勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題

1、勾股定理及其逆定理復(fù)習(xí)典型例題1. 勾股定理： 直角三角形兩直角邊a、 b 的平方和等于斜邊c 的平方。 （即：a2+b2=c2 ）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。2. 勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理 聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（如： C,但不要認(rèn)為最大邊一定是C）（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=a2+b2,則 ABC是以/ C

2、為直角的三角形。（若c2>a2+b2則AABC是以/ C為鈍角的三角形，若 c2<a2+b2則 ABC是以 /C為銳角三角形）、例題分析例 1、 若直角三角形兩直角邊的比是3： 4，斜邊長(zhǎng)是20 ，求此直角三角形的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x,根據(jù)題意得：（ 3x） 2+（ 4x ） 2=202化簡(jiǎn)得x 2=16 ；.直角三角形的面積=X3xX4x=6x2=96注：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求例 2 、 等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2 ，求它的面積。解：如圖，等邊 ABC彳AD，BC于D則：BD=BC （等腰三角形底邊上的高與

3、底邊上的中線互相重合）AB=AC=BC=2（等邊三角形各邊都相等）BD=1在直角三角形 ABD中 aBADJ+BDJ,即：AD2=AB2- BD2=4- 1=3AD=&abc=BC- AD=注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a,則其面積為 a例3、直角三角形周長(zhǎng)為12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積。解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是x ， y ，根據(jù)題意得：由(1)得：x+y=7，( x+y ) 2=49 ， x2+2xy+y2=49 (3)(3) (2) ，得： xy=12直角三角形的面積是xy=x 12=6( cm2)例4、在銳角 ABC中，已知其兩邊 a=1, b

4、=3,求第三邊的變化范圍。分析：顯然第三邊 b-a<c<b+a,但這只是能保證三條邊能組成一個(gè)三角形，卻不能保證它一定是一個(gè)銳角三角形，為此，先求ABC為直角三角形時(shí)第三邊的值。解：設(shè)第三邊為 c,并設(shè) ABC是直角三角形當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，c2=b2+a2,c=當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊一定是b, b2=a2+c2,c=2 (即)ABC為銳角三角形所以點(diǎn)A應(yīng)當(dāng)繞著點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)，使/ ABC成為銳角(如圖)，但當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)A位置時(shí)/ ACB成為直角。故點(diǎn) A應(yīng)當(dāng)在Ai和A間移動(dòng)，此時(shí) 2<AC<注：此題易忽視或中一種情況，因?yàn)榧僭O(shè)中并沒有明確第三邊是否直角邊，所以有兩種情況要

5、考慮。例 5、 以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是( )A、 8， 15， 17 B、 4， 5 ， 6 C、 5， 8， 10 D、 8， 39 ， 40此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2 的變形：b2=c2-a2= (ca) (c+a)來(lái)判斷。例如：對(duì)于選擇支D, : 82* ( 40+39) x( 40 39), 以8, 39, 40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。答案： A例 6、四邊形 ABCD中，/ B=90° , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形 ABCD的面 積。解 ：連結(jié) AC / B=90°

6、; , AB=3, BC=4AC2=AB2+BC2=25 (勾股定理)AC=5. . AC2+CD2=169 , AD2=169AC2+CD2=AD2 ./ACD=90 （勾股定理逆定理）S 四邊形 abcdfSaabc+Saacd=AB. BC+AC CD=36本題是一個(gè)典型的勾股定理及其逆定理的應(yīng)用題。例7、若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1, n+2, n+3,求n。分析：首先要確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng)n+3 ，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3,由勾股定理可得：（ n+1） 2+ （ n+2） 2=（ n+3 ） 2化簡(jiǎn)得：n2=41. n=±2,但當(dāng)

7、n=2 時(shí)，n+1=1<0,n=2三、練習(xí)題1、等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為 4 和 2，則底邊上的高是 ，面積是 。2、一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)偶數(shù)，則它的各邊長(zhǎng)為 。3、一個(gè)直角三角形一條直角邊為16cm,它所對(duì)的角為 60。，則斜邊上的高為 <4、四個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是 3, 4, 54, 7, 87,24,253,4,5其中是直角三角形的是（ ）A、 B、 C、 D、5、如果線段a、 b、 c 能組成直角三角形，則它們的比可以是（ ）A、1： 2：4 B、！ ： 3：5 C、3： 4：7 D、5： 12：136、已知：如圖，四邊形ABCD中，AB=20, BC=15, CD=7

8、, AD=24, / B=90° ,求證：/ A+/ C=180。7、已知直角三角形中，兩邊的長(zhǎng)為 3 、 4，求第三邊長(zhǎng)。8、 ABC中，/ C=90° , a=5, cb=1,求 b, c 的長(zhǎng)9、如圖： ABC中，AD是角平分線， AD=BD AB=2AG求證： ACB是直角三角形。三、練習(xí)題解答1、，2、 6, 8, 103、8 cm4、D5 D6、本題類似于例 6,需連結(jié) AC證出 ACD也是直角三角形，從而/ 1 + 2 2=90° , / 3+2 4=90° ,/ DAB+/ DCB=1807、解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為 x,當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)：x2=32+42=25,即x=5當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊長(zhǎng)為4: x2=42- 32,即x=8、此題類似于例3解：根據(jù)題意得：9、證明：作 DE，AB于EAD=BD,DEL AB2AE=AB