南京市初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的單元檢測

1、南京市初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)的單元檢測一、選擇題1 .如圖，RtAAOB中，/AOB=90°, AO=3BO, OB在x軸上，將 RtAAOB繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)至小飲'08',其中點(diǎn)B'落在反比例函數(shù)y=- 2的圖象上，OA'交反比例函數(shù)y=E的圖象xx于點(diǎn)C,且OC=2CA；則k的值為（）A. 4B, -C. 8D. 72【答案】C【解析】【詳解】解：設(shè)將RtAAOB繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至 RtAA'OB'的旋轉(zhuǎn)角為 % OB=a,則OA=3a,由題意可得，點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（acos % - asin 8，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2asinq2a

2、cos a）, ，一 ,一一，2 , 一，點(diǎn)B'在反比仞函數(shù)y=- 2的圖象上，x . 一 asin 5=-,得 a2sin a cos a=2 acosak又.點(diǎn)C在反比仞函數(shù)y=的圖象上，xk,2acosa=,得 k=4a2sin a cos a =8.2asin a故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，解此題的關(guān)鍵在于先設(shè)旋轉(zhuǎn)角為“，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)設(shè)出點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)，再通過反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可.2 .如圖，在 AABC中，AC± BC, Z ABC= 30 °,點(diǎn)D是CB延長線上的一點(diǎn)，且 BD= BA, 則tan / D

3、AC的值為（）A. 2+ 73B. 2MC. 3+73D. 373【答案】A【解析】【分析】【詳解】設(shè) AC=x,在 RtAABC 中，/ ABC=30 ,即可得 AB=2x, BC=J3x,所以 BD=BA=2x,即可得 CD=J3x+2x= （，3+2） x,在 RtAACD 中，tan / DAC=CD （石 2）x 氏 2AC x'故選A.AD CD ,過點(diǎn)D作DE AB于點(diǎn)3 .如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于eO, AB為直徑,3 , DF 5 ,則AB的長為（）5E ,連接AC交DE于點(diǎn)F若sin【答案】D【解析】【分析】連接BD ,如圖，先利用圓周角定理證明 弦的定義計(jì)算出

4、 EF 3 ,則AE 4, 到 BE 16 ,所以 AB 20.【詳解】解：連接BD ,如圖，C. 16D. 20ADEDAC得到FD FA 5 ,再根據(jù)正EO8 ,接著證明 ADEs DBE ,利用相似比得Q AB為直徑,ADB ACB 90 ,Q AD CD,DAC DCA ,而 DCA ABD ,DAC ABD ,ABD BDE 90 ,而 ADE BDE 90 ,ABD ADE,ADE DAC ,FD FA 5 ,EF 3在 Rt AEF 中，Qsin CAB AF 5 'EF 3,AE F 4，DE 5 3 8,Q ADE DBE , AEDADEs DBE ,DE : BE

5、 AE : DE ,即 8： BE 4:8 ,BE 16 ,AB 4 16 20.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等,所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角, 弦是直徑.也考查了解直角三角形.都等于這條弧90的圓周角所對的4.如圖，要測量小河兩岸相對的兩點(diǎn)P, A的距離，可以在小河邊取點(diǎn)C,測得PC=100米，/ PCA=35,則小河寬PA等于（）PA的垂線PB上的一D. 100tan55 米A. 100sin35 米B. 100sin55 米 C. 100tan35 米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長

6、度.【詳解】. PA，PB, PC=100米，/PCA=35,，小河寬 PA=PCtan PCA=100tan35 米.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握解直角三角形的一般過程是：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）.根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答 案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案.5.如圖，菱形ABCD的兩個頂點(diǎn)B、(1kD在反比仞函數(shù)丫>的圖象上，對角線 AC與BD的交1) , / ABC=60°,則 k 的值是()C. - 3D. - 2【答案】C【解析】分

7、析：根據(jù)題意可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可以求得 k的值.詳解：.四邊形 ABCD是菱形，BA=BC, AC± BD, / ABC=60 ,.ABC是等邊三角形，二點(diǎn) A （1,1）, .OA=值, 0A BO=' -直線AC的解析式為y=x,直線BD的解析式為y=-x,.OB=<S,.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-（百，才），點(diǎn)B在反比仞函數(shù)y的圖象上, x解得，k=-3,故選C.點(diǎn)睛：本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題 意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答.6 .如圖，ABC是一張頂角是120的三角形紙片，AB AC, BC 6現(xiàn)將ABC折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)

8、A重合，折痕DE,則DE的長為（）A. 1B. 2【答案】A【解析】【分析】作AHLBC于H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出 的定義解答即可.【詳解】解：作AH± BC于H,C. ,2D. .3BH,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出BD,根據(jù)正切. AB=AC, AHXBC,1BH= BC=3,2. / BAC=120, AB=AC,. / B=30°, .AB=BHcos30由翻折變換的性質(zhì)可知，DB=DA= .3 ,DE=BD?tan30 =1,故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握翻折變換是一種對稱變 換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對

9、應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.A為60。角與直尺的交點(diǎn)，B為光盤與7.將直尺、有60。角的直角三角板和光盤如圖擺放,直尺的交點(diǎn)，AB=4,則光盤表示的圓的直徑是【答案】BC. 6D. 4.3【分析】設(shè)三角板與圓的切點(diǎn)為 C,連接OA、OB,根據(jù)切線長定理可得 AB=AC=33 / OAB=60 ,然后根據(jù)三角函數(shù)，即可得出答案.【詳解】設(shè)三角板與圓的切點(diǎn)為 C,連接OA、OB,由切線長定理知， AB=AC=3, AO平分/ BAC, ./ OAB=60°,在 RtAABO 中,OB=ABtan / OAB=4 73 ,光盤的直徑為8J3.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟

10、練應(yīng)用切線長定理和銳角三角函數(shù)8.如圖，在矩形ABCD中，AB 4, DE AC ,垂足為E,設(shè) ADE ，且3-cos -,則AC的長為（A. 316B. 一20C.一D.16【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等求出/ ADE=/ ACD,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得/BAC=/ACD,然后求出AC.【詳解】解：.DE± AC, / ADE+-Z CAD=90 , / ACD+-Z CAD=90 , ./ ACD=Z ADE=a, 矩形 ABCD的對邊 AB/CD,/ BAC=Z ACD,3AB3COS（X） -5AC5.ap_5 /20.AC 4 33故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查

11、了矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，同角的余角相等的性質(zhì)，熟記 各性質(zhì)并求出BC是解題的關(guān)鍵.9 .在半彳仝為1的e O中，弦AB、AC的長度分別是 J3 , J2 ,則BAC為（）度.A. 75【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出草圖,【詳解】利用垂徑定理可知:sin / AOD=2sin Z AOE=,2B. 15 或 30C. 75或 15因?yàn)镃點(diǎn)位置待定，所以分情況討論求解.AD=, AE . 22/ AOD=60 ;/ AOE=45 ;D. 15 或 45/ BAC=75 .當(dāng)兩弦共弧的時候就是 15°.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查垂徑定理，特殊三角函數(shù)的值，解題關(guān)

12、鍵在于畫出圖形10 .如圖，AB是。的直徑，C是。上的點(diǎn)，過點(diǎn) C作。的切線交AB的延長線于點(diǎn) )C 3C.2【答案】A【解析】【分析】CE是。切線，可證得OCX CE,又由圓周角定理，求得/ BOC的度數(shù),首先連接OC, 繼而求得/ E的度數(shù)，然后由特殊角的三角函數(shù)值，求得答案.【詳解】如圖，連接OC, . CE是OO的切線，OCE=90, .OA=OC, .Z OCA=Z A=30° , ./ COEN A+/ OCA=60 , ./ E=180° -90 -60 =30°,_ 1sinE=sin30 =一 .2故選A.11.某同學(xué)利用數(shù)學(xué)知識測量建筑物 DE

13、FG的高度.他從點(diǎn) A出發(fā)沿著坡度為i 1:2.4的 斜坡AB步行26米到達(dá)點(diǎn)B處，用測角儀測得建筑物頂端 D的仰角為37°,建筑物底端E 的俯角為30°,若AF為水平的地面，側(cè)角儀豎直放置，其高度 BC=1.6米，則此建筑物的高0.60 ，度DE約為(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：J3 1.73, sin37cos37 0.80,tan370.75)()A. 23.0米B. 23.6 米C. 26.7米D, 28.9米【答案】C【解析】【分析】如圖，設(shè)CB±AF于N,過點(diǎn)C作CMLDE于M,根據(jù)坡度及 AB的長可求出BN的長，進(jìn) 而可求出CN的長，即可得出 ME的長

14、，利用/ MBE的正切可求出 CM的長，利用/ DCM 的正切可求出DM的長，根據(jù)DE=DM+ME即可得答案.【詳解】如圖，設(shè) CB±AF于N,過點(diǎn)C作CMLDE于M,沿著坡度為i 1: 2.4的斜坡AB步行26米到達(dá)點(diǎn)B處，,BN 1一 )AN 2.4.AN=2.4BN,BN2+ (2.4BN) 2=262, 解得：BN=10 (負(fù)值舍去)， .CN=BN+BC=11.。.-.ME=11.6, / MCE=30 ,.CM= ME =11.6 3, tan30 / DCM=37 , .DM=CM tan37 =8.7 73 , 故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確構(gòu)造直

15、角三角形并熟練掌握三角函數(shù)的定義及特殊角 的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.12.如圖，在正方形 ABCD中，AB 3,點(diǎn)M在CD的邊上，且 DM 1, AEM與ADM關(guān)于AM所在直線對稱，將 ADM按順時針方向繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)90。得至U ABF ,連 接EF ,則cos EFC的值是（）ADA. 17 而B, "6 而C.二而D,65652517【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)E作HG/AD ,交AB于H,交CD于G,作EN BC于N,首先證明EH AE 1VAEH : VEMG ,則有記 俞 3 ,設(shè) MG x,則 EH 3x,DG AH 1 x ,在RtVAEH中利用勾股定理求出 x的值，進(jìn)

16、而可求EH , BN ,CG, EN的長度，進(jìn)而可求 FN,再利用勾股定理求出 EF的長度，最后利用cos EFCFNEF即可求解.【詳解】過點(diǎn)E作HG/AD ,交AB于H,交CD于G,作EN BC于N,則AHG MGE 90 ,四邊形ABCD是正方形,AD AB 3, ABC C D 90 ,.四邊形 AHGD,BHEN,ENCGTB是矩形.由折疊可得，AEM D 90 ,AE AD 3,DM EMAEH MEG EMG MEG 90 ,AEH EMG ,VAEH :VEMG ,EH AE 1MG EM 3 '設(shè) MG x,則 EH 3x, DG AH 1 x在 RtVAEH 中，Q

17、 AH 2 EH2 AE2 ,(1 x)2 (3x)2 32 ，4 解得x 或x1 (舍去)，512-66EHBNCGCDDGEN5 '5Q BFDM117FN BF BN 17 5 .在 RtA EFN 中，由勾股定理得，ef Ven2 fn2而，cos EFCFNEF17 一13 .65故選：A.【點(diǎn)睛】 本題主要考查正方形，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函 數(shù)，能夠作出輔助線是解題的關(guān)鍵.13.如圖，矩形 ABCD 中，AB> AD, AB=a, AN 平分/ DAB, DM± AN 于點(diǎn) M, CN± AN 于 點(diǎn)N.則DM+C

18、N的值為（用含a的代數(shù)式表示）（）A. a【答案】C【解析】【分析】B. - a5D.根據(jù) “ANF分/ DAB, DM LAN 于點(diǎn) M, CN±AN 于點(diǎn) IN'得/ MDC=/NCD=45 ,DM cos45 =DE可求出. 【詳解】. AN平分/CN ,所以DM+CN=CDcos45;再根據(jù)矩形CEDAB, DM LAN 于點(diǎn) M, CN± AN 于點(diǎn) N,/ ADM=Z MDC=Z NCD=45 ,DM CN -00 =CD，cos45 cos45在矩形 ABCD中，AB=CD=qDM+CN=acos45 = a2故選C.【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，解直角

19、三角形，解題關(guān)鍵在于得到ABCD, AB=CD=a, DM+CN 的值即DM CN cos45 =DE CE14.如圖，點(diǎn) M是正方形 ABCD邊CD上一點(diǎn)，連接 AM,作DE±AM于點(diǎn)E, BFLAM于點(diǎn)F,連接BE,若AF= 1,四邊形 ABED的面積為6,則/ EBF的余弦值是（）少B,避C, 213133【答案】B【解析】【分析】D.,、行13BF=x, DE=AF=1,利用四邊形 ABED的面首先證明AABFZ DEA得至ij BF=AE；設(shè)AE=x,貝U積等于GABE的面積與 祥DE的面積之和得到 1 ?x?x+?x X 1= 6解方程求出x得到AE=BF=32則EF=x

20、-1=2,然后利用勾股定理計(jì)算出BE,最后利用余弦的定義求解.【詳解】四邊形ABCD為正方形，.BA=AD, / BAD= 90°, . DEXAM 于點(diǎn) E, BF± AM 于點(diǎn) F, ./ AFB= 90°, / DEA= 90°, / ABF+Z BAF= 90°, / EAD+Z BAF= 90°, ./ ABF= / EAD, 在4ABF和ADEA中BFA DEAABF EADAB DA .ABF DEA (AAS), .BF=AE;設(shè) AE=x,貝U BF=x, DE=AF=1, 四邊形ABED的面積為6,1 1, c-x

21、 x - x 1 6 ,解得 x1 = 3, x2= - 4 (舍去)，2 2EF= x - 1=2,在"BEF中，BE J22 32 任，BF 33.13, " cos EBF-j.BE 、1313故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形具有四邊 形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).會運(yùn)用全等三角形的知識解決線段相等的問 題.也考查了解直角三角形.15.已知在Rt ABC中， C 90 ； AC 8, BC 15,那么下列等式正確的是（）8888A. sinA B. cosA=C. tan A =D. cot A=171517

22、15【答案】D根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行作答B(yǎng)C 15AC8由勾股定理知，AB=17； A.sin A 一，所以A錯誤；B.COSA 一，所以,AB 17AB 17錯誤；C.tan A -BC- -,所以，C 錯誤；D.cotA :AC- = ,所以選 D.AC 8BC 15本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是本題解題關(guān)鍵D. 18.3 9由三角函數(shù)求出菱形的高 DF,圖中陰影部分的 根據(jù)面積公式計(jì)算即可.16.如圖，在邊長為 8的菱形ABCD中，/ DAB=60 °,以點(diǎn)D為圓心，菱形的高 DF為半徑 ()【答案】C【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得出 AD=AB

23、=8, /ADC=120,面積=菱形ABCD的面積-扇形DEFG的面積,【詳解】解：二.四邊形 ABCD是菱形，/ DAB=60, .AD=AB=8, / ADC=180 - 60 =120 ；.DF是菱形的高，DFXAB,.DF=AD?sin60 =8 4T32，圖中陰影部分的面積 =菱形ABCD的面積-扇形DEFG的面積=8 4/3 120一（4 拘32/16 .360故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角函數(shù)、菱形和扇形面積的計(jì)算；由三角函數(shù)求出菱形的高是 解決問題的關(guān)鍵.17.在 RtABC中,C=90；AC=3, BC=4,那么 cosA 的值是（）4A.一5【答案】B【解析】

24、【分析】根據(jù)勾股定理，可得【詳解】解：在RtAABC中,3B.一53D.一4AB的長,根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊，可得答案.AC=3, BC=4,由勾股定理，得AB= 'AC2 BC2 =5AC 3cosA= 一AB 5故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊 比斜邊，正切為對邊比鄰邊.18.如圖，河堤橫斷面迎水坡 AB的坡比是1：逆,堤高BC=10m,則坡面AB的長度是C. 20mD. in-3解:. RtAABC中，BC=10m, tanA=l： 忑二 10a - AC= 3=101，3m .tan/i AB=%CN + R

25、CZ=m 102 = 20m故選C.【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用(坡度坡角問題)，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)正確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵.19.如圖，平的直角坐標(biāo)系中， A (8, 0), 點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD/ x軸交AB于點(diǎn)D,則點(diǎn)B (0, 6) , / BAO, / ABO的平分線相交于D的坐標(biāo)為().-.tanZ OAB=DHAHOB 3一 ,OA 4設(shè) DH=3x,AH= 4x,C. (8,2)D. ( - , 1)33【答案】A【解析】【分析】延長DC交y軸于F,過C作CG, OA于G, CH AB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到 FC= CG= CE,求得DH= CG= CF,設(shè)DH = 3x, AH=4x,根據(jù)勾股定理得到 AD=5x,根據(jù)平行