n從小到大的順序相加。()n 1 n2.為了減少誤差，應(yīng)將表達(dá)式 J2001 J1999改寫為rJ進(jìn)行計算。.2001,19993 .用數(shù)值微分公式中求導(dǎo)數(shù)值時，步長越小計算就越精確。()4 .采用龍格-庫塔法求解常微分方程的初值問題時，公式階數(shù)越高，數(shù)值解越精確。()5 .用迭代法解線性方程組時，迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數(shù)矩陣及其演變方式有關(guān)，與常數(shù)項無關(guān)。()二、填空題(每空 2分，共36分)1.已知數(shù)a的有效數(shù)為0.01 ,則它的絕對誤差限為 ,相對誤差限

26、為 .1 0102 .設(shè) A 021 ,x 5 ,則11Al , |x|2 , |Ax|.1301533 .已知 f(x) 2x4x 5x,則£1,1,0 f 3, 2, 1,1,2,3 一 ，1',3. 3 ,4 .為使求積公式f (x)dx A f ()A2 f(0) A3 f ()的代數(shù)精度盡重局，應(yīng)使133A1 , A2 , A ,此時公式具有 次的代數(shù)精度。5. n階方陣A的譜半徑(A)與它的任意一種范數(shù)| A的關(guān)系是.6. 用迭代法解線性方程組 AXB時，使迭代公式X(k 1) MX(k) N (k 0,1,2,K)產(chǎn)生的向量序列 X(k)收斂的充分必要條件是 7

27、. 使用消元法解線性方程組AX B 時， 系數(shù)矩陣A 可以分解為下三角矩陣L 和上三角矩陣42U 的 乘 積 ， 即 A LU . 若 采 用 高 斯 消 元 法 解 AX B ， 其 中 A， 則21L ， U ；若使用克勞特消元法解AX B ，則u11 ；若使用平方根方法解AX B ，則 l11 與 u11 的大小關(guān)系為（選填：， =，不一定）。y xy8. 以步長為1 的二階泰勒級數(shù)法求解初值問題的數(shù)值解，其迭代公式為y（0） 12 .給定線性方程組x10.4x2 0.4x310.4x1 x2 0.8x320.4x1 0.8x2 x33(1) 分別寫出用Jacobi和Gauss-Seid

28、el迭代法求解上述方程組的迭代公式;(2) 試分析以上兩種迭代方法的斂散性。3 .已知函數(shù)y f(x)在如下節(jié)點處的函數(shù)值x-1012y1430(1)建立以上數(shù)據(jù)的差分表；(2) 根據(jù)后三個節(jié)點建立二階牛頓后插公式P2(x),并計算y(1.1)的近似值;(3) 采用事后估計法計算(2)中近似值的截斷誤差(結(jié)果保留四位小數(shù))。4.已知如下數(shù)據(jù)表，試用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多項式。x-1o12y12505 .已知函數(shù)y f(x)在以下節(jié)點處的函數(shù)值，利用差商表求 f (3)和f (3)的近似值。x134y2186 .寫出前進(jìn)歐拉公式、后退歐拉公式，并由這兩個公式構(gòu)造一個預(yù)估-校正公式求解

29、下列常 微分方程的數(shù)值解。22y x yy(0) 0(0 x 1, h 0.2)四、 ( 8 分) 已知 n+1 個數(shù)據(jù)點(xi, yi)(i0,1,2,L ,n) ，請用多種方法建立這些數(shù)據(jù)點之間的函數(shù)關(guān)系，并說明各種函數(shù)的適用條件。華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（A卷）2007學(xué)年第二學(xué)期考試科目：數(shù)值分析、判斷題:（每小題2分，共10分）1. X2.3.4. X5. X二、填空題:（每空2分,共36分）1.0.005或 0.510 20.52.5, ,26,153.0,24.1,0,1,35.(A)6.(M)7.8.yn 1yn三、解答題（第1.(1)證明:a) fb) f (x)1

30、,1(xnyn)二(1 xn214小題每題8分,一3_f (x) x 3x3 0, f (2) 13x2 3 00,(xyn)或 yn1 1.5xn2.5yn 0.5, n 0,1,2,L第5、6小題每題7分，共46分）由于(1,2),c) f (x) 6x 0 (x (1,2),即 f (x)在(1,2)上不變號,d）對于初值x02 ,滿足f （2） f0,2.1所以用牛頓迭代法求解此方程是收斂的。（2）解：牛頓迭代法的迭代公式為xn 1xn叱)f (xn)xn 3xn 13x； 3取初值xo 2進(jìn)行迭代，得x11.8889, x2 1.8795.2. 解：（1） Jacobi迭代公式為(k

31、 11)0.4x2k)0.4x3k)1(k 21)0.4x1(k)0.8x3k)2(k 31)0.4x(k)0.8x2k)3xxxGauss-Seidel迭代公式為(kXi1)0.4x2k)0.4x3k)1(kX21)0.4x(k 1)0.8x3k)(kX31)0.4x(k 1)0.8x2k 1)矩陣的特征方程為230.4(2 ) Jacobi 迭代0.40.40.80.40.83一一一一_一 .30.960.2560,即(0.8)(0.4、0.505)(0.4、0.505)0,從而得 1-1.0928, 2 0.8000,30.2928 ,（或由單調(diào)性易判斷必有一個大于特征根，）因此迭代矩陣

32、的譜半徑等于必大于1,所以Jacobi迭代法發(fā)散。0.40.4Gauss-Seidel迭代矩陣的特征方程為0.40.80,展開得0.40.8(2 0.8320.128) 0,解得 i 0, 20.628, 3 0.204,迭代矩陣的譜半徑小于1 ,所以Gauss-Seidel迭代法收斂。 2分3. 解：(1)建立差分表xyy2y3y113041421332202分(2)建立牛頓后插公式為32P2(x)0 i!(x2),(x2)(x1)3(x 2)(x2)(x1)x2 4 則所求近似值為2.79P2(1.1)41) (x 1)x2x(x 1)42.68(3)根據(jù)前三個節(jié)點建立牛頓后插公式為P2(

33、x)3 ：(x1!3 (x 1)2x2x則P2(1)(1.1)根據(jù)事后誤差估計法故截斷誤差x 2m)R2(x)- P2(0.9) P2(1)(0.9)x 10.9R2(1.1)(2.79 2.68)0.04713分2分4.解：設(shè)所求二次最小平方逼近多項式為P2(x)aoaix2a?x .根據(jù)已知數(shù)據(jù)，得建立法方程組為a。,A,Y18a28 , M18aoa1a2解得a。3.5,a11.5,a21.5.從而得所求一次最小平方逼近多項式為P(x) 3.51.5x 1.5x2.5.解：設(shè)2 (x)為已知節(jié)點數(shù)據(jù)的插值二次多項式。構(gòu)造如下差商表:xy一階差商二階差商1282541723P2(3)P23

34、, 3P24,3,33P23, 3P23,3,33P2(3)因為二次多項式的二階差商為常數(shù)，又P2(x)是f (x)的插值函數(shù)，故有5P24,3,3P23,3,3一2 2分P23,375P24,3,321 1-，3 42因此得9P23,32 1分由于f (k)(x) k!Pnx，x，2,4.x, k 1從而得9f (3) P23,3-,2f (3) 2!P23,3,3 5. 2分6.解：前進(jìn)歐拉公式：yn 1yn h f(xn,yn)yn0.2x20.2y； 1分22后退歐拉公式：yn 1 ynh f(xn1,yn1)Vn0。10.2 yi1 分預(yù)估時采用歐拉公式 22yn 1 Vn 0.2x

35、n 0.2丫 1分校正時采用后退歐拉公式2*2yn 1yn 0.2xn 1 0.2 yn 1 1分由初值 xo 0, yo 0,h 0.2知，節(jié)點分別為 xi 0.2i, (i 1,2,3,4,5)當(dāng) K 0.2,1分*y122y0 0.2x0 0.2y00,2*y1y0 0.2x1 0.2 y10.008，x20.4,*22y2 y1 0.2x1 0.2 y10.0160,2*2y2y1 0.2x2 0.2 y20.0401 . 1分x30.6,*22y3 y2 0.2 x2 0.2 y20.0724,2*2y3 y2 0.2 x3 0.2 y30.1131 . 1分x40.8,*22y4y

36、3 0.2x3 0.2 y30.1877,2*2y4y3 0.2x4 0.2 y40.2481 . 1分x5 1.0,22y5* y4 0.2x42 0.2y420.3884,2*2y5y4 0.2 x5 0.2 y50.4783 .四、 ( 8 分)答： 1 、可以建立插值函數(shù)：( 1 ) Newton 基本差商公式Pn(x) f (x0) (x x0)fx1,x0 (x x0)(x x1)fx2,x1,x0L (x x0)(x x1)L (x xn 1)fxn,L ,x1,x0(2) Lagrange插值多項式Ln(x) a°f(Xo) af(xi) L qf(Xi) L anf

37、 (Xn)(x Xo)L (x Xi 1)(X Xi 1)L (x Xn) ai , (i 0,1,L ,n).(XiXo)L (Xi Xi i)(Xi Xi 1)L (Xi Xn) 1分這兩類插值函數(shù)的適用條件是：n不太大；而且要求函數(shù)嚴(yán)格通過已知數(shù)據(jù)點。 2分2、可以建立擬合函數(shù)：Pm(x)a。-2a1xa2xLm amX其中系數(shù)a0,a1，a2,L ,an滿足法方程組M MA MY,1X02X0KmX0a0f(x0)VoM1X12X1KmX1Aa1、.f(X1)y1,A,YLKKKKKLL1xn2xnKmxnamf(Xn)Vn 1分?jǐn)M合函數(shù)的適用條件是：n比較大，而且并不要求函數(shù)嚴(yán)格通過

38、已知數(shù)據(jù)點，或者已知數(shù) 據(jù)點本身的誤差較大。數(shù)值分析模擬試卷1一、填空(共30分，每空3分)111設(shè)A，則A的譜半徑 (a), A的條件數(shù)cond1(A)=.5 12 設(shè) f(x) 3x2 5, Xkkh,k 0,1,2,則 f Xn，Xn 1, Xn 2 = fxn,xn 1,xn 21 xn 3=.32x x ,0 x 13 設(shè)S(x) q 9，是以0, 1, 2為節(jié)點的三次樣條函數(shù)，則2x3 bx2 cx 1,1 x 2b=,c=.4設(shè)qk(x)k °是區(qū)間0, 1上權(quán)函數(shù)為 (x)x的最高項系數(shù)為1的正交多項式族，其1中 q0(x) 1 ,貝U 0xqk(x)dx , q2(

39、x) .1 0 a5 設(shè) A 0 1 a , 當(dāng) a 時，必有分解式a a 1,其中L為下三角陣，當(dāng)其對角線元素Lii(i 1,2,3)滿足條件 時，這種分解是唯一的.一，八、5319一、(14 分)設(shè) f (x) x2,x0 -, x1 1,x2 , 441 9. (1)試求f(x)在-,-上的三次Hermite插值多項式H(x)使?jié)M足H(xJf區(qū)),i0,1,2,4 4H 3)f(x)(2)寫出余項R(x) f(x) H(x)的表達(dá)式.2二、(14分)設(shè)有斛方程12 3x 2cosx 0的迭代公式為xn 1 4 cosxn,3(1)證明x0R均有l(wèi)imxnx? (x?為方程的根)；x，列出

40、各次迭代值；3）此迭代的收斂階是多少？證明你的結(jié)論.4、 （16 分 ） 試確定常數(shù)A， B， C 和，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度.試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？5、 15 分) 設(shè)有常微分方程的初值問題y f (x, y) ，試用 Taylor 展開原理構(gòu)造形如y(x0 ) y0yn 1 (yn yn 1) h( 0 fn1 fn 1)的方法，使其具有二階精度，并推導(dǎo)其局部截斷誤差主項 .121八、(15分)已知方程組Ax= b,其中Ab ,0.3 12(1) 試討論用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解此方程組的收斂性2 ) 若

41、有 迭 代 公 式x(k 1) x(k)a(Ax(k) b) ， 試 確 定 一 個取值范圍，在這個范圍內(nèi)任取一個值均能使該迭代公式收斂其中七 、（8 分 ） 方 程 組A 是 對 稱 的 且 非 奇 異 .設(shè) A 有 誤 差則原方程組變化為為解的誤差向量，試證明其中1和2分別為A的按模最大和最小的特征值.數(shù)值分析模擬試卷2填空題(每空2分，共30分)1 .近似數(shù)x 0.231關(guān)于真值x 0.229有 位有效數(shù)字；2 .設(shè) f(x) 可微，求方程 x f(x)根的牛頓迭代格式是；3 .對 f(x) x3 x 1,差商 f0,1,2,3 ; f0,1,2,3,4 ；324.已知 x (2, 3)

42、, A，則 11Ax |,2 1Cond 1 (A) ； 一一. 3_. .、一5 .用二分法求方程f(x) x x 10在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為,進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為 ;3x1 5x216 .求解線性方程組 1的高斯一賽德爾迭代格式為一 x1 4x205 ;該迭代格式迭代矩陣的譜半徑(G) ;7 .為使兩點數(shù)值求積公式:f(x)dx0 f (Xo)if (Xi)具有最高的代數(shù)精確度，其求積節(jié)點應(yīng)為X0Xi38 .求積公式° f(x)dx3-f (1)f(2)是否是插值型的2,其代數(shù)精度為、(12分)設(shè)AALU ,其中L為下三角陣,U為單位上三角陣。已知21012

43、101200100，,，求 L , U。12(2)設(shè)A為6 6矩陣，將A進(jìn)行三角分解:A LU , L為單位下三角陣,U為上三角陣，試寫出L中的元素165和U中的元素U56的計算公式。三、(12分)設(shè)函數(shù)f (X)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試確定一個次數(shù)不超過3的多項式H (x),滿足H(0) f (0) 0 , H (1)f(1) 1, H(2)f(2) 1,H (1) f (1) 3并寫出插值余項。(12分)線性方程組x1 x2 b)2 x1 2x2 b2(1)請寫出解此方程組的賽德爾迭代法的迭代格式，并討論收斂性。(2)設(shè) 2,給定松弛因子1、一,請寫出解此方程組的 SOR方法的迭

44、代格式，并討論收2五、(7分)改寫方程2X斂性。x 4 0為x 1n(4 x)/1n2的形式，問能否用迭代法求所給方程在1,2內(nèi)的實根?六、(7分)證明解方程(x3 a)20求3/a的牛頓迭代法僅為線性收斂。 113七、(12 分)已知X0 , X1, X2.424(1)推導(dǎo)以這3個點作為求積節(jié)點在0,1上的插值型求積公式;(2)指明求積公式具有的代數(shù)精度；1 2(3)用所求公式計算x2dx。0八、(8 分)若 f(x) (x Xo)(X Xi) (x Xn),Xi 互異，求 fXo,Xi, ,Xp的值，這里p n 1.數(shù)值分析模擬試卷 3一、填空題(每空 3分，共30分)1 .設(shè) f(X)4

45、x8 3x4 2x 2 1二、(14分)已知方陣 A 111, 1 ,則差商 f 20,21, ,28 ；2 .在用松弛法 (SOR)解線性方程組Ax b時，若松弛因子滿足|1| 1 ,則一代法； _ . * . _ _ . * . _ 3 .設(shè)f(x ) 0, f (x ) 0,要使求x的Newton迭代法至少三階收斂，f(x)需要酒足 ; 、一324 .設(shè)f(x) (x 2)(x 3x 3x 1),用Newton迭代法求x12具有二階收斂的迭代格式為 ；求X21具有二階收斂的迭代格式為 ；725.已知 A,則(A),Cond (A)3 16 .若x 1,改變計算式lgx lg Jx2 1 =,使計算結(jié)果更為精確；7 .過節(jié)點Xi,xi 2 1(1)證明：A不能被分解成一個單位下三角陣L和一個上三角陣 U的乘積；(2)給出A的選主元的Doolittle分解，并求出排列陣；(3)用上述分解求解方程組Ax b,其中b (3.5,2,4)t。三、(12分)設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間0,3上具有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試確定一個次數(shù)不超過 3的多項式H (X),滿足H(0) f (0) 0 , H(1)f(1)1, H (1) f (1) 10, H (1) f (1) 40(i 0,1,2,3)的插值多項式為 ;2 2 ,8.利用拋物(Simps