平面桁架的有限元法

1、平面桁架的有限元法一、建立有限元模型 平面桁架是現(xiàn)成的有限元模型， 只有節(jié)點(diǎn)力二、單元分析 位移假設(shè)，幾何方程，物理方程， 單元?jiǎng)偠染仃嚾?、總剛度矩陣、總載荷列陣、引入支撐 每個(gè)節(jié)點(diǎn)建立平衡方程 集成技術(shù)（疊加法、對(duì)號(hào)入座）四、求解、結(jié)果分析，后處理一、建立有限元模型平面桁架是現(xiàn)成的有限元模型， 只有節(jié)點(diǎn)力桁架原型=有限元模型yxP二、單元分析 平面二力桿單元注意：一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)目（ 2）； 一個(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度數(shù)目（2）； 有整體坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系之分xoyxyuiiujjijbvv二、單元分析（先在局部坐標(biāo)系中進(jìn)行） 問(wèn)題：當(dāng)節(jié)點(diǎn)位移一定，相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力為多大？節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的比例常數(shù)為

2、剛度系數(shù)目標(biāo)：建立單元?jiǎng)偠染仃?。方法：結(jié)構(gòu)力學(xué)的位移法加虛功原理， 皆用節(jié)點(diǎn)位移表示。xoyxyuiiujjijbvv1、位移假設(shè)： 設(shè)各點(diǎn)的位移，即位移場(chǎng)為xaavxaau4321421,aaa其中為待定系數(shù)，由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移確定。將位移寫成矩陣形式：4321100001aaaaxxvuaHfsxoyxyuiiujjijbvvvu在節(jié)點(diǎn)上滿足：baavbaauavauijii432131寫成矩陣形式：aAbexaavxaau4321bxxji , 0 xoyxyuiiujjijbvvvu432110000101000001aaaabbvuvujjii解線性代數(shù)方程組，得aAbe1ebAa

3、aHfs代入得141444212ebsAHf144212efNf432110000101000001aaaabbvuvujjii4321100001aaaaxxvu1)(bsAHxNefNf節(jié)點(diǎn)位移與單元內(nèi)位移的關(guān)系其中為形函數(shù)。用Machematica推導(dǎo)形函數(shù)：e在編程中只關(guān)心節(jié)點(diǎn)位移的系數(shù)矩陣xoyxyuiiujjijbvvvuxxHs1000012、應(yīng)變（從位移求應(yīng)變） 只有軸向應(yīng)變3、應(yīng)力（從應(yīng)變求應(yīng)力，本構(gòu)方程）0eLvuBxuyvxu0 xuEEivuivuxaavxaau43214、內(nèi)力（從應(yīng)力求內(nèi)力）xuAEANiuyvxuAEAENSiie000二力桿只有軸向力0yv用Ma

4、chematica推導(dǎo)應(yīng)力矩陣：(EA的兩個(gè)字母連寫作參數(shù)名)eD用內(nèi)力表示的物理方程yvxuEAEAN000EAEADe000eLBxuyvxu0NSeeLeeBDSefNf4、單元?jiǎng)偠染仃嚕ㄓ锰摴υ恚?給節(jié)點(diǎn)一組虛位移，單元內(nèi)即產(chǎn)生相應(yīng)的虛應(yīng)變，實(shí)際節(jié)點(diǎn)力（軸向力、橫向力、彎矩）在虛位移上所做的功等于實(shí)際應(yīng)力（橫向剪應(yīng)力可忽略不計(jì)）在虛應(yīng)變上產(chǎn)生的應(yīng)變能。用Machematica推導(dǎo)單剛矩陣Ke：beLeTLTeleTeTexBDBlSR0ddeeLBeLeeBDS00jieNNR144414eeeKRbLeTLexBDBK042222444d用Machematica推導(dǎo)，所得結(jié)果以矩陣

5、形式顯示三、總剛度矩陣、總載荷列陣、引入支撐1、坐標(biāo)變換 前面的推導(dǎo)是在局部坐標(biāo)系中進(jìn)行的，而總剛度矩陣、總載荷列陣、引入支撐等要在整體坐標(biāo)中進(jìn)行，因此，存在坐標(biāo)變換問(wèn)題。xoyxycossinsincosiiiiiiwuwwuuiiiiwuwucossinsincosiit三、總剛度矩陣、總載荷列陣、引入支撐1、坐標(biāo)變換iitjijitt00eeTttT00TTTTtt11eeRTReekReekReekRTeeTkkTTTkTkxoyxyuiiujjijbvvvucossinsincost三、總剛度矩陣、總載荷列陣、引入支撐2、在總結(jié)構(gòu)和整體坐標(biāo)中討論問(wèn)題，所需要的信息：（1）節(jié)點(diǎn)號(hào)；（2

6、）單元長(zhǎng)度；（2）單元傾角(單元起點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段與整體橫軸之夾角）；（4）節(jié)點(diǎn)力所在的節(jié)點(diǎn)號(hào)和作用方向；（5）支撐所在的節(jié)點(diǎn)號(hào)和作用方向。3、總節(jié)點(diǎn)位移向量的排列規(guī)律 按節(jié)點(diǎn)號(hào)和節(jié)點(diǎn)自由度的順序（從小到大）排列。三、總剛度矩陣、總載荷列陣、引入支撐建立節(jié)點(diǎn)號(hào)數(shù)組（用Mathematica)：jm=Table0, 0, i, ne; “jm數(shù)組名，ne 總單元數(shù);”jm=，i節(jié)點(diǎn)號(hào)， j節(jié)點(diǎn)號(hào)，;建立單元長(zhǎng)度數(shù)組gc=Table0, i, ne; “gc數(shù)組名，ne 總單元數(shù);”gc=L1, L2, Lne;建立單元方向角數(shù)組gj=Table0, i, ne; “gj數(shù)組名，ne 總單元數(shù);

7、”gj=af1, af2, afne;3、總節(jié)點(diǎn)位移向量的排列規(guī)律jm=1, 2，2, 3，i節(jié)點(diǎn)號(hào)， j節(jié)點(diǎn)號(hào)，;jjiievuvu單元節(jié)點(diǎn)位移排列規(guī)律：rr =2(k-1)+kkk =1, 2 (單元節(jié)點(diǎn));kk =1, 2, (節(jié)點(diǎn)自由度)k=1k=2kk=1kk=2總節(jié)點(diǎn)位移向量d的排列規(guī)律(從小到大排序）：ss=2(jme, k-1)+kk;e=單元號(hào)rreessTd)(對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行節(jié)點(diǎn)循環(huán)和自由度循環(huán)，從單元地址到結(jié)構(gòu)地址搬家是單元到結(jié)構(gòu)的映射(map)3、總節(jié)點(diǎn)位移向量的排列規(guī)律單元節(jié)點(diǎn)位移號(hào)：rr =2(k-1)+kk；k =1, 2 (單元節(jié)點(diǎn))； kk =1, 2(節(jié)點(diǎn)自

8、由度)總節(jié)點(diǎn)位移號(hào)：ss=2(jme, k-1)+kk；例如，已解得結(jié)構(gòu)的總節(jié)點(diǎn)位移向量d求各單元的應(yīng)力。 用Mathematica：deg=Table0, i, 4; “整體坐標(biāo)系中的單元節(jié)點(diǎn)位移向量” ；del=Table0, i, 4; “局部坐標(biāo)系中的單元節(jié)點(diǎn)位移向量” ；del=se=Table0, 0, i, ne; “單元內(nèi)力數(shù)組 ne行” ;Fore=1, e=ne, e+, Fork=1, k=2, k+, Forkk=1, kk=2, kk+, rr =2(k-1)+kk； ss=2(jme, k-1)+kk；degrr=dss; del=TransposeTgje.deg

9、; resultant=De.BL.del; see, 1=e; see, 2=resultantj,1 ;eLeeBDSe,Ne4、總節(jié)點(diǎn)載荷向量的排列規(guī)律按節(jié)點(diǎn)號(hào)和節(jié)點(diǎn)自由度的順序（從小到大）排列。設(shè)總節(jié)點(diǎn)力向量為Rz單元節(jié)點(diǎn)位移號(hào)：rr =2(k-1)+kk；k =1, 2(單元節(jié)點(diǎn))； kk =1, 2 (節(jié)點(diǎn)自由度)；總節(jié)點(diǎn)位移號(hào)：ss=2(jme, k-1)+kk；rreessssRTRzRz)(4、總節(jié)點(diǎn)載荷向量的排列規(guī)律單元節(jié)點(diǎn)力號(hào)：rr =2(k-1)+kk；k =1, 2(單元節(jié)點(diǎn))；kk =1, 2 (節(jié)點(diǎn)自由度)；總節(jié)點(diǎn)力號(hào)：ss=2(jme, k-1)+kk；用Mat

10、hematica編程： nj =ne+1總節(jié)點(diǎn)數(shù)Pk=Table0, i, 4; “單元節(jié)點(diǎn)力向量” ；Rz=Table0, i, 2nj; “總節(jié)點(diǎn)力向量2nj行” ;Fore=1, e=ne, e+, DoPki=., i, 4; “生成單元節(jié)點(diǎn)力” ； Fork=1, k=2, k+, Forkk=1, kk=2, kk+, rr =2(k-1)+kk； ss=2(jme, k-1)+kk； Rzss=Rzss+Pkrr; “疊加法” ； ;5、總剛度矩陣的排列規(guī)律（1）總剛度矩陣中的行和列均按節(jié)點(diǎn)號(hào)和節(jié)點(diǎn)自由度的順序（從小到大）排列；（2）在總剛度矩陣中，與同一節(jié)點(diǎn)相連的單元的剛度要疊

11、加。對(duì)一個(gè)單元而言：yjxjyixijjiiRRRRvuvukkkkkkkkkkkkkkkk44434241343332312423222114131211 i jijij5、總剛度矩陣的排列規(guī)律單剛行號(hào)：r =2(i-1)+ii；i =1, 2(單元節(jié)點(diǎn))； ii =1, 2(節(jié)點(diǎn)自由度)；單剛列號(hào)：s =2(j-1)+jj；j=1, 2(單元節(jié)點(diǎn))； jj=1, 2(節(jié)點(diǎn)自由度)；總剛行號(hào)：rr=2(jme, i-1)+ii；總剛列號(hào)：ss=2(jme, j-1)+jj； jm=Table0, 0, i, ne; “jm數(shù)組名，ne總單元數(shù);” jm=.，i節(jié)點(diǎn)號(hào)，j節(jié)點(diǎn)號(hào)，;（2）在總剛

12、度矩陣中，與同一節(jié)點(diǎn)相連的單元的剛度要疊加。用Mathematica編程：Kz=Table0, i, 2nj, j,2nj; “開(kāi)總剛度矩陣, nj 總節(jié)點(diǎn)數(shù)” ；Fore=1, e=ne, e+, “生成單剛,變坐標(biāo)系” ； Fori=1, i=2, i+, Forii=1, ii=2, ii+, r =2(i-1)+ii; rr=2(jme, i+1-1)+ii； Forj=1, j=2, j+, Forjj=1, jj=2, jj+, s =2(j-1)+jj; ss=2(jme, j+1-1)+jj； “疊加法” ； ; Transpose TkeTek單剛行號(hào)：r =2(i-1)+i

13、i；i =1, 2(單元節(jié)點(diǎn))； ii =1, 2 (節(jié)點(diǎn)自由度)；單剛列號(hào)：s =2(j-1)+jj；j=1, 2(單元節(jié)點(diǎn))； jj=1, 2 (節(jié)點(diǎn)自由度)；總剛行號(hào)：rr=2(jme, i-1)+ii；總剛列號(hào)：ss=32(jme, j-1)+jj；;,srekssrrKzssrrKz6、引入支撐(1) 位移為零的約束前處理時(shí)輸入信息：支撐數(shù)目nz、在整體坐標(biāo)系中的自由度號(hào)zc=, 2(jme, k-1)+kk, ; “k=1, 2; kk=1, 2;”如圖 nz=6; zc=3, 4, 5, 6, 7, 8;yxPFori=1, i=nz, i+, z=zci; Rzz=0; For

14、j=1, j=2nj, j+, Kzz, j=0; Fork=1, k=2nj, k+, Kzk, z=0； Kzz,z=1 6、引入支撐(1) 位移為零的約束在Mathematica上實(shí)現(xiàn)如圖: nz=6; zc=3, 4, 5, 6, 7, 8;(2) 給定位移的約束如圖，在節(jié)點(diǎn)1給一向右的水平位移u1。 已知位移數(shù)目nf=1; 總自由度號(hào)和位移值 zf=1, u1;Fori=1, i=nf, i+, z=zfi, 1; zz= zfi, 2; Rzz= zz Kzz,z1015; Kzz,z= Kzz,z1015 yxP算例1：求各桿的軸力，EA不相同，1桿長(zhǎng)L。yxP計(jì)算結(jié)果：各桿內(nèi)力（解析解）算例2： 計(jì)算結(jié)果：各節(jié)點(diǎn)位移：xyP求：P作用點(diǎn)的位移各桿應(yīng)力各桿內(nèi)力：節(jié)點(diǎn)號(hào)，u/mm，