力學(xué)競(jìng)賽試題

1、海南大學(xué)土木建筑工程學(xué)院、海南省力學(xué)學(xué)會(huì)第二屆力學(xué)競(jìng)賽試題1、如圖1所示，質(zhì)量均為m的n(n 3)個(gè)均質(zhì)圓柱體依次擱置在傾角為 30的 斜面上，并用鉛垂設(shè)置的鉸支板擋住。若已知圓柱半徑為 R,板長(zhǎng)為I，各圓柱 與斜面和擋板之間的摩擦系數(shù)尸1/3,且不計(jì)各圓柱之間的摩擦，試求維持系統(tǒng) 平衡時(shí)的最大水平力P。【解】先設(shè)圓柱On，由三力平衡匯交定理知其與斜面間摩擦力為零，依次判斷， 直到圓柱。2與斜面間摩擦力均為零。再研究圓柱 O2,O3,.,On共n-1個(gè)柱體的整 體平衡，由、Fx =0有N2 =1 mg2N2為圓柱O,與02間的作用力。再研究Q圓柱，受力如圖，由irioi = 0有m設(shè) A0 二

2、 BO =a ,由 mo =0N, a mg R ,N a 2 N R當(dāng)n 3時(shí)，NjN,，可知A處先滑動(dòng)，且F N；。由 mB =0將N2代入，得(n +3、厲 1Nr 二m g所以(n + 3 )(73 +1 ) Fr N,mg12由Fx，0,(打X 3n+曠七9 Ni 二Neos30Fi cos3M0s4 n-Omg12最后研究鉸支板的平衡，由二 mb = 0PI二 N 3 R所以PmaxV(5 + V3 n+ 3 )3 mg4I -2、如圖2所示，偏心輪質(zhì)量為m,偏心距OC = e。輪對(duì)質(zhì)心C的回轉(zhuǎn)半徑為p, 置于光滑水平面上。初始時(shí) OC呈水平，質(zhì)心C有一水平初速u,輪的角速度為 零

3、。求當(dāng)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最低位置時(shí)，水平面對(duì)輪的約束反力。【解】取質(zhì)心平動(dòng)參考系O1xy（圖7），它以常速度v運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心C的相對(duì)速度vr沿y軸。由動(dòng)能定理，有圖712 12 2 1 2JC m v vr mv =mgcos2 2 2其中Jc。當(dāng)質(zhì)心C運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，有vr =0，=0故有7p;此時(shí)運(yùn)用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，有所以C點(diǎn)的加速度向上，為所以有空P2丿N -mg 二 mac2geN = mg + me = mg 1 +% 、3、圖3所示對(duì)稱桁架，受載荷P作用，己知各桿材料相同，橫截面面積也相同, 問(wèn)有何辦法可使各桿同時(shí)達(dá)到材料的許用應(yīng)力才？圖3圖8【解】辦法1:利用裝配應(yīng)力改變內(nèi)力分配 在準(zhǔn)

4、確加工、裝配的情況下，桁架中各桿的 受力為2(1)(2)P C 0 SV3N312 c o因此N3 M，總是桿3先達(dá)到為使各桿的應(yīng)力同時(shí)達(dá)到t 1，可采用加裝配應(yīng)力的辦法，即預(yù)先將桿3做長(zhǎng)：，在強(qiáng)制裝配以后，桿3將具有 預(yù)應(yīng)力，而桿1、2將具有預(yù)拉應(yīng)力。由圖8可知，設(shè)外載增至P 1時(shí)，各桿的應(yīng)力同時(shí)到達(dá) J I，節(jié)點(diǎn)A到達(dá)A在小變形假設(shè)的前提下，疊加原理使用，與各桿伸長(zhǎng)量之間應(yīng)滿足下列協(xié)調(diào)方 程(4)(5)-l ：l2 = ：l3 cos各桿的軸力又滿足下列物理方程N(yùn)lk|.：l iu-（ i =1,2,3）EA E由方程（3）、（4）解得桿3長(zhǎng)度的過(guò)盈量，右J t 2占二1 a 二E該桁架的

5、許用載荷為P A1 2c 0S由式（5）可以看出，這個(gè)解答的適用范圍有一定的限制， 即若接近1時(shí)，就2變得相當(dāng)大，這時(shí)，小變形假設(shè)就不適用了，因此所得：值也就沒(méi)意義了。辦法2:對(duì)于短暫加載情況，除了上述辦法外，還可以采用加熱應(yīng)力的辦法 來(lái)達(dá)到相同的目的，若材料的線膨脹系數(shù)為 ，又假設(shè)材料的許用應(yīng)力不隨 溫度的改變而改變，則桿3所需升高的溫度為二， 2 .1tan71、-| e、4、物塊C的重量為G,置于懸臂梁AB上(圖4),梁長(zhǎng)L,彎曲剛度EI，物塊 與梁間的摩擦系數(shù)為 禺求：(1) 物塊開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)的位置；(2) 物塊滑離B端時(shí)的速度?！窘狻?1) 程為設(shè)物塊開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)的位置為s，如圖圖49所

6、示，則AD段的撓度曲線方由此可知Gx2% 二 yD Gs2 2EI由靜力平衡條件，可求得摩擦力為(1)rP -彳A .i r丄建xJ、1F = 4G c o sD而物塊開(kāi)始滑動(dòng)的條件為Gsi nD由以上二式易得t a nD將式(1)代入上式，即可得到物塊開(kāi)始滑動(dòng)時(shí)的位置為/ . , 22EI GL3B :(2)物塊由D處滑至B處，在此階段的始、末兩處的撓度分別為f Gs D 3EI， 3EI設(shè)物塊滑離B端時(shí)的速度為v，W為摩擦力F在此滑動(dòng)過(guò)程中所作的功, 由能量守恒定律可得I2g這里假定物塊很小，其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能可忽略不計(jì)。 由于33 GL3 - Gs33EI 丿-W(2)1ds 二 1 y 2 %

7、x1c o|S| = dXds = （1 + y 2 尸故有1dW =卩GcoS。 41 + y2 Ydx = PG d x積分上式，得W -G L - s將式（3）代入式（2）,最后得到1r- gT 2v =2g（L S：|3EI （L2 +Ls + s2 卜卩”5、下列結(jié)構(gòu)均為等直桿，各相應(yīng)載荷為任意分布。證明圖5中（a）桿的軸力圖、（b）圓軸的扭矩圖、（c）梁的剪力圖、（d）梁的彎矩圖，其圖形面積代數(shù)和均 為零（c）梁剪力圖在受分布和集中力偶矩時(shí)例外）?！咀C明】設(shè)軸力為N x，扭矩為T x，彎矩為M x，剪力為Q x，E為彈性模量，G為切變性模量，I和Ip分別為軸慣性矩和極慣性矩，A為桿

8、的截面面積（a）圖，受任意分布和集中的軸向力作用。桿的總伸長(zhǎng)為d = 0。由胡克定律,正應(yīng)變；x二山，故軸力圖面積的代數(shù)和為EAll（ N = NxdxEA ；xdx = EA 1=000（b）圖,受任意分布和集中的扭力偶作用。圓軸扭轉(zhuǎn)角，的邊界條件為： Oi： il，根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)變形基本公式 =Tx，故扭矩圖面積的代數(shù)和dx Gl P為ii d護(hù)l0(T )= 0T(xpx=GI P 0一 x =GIP護(hù) 0=0dx(c) 圖，受任意分布和集中的橫向載荷作用。對(duì)于簡(jiǎn)支梁，M 0二M l =0，且在無(wú)分布力偶矩的情況下，剪力與彎矩的微分關(guān)系為如二Q，故有dx| dMi0(Q )= dx = M 0 = 010 dx受到分布和集中力偶矩作用時(shí)，此值一般不為零，因?yàn)殛P(guān)系式如=Q中，未dx考慮分布力偶矩的作用。在這種情況下，應(yīng)修正為l11 Q m x dx 亠二 M ii其中m x與Mi為分布力偶矩和集中力偶矩，逆時(shí)針為正。(d) 圖，受任意分布和集中的橫向載荷及力偶矩作用。兩端固支梁，轉(zhuǎn)角邊2界條件為二0*1 = 0，有微分關(guān)系為4dx dx El11