等差數(shù)列與等比數(shù)列知識點及題型歸納總結(jié)

1、等差數(shù)列與等比數(shù)列知識點及題型歸納總結(jié)知識點精講一、基本概念1 .數(shù)列(1)定義：按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的角度來看，數(shù)列是特殊的函數(shù).在y f(x)中，當(dāng)自變量x N時，所對應(yīng)的函數(shù)值f (1), f (2), f(3),L就構(gòu)成一數(shù)列，通常記為an,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.2 .等差數(shù)列(1)定義：一般地，如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它前一項的差等于同一常數(shù)，則該數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做公差，常用字母d表示，即an an d(n N ).(2)等差數(shù)列的通項公式.若等差數(shù)列an的首項是a公差是d ,則其通項公式為 ana1

2、(n 1)d nd (a d),是關(guān)于n的:次型函數(shù).或an am (n m)d,公差d an am (直線的斜率)(m n,m,n N ). n m等差中項.若x, A, y成等差數(shù)列，那么A叫做x與y的等差中項，即a x或2A x y ,.在一個等差數(shù)列中，從 2第2項起(有窮等差數(shù)列的末項除外),每一項都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上，等差數(shù)列中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.(4)等差數(shù)列的前 n 項和 Sn(aanln na1 n(n 1)d dn2 2ald n (類似于 S An2 Bn),2222d 一是關(guān)于n的不達翟.1理教(不次項系教大d艮道教項為.0)：

3、 Sn的圖像在過原點的直線 (d0)上或在過原點的拋物線(d 0)上.3.等比數(shù)列(1)定義.：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一個非零常數(shù)，則該數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做公比，常用字母q表示，即包 q(q 0,n N ).an(2)等比數(shù)列的通項公式.等比數(shù)列的通項anaqn 1 c qn(c 亙)(a1，q0),是不含常數(shù)項的指數(shù)型函數(shù).qam an(4)等比中項如果x,G, y成等比數(shù)列，那么G叫做x與y的等比中項，即G2 xy或GJxy(兩個同號實數(shù)的等比中項有兩個).(5)等比數(shù)列的前n項和na(q 1)Snai(1 qn)ai anq z 八(q 1)

4、1 q 1 q注等比數(shù)列的前 n項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前n項和時，首先要判斷公比q是否為1,再由q 的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時,要分q 1與q 1兩種情況討論求解.已知a1,q(q1),n (項數(shù))，則利用Sna1(1q )求解；已知a1,an,q(q1),則利用Sna1anq求1 q1 q解.Sna1(1 q ) qnkqn k(k 0,q 1), Sn為關(guān)于qn的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互1 q 1 q 1 q為相反數(shù).例如等比數(shù)列an,前n項和為Sn 22n 1 t ,則t .解：等比數(shù)列前n項和Sn22n 1 t 2 4n t,則 t 2.二、基本

5、性質(zhì)1 .等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差中項的推廣當(dāng)m n p q(m,n, p, q N )時，則有am an ap aq ,特別地，當(dāng)m n 2 P時，則有am an2ap .(2)等差數(shù)列線性組合.設(shè)an是等差數(shù)列，則 an b( ,b R)也是等差數(shù)列.設(shè)an3 n是等差數(shù)列，則 1an2必( 1, 2 R)也是等差數(shù)列(3)有限數(shù)列.對于項數(shù)為2n的等差數(shù)列，有：(I ) S2n n(an an 1) .S偶an 1(n ) Sw nan,S禺nan，S禺 S奇 nd 一.S奇an對于項數(shù)為2n 1的等差數(shù)列，有；30 1 (2n 1)an.(1 ) Sj nan , S偶(n 1)an

6、, Sy(4)等差數(shù)列的單調(diào)性及前n項和Sn的最值.公差d 0an為遞增等差數(shù)列，&有最小值；公差d 0an為遞減等差數(shù)列，Sn有最大值；公差d 0an為常數(shù)列.特別地若 濟 0,則Sn有最大值(所有正項或非負(fù)項之和); d 0若 a 0,則Sn有最小值(所有負(fù)項或非正項之和). d 0(5)其他衍生等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列an,公差為d ,前n項和為Sn,則: 等間距抽取ap,ap t ,ap 2t,L api)t,L為等差數(shù)列，公差為td .為等差數(shù)列，公差為d.2等長度截取Sm,S2m Sm,S3m Szm,L為等差數(shù)列，公差為m2d .算術(shù)平均值S1 SL S3 L 1 , 2

7、 , 3 ,2 .等差數(shù)列的幾個重要結(jié)論(1)等差數(shù)列an中，若an m,amn(m n, m,n N ),則 am n 0 .(2)等差數(shù)列、中，若Sn m,Sm等差數(shù)列an中，若Sn Sm(mn(m n, m,n N ),則 Sm n(m n).n,m,n N ),則 Sm n 0.(4)若an與b n為等差數(shù)列，且前n項和為Sn與Tn,則am bmS2T2m13 .等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比中項的推廣.若 m n p q 時，則 amanapaq,特別地，當(dāng) m n 2 P時，amana2.(2)設(shè)an為等比數(shù)列，則an(為非零常數(shù))，% , am仍為等比數(shù)列.設(shè)an與bn為等比數(shù)列，則a

8、n bn也為等比數(shù)列(3)等比數(shù)列an的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項a1與公比q決定).0a1或101時，an為遞增數(shù)歹I;q°i或a10時，an為遞減數(shù)列.1(4)其他衍生等比數(shù)列 若已知等比數(shù)列an,公比為q ,前n項和為Sn,則: 等間距抽取a p, ap t,ap 2t,L ap (n i)t,L 為等比數(shù)列，公比為 q)等長度截取Sm,S2m Sm,S3m Szm,L為等比數(shù)列，公比為qm (當(dāng)q 1時，m不為偶數(shù)).4 .等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 若an為正項等比數(shù)列，則log can(c0,c 1)為等差數(shù)列.(2)若an為等差數(shù)列，則can(c0,c 1)為等比數(shù)列

9、 若an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an)是非零常數(shù)列.題型歸納及思路提示題型1等差、等比數(shù)列的通項及基本量的求解思路提示利用等差(比)數(shù)列的通項公式或前 n項和公式，列出關(guān)于a1,d(q)基本量的方程或不等式從而求出所求的量.一、求等差數(shù)列的公差及公差的取值范圍例6.1記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S2 4,S420,則該數(shù)列的公差d ().A.7B.6C.3D.2解析 S2 a1a22a1d 4S4 4a1 6d 20由式可解得d 3,故選C.評注求解基本量用的是方程思想.變式1 (2012福建理2)等差數(shù)列an中，a a5 10,a47則數(shù)列%的公差為().A.1B.2C.3D.4變式2

10、已知等差數(shù)列首項為31,從第16項起小于1,則此數(shù)列公差d的取值范圍是().A. (,2) B. -, 2 C. ( 2,) D. 15, 277、求等比數(shù)列的公比例6.2在等比數(shù)列an中，a20i3 8a2010,則公比q的值為().A.2B.3C.4D.8解析 因為22013 8a2010，所以q3生空 8,則q 2,故選A. a2010變式1等比數(shù)列%的前n項和為Sn,且4aI,2a2,a3成等差數(shù)列，若a1 1,則S4 ().A.7B.8C.15D.16變式2 (2012浙江理13)設(shè)公比為q(q 0)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S2 3a2 2,S4 3a4 2,則q .變式3

11、等比數(shù)列2的前n項和為Sn,若&,2S2,3S3成等差數(shù)列，則an的公比為 .三、求數(shù)列的通項 an例6.3 (1)(2012廣東理11)已知遞增等差數(shù)列an滿足a1 1,a3 a； 4 ,則an .(2)(2012遼寧理14)已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且a；a10,2(an街2)5a01,則數(shù)歹Uan的通項公式an .解析(1)利用等差數(shù)列的通項公式求解.設(shè)等差數(shù)列公差為 d,則由a3a； 4得，1 2d (1 d)2 4,所以d2 4,得d 2 ,又該數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，所以d 2.故ana1 (n 1)d 2n 1(n N).(2)由數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)公比為q ,由2(a

12、n an 2) 5為1 ,得2 anq2) 5%q ,即2122(1 q ) 5q,解得q 或2.又a§&。0,且數(shù)列an為遞增數(shù)列，則q 2.2因此 q5 a5 32,所以 %2n(n N ).變式1 Sn為等差數(shù)列an的前n項和，S2S6,a4 1,則小 .變式2已知兩個等比數(shù)列an,bn,滿足a11,bia11。 a22,b3a34,求數(shù)列an的通項公式.例6.4在等差數(shù)列an中，aa38 ,且a4為a?和a§的等比中項，求數(shù)列Jan的前n項和為Sn.解析 設(shè)該數(shù)列的公差為d ,前n項和為Sn.由已知，得2al 2d 8,(a 3d)2gd)(a1 8d),所

13、以a1 d 4,d(d 3a1) 0 ,解得a1 4,d 0或a1 1,d 3,即數(shù)列an的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.所以數(shù)列的前n項和為Sn23n n4n 或 S n 2變式1已知數(shù)列an的前n項和Sn9n,則其通項an;若它的第k項滿足5 ak8,則變式2已知數(shù)列an的前n項和Sn1（a為非零實數(shù)，那么an（）.A. 一定是等差數(shù)列B.定是等比數(shù)列C.或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列D.既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列 題型2 等差、等比數(shù)列的求和 思路提示.主要是從n為奇數(shù)、偶數(shù)，項求解等差或等比數(shù)列的前n項和Sn,要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其

14、項數(shù) n的值；對于奇偶項通項不統(tǒng)一和含絕對值的數(shù)列的求和問題要注意分類討論an的正、負(fù)進行分類.、公式法（準(zhǔn)確記憶公式，合理選取公式）例6.5在等比數(shù)列an（ nN ）中，若闞1,a411 一，一,則該數(shù)列的前10項和為（）.8A.212"B.2129D.212解析由a43aiq1 /日8,得q1, 一,所以So 2(2)10尸21 ,二，故選B.29變式1an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列Sn為前n項和,已知a2a41,S3 7,則 Sn變式24710設(shè) f(n) 2 22223n 10(n N),則 f(n)().2 nA (8n 1)7B.2(8n1 1)7C.2(8n 3 1) 7D

15、.-(8n4 1)7二、關(guān)于等比數(shù)列求和公式中q的討論例6.6設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S3,S9,S6成等差數(shù)列，求數(shù)列的公比q.解析若q1,則 S3 3a1,S6 6a1, S9 9a1,因為 a10,所以S3 S6 2s9,與S3,S9,S6成等差數(shù)列矛盾，故q由題意可得S3S62s9,即有a1(1 q3)a1(1q6)2ai(1q9)q3 1 0,即(2q3 1)(q3 1) 0.整理得 q3(2q6 q3 1) 0,又 q 0,故 2q63q1因為q1,所以q3,所2變式1設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列2變式2 求和Sn 1 3x 5x三、關(guān)于奇偶項求和問題的討論例6.7已知數(shù)列an的

16、通項公:,其前n項和為Sn,且S3 3a3,則其公比q7x3 L (2n 1)xn 1(n 2,n N ,x R)., 一 n 12.an( 1) n，求其前n項和為Sn.解析當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn 1 22 32 42 L (n 1)2 n2(1 22)(3242) L(n1)2n23 7L(2n1)-(3 2n 1)2nn(n1).22(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，則n 1為偶數(shù)，師以 g g 。 (n 1)(n 2)2n(n 1)Sn Sn 1 an 1 (n 1)-一.22皿1(n為正偶數(shù))綜上，Sn2.nnn(n為正奇數(shù))評注：本題中，將n為奇數(shù)的情形轉(zhuǎn)化為 n為偶數(shù)的情形，可以避免 不必要的計算

17、，此技巧值得同學(xué)們借鑒和應(yīng)用。變式1已知數(shù)列an中，通項an2n 1(n為正奇數(shù))3n (n為正偶數(shù)),求其前n項和Sn.四、對于含絕對值的數(shù)列求和例6.8已知數(shù)列an的前n項和Sn 10n n2,數(shù)列bn的每一項都有bnan ,求數(shù)列bn的前n項和Tn解析：由 Sn 10n n2,當(dāng) n 2時，Sn 1 10(n 1) (n 1)2,an Sn Sn1 2n 11當(dāng) n 1 時，a1 S1 9滿足 an 2n 11,故 an2n 11 (n N )由bnan ,當(dāng) n 5時，bn an2n 11此時 Tnaianaian Sn 10n n2當(dāng) n 6時，bnan 2n 11此時Tna1a5a

18、6ana1a5a6 an2(a1an) 2S5 n 10n 50故數(shù)列bn的前A項和Tn一 2 , 一 一*、10n n (n 5,n N )2*n 10n 50(n 6,n N )評注：由正項開始的遞減等差數(shù)列an的絕對值求和的計算題解題步驟如下：(1)首先找出零值或者符號由正變負(fù)的項an0(2)在n進行討i當(dāng) n n0 時，Tn Sn ,當(dāng) n n0 時，Tn2S% Sn變式1在等差數(shù)列an中，a10 23,a2522,其前n項和為Sn(1)求使Sn 0的最小正整數(shù)n(2)求Tna1a2an的表達式變式2 (2012湖北理18)已知等差數(shù)列 an前三項的和為3,前三項的積為8.(1)求等差

19、數(shù)列an的通項公式(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列 an的前n項和題型3等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用思路提示利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，主要是利用：等差中項和等比中項等差數(shù)列中SmSm Sm，S3m S2.,成等差數(shù)列；等比數(shù)列中0,S2mSmSm S2m ,(當(dāng)q1時m不為偶數(shù))成等比數(shù)列等差數(shù)列S2nl (2n 1)an等差數(shù)列的單調(diào)性利用以上性質(zhì)，對巧解數(shù)列的選擇題和填空題大有裨益。一、利用性質(zhì)：當(dāng)m n p q(m, n,p,q N )時，在等差數(shù)列 an中，有am an ap aq ；在等比數(shù)列 0中，有bmbn bpbq求解。例6.9已知等差數(shù)列 an的前n項和為Sn,若a4

20、18A、 18B、 36 C、 54 D、 72解析:由 a4 18 a5 得 a4 a5 18, S8(a a8) 8(a4 a5) 8變式1設(shè)數(shù)列an變式2在等差數(shù)列A、58B、88變式3在等差數(shù)列A、 13B、26變式4在等差數(shù)列A、66B、99二、利用等差數(shù)列中72故選Dbn都是等差數(shù)列，若 a1 B 7an中，已知a4C、143 D、an 中，2(a1C、52D、a5b5an 中，a1C、 144Sm,S2m等比數(shù)列中S ,S S ,Sm 2mm 3ma4b8176a4156a716,則該數(shù)列的前11項和§1等于（a7） 3（a9 即）24,則該數(shù)列的前39, a313項和

21、§3等于（D、297Sm，S3mS2m，S2m,(當(dāng) q例6.10等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若S2A、 12 B、18C、24 D、42解析：由s2,s4 s2,s6 s4成等差數(shù)列且S22,a6 a9 27 ,則該數(shù)列的前9項和S9等于（成等差數(shù)列;1時m不為偶數(shù)成等比數(shù)列求解。2$S4S2評注：本題除了使用本法求解之外，還有幾種求解方法，如（解；（3）使用Sn2anbn (n N）求解變式1等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S4S83,則A、310B、C、D、變式2等比數(shù)列an的前n項和為Sn,S6S3A、2B、C、D、310,則&等于（）8 知 S6 S4 14 ,可得

22、 S6 =14+ S4=24故選1）基本量法；（2）使用 Sn為等差數(shù)列求n3,則3（）S6三、用有限等差數(shù)列的性質(zhì)求解例6.11已知某等差數(shù)列共有 10項，其奇數(shù)項之和為15,偶數(shù)項之和為 30,則其公差為（）A、5 B、4C、3 D、2解析：依題意有S奇aia3a5a7a915 ,S偶a2 a4a6a8a1030 ,可知S偶S奇5d15,得d 3,故選C變式1已知等差數(shù)列an的前n項和為377,項數(shù)n為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為7:6,求中項變式2已知數(shù)列an與bn都是等差數(shù)列，且前n項和為SSn與Tn,且nT n7n 45 ,則使得an為整數(shù)bn的正整數(shù)n的個數(shù)是（）A、2 B

23、、3C、4 D、5四、利用等差、等比數(shù)列的單調(diào)性求解例6.12已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，且對,都有an的取值范圍是A、 （ 2，）B、 0,C、2,D、3,解析：由遞增數(shù)列的定義,anan(_ _ *n N ),得 anan2n 10,即2n1,恒成立，則評注：（1）【錯解】因為ann = (n )22由題意知 an是遞增數(shù)列，所以 an1,上是單調(diào)遞增函數(shù)。因此可得 一12即所求的取值范圍是2.以上解答由an是遞增數(shù)列斷定ann2n在1,上是單調(diào)遞增函數(shù)，這是錯誤的，因為數(shù)列通項公式中的n是正整數(shù)，而不是取1,上的任意實數(shù)。如圖6-1所示的數(shù)列an顯然是遞增數(shù)列，但不滿足上,（2）在處理數(shù)列的

24、單調(diào)性問題時應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即若數(shù)列an是遞增數(shù)列an 1 an恒成立”。(3)數(shù)列an f(n)的單調(diào)性與y f(x) , x 1,的單調(diào)性不完全一致。一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來處理。但若數(shù)列對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來求解數(shù)列的單調(diào)性問題。即離散函數(shù)有單調(diào)性/連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性離散函數(shù)有單調(diào)性”。變式1已知函數(shù)f(x) (3 a)x 3，(X 7) ,若數(shù)列an滿足an f(n) (n N*),且an是遞增數(shù) a ,(x 7)列，則實數(shù)a的取值范圍是()99A、,3 B、(-,3)C、(2,3) D、(1,3)44

25、例6.13在等差數(shù)列 an中，已知ai 20,前n項和為且S10 S15,求當(dāng)n為何值時，Sn取最大值，并求此最大值。分析：由a120及S10§5,可求出d ,進而求出通項,由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解。解析解法一：因為科20,S10S15,所以10 2020所以an20 (n 1)(3)15 1425-n3史，故a130 ,3當(dāng)n 12時,14 時，an0;所以當(dāng)n12或n 13時,Sn取最大值，最大值為 S12 S13 =130解法二:依題意，Sn2an bn (a 0),如圖 6-2 所不。(Sn12 13圖6-2由

26、S10S15得n 12或n13時Sn取最大值，a1ba b, 一2a25256,b1256Sn6n2125 cn , S126S13=130解法三:由 S10S15 知 a11a12a3 a4a50 ,故 5a"0 ,得 為0,a112或n 13時Sn取最大值，最大值為 S12Si3=130.評注：求等差數(shù)列前n項和Sn的最值的常用方法如下:(1)(2)(3)利用等差數(shù)列前n項和Snan2 bn (a 0)為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。變式數(shù)列an是等差數(shù)列，若a111,且其前n項和Sn有最小值,那么當(dāng)Sn取最小值時，n等于(A、 11B、17C、19 D、20變式2設(shè)等比數(shù)

27、列an的首項為a1._ I _.公比為q,則自0且0 q 1”是對于任意n N都有an 1 anA、充分不必要條件C、充分必要條件B、D、必要不充分條件既不充分也不必要條件變式3已知an80n 、79， .* (n N )，則在數(shù)列 an的前50項中最小項和最大項分別是(A、”且50b、a9,a50C、a8, a9D、a9 , a8利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項。利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可以求得和的最值。題型4判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列思路提示判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見的3中方法如下：(1)定義法：對于n2的任意正整數(shù)，都有anan1(或-an-)為同一常數(shù)(用于證明)

28、。an 1(2)通項公式法：若ana1 (n1)d nd (a1d),則數(shù)列an為等差數(shù)列(用于判斷)；若anaqn 1a1?qn c?qn,則數(shù)列an為等比數(shù)列(用于判斷)；q(3)中項公式法：右2an an 1 an 1 ( n 2, n N ),則數(shù)列an為等差數(shù)列(用于證明)；若a2 an1an1 (n 2,n N )，則數(shù)列an為等比數(shù)列(用于證明)；一、定義法例6.14設(shè)an為等差數(shù)列，證明：數(shù)列can (c Qc 1)是等比數(shù)列。(2)設(shè)an為正項等比數(shù)列，證明：數(shù)列l(wèi)ogcan (c 0,c 1)是等差數(shù)列。分析 本題蔣函數(shù)與數(shù)列巧妙地結(jié)合，完美地進行等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化，

29、可利用定義法證明。 a解析(1 ) an為等差數(shù)列，則an an 1 d ( n 2,n N , d為常數(shù))，令bn c n ,則bn 1bncan1cancan1 ancd0是常數(shù)，所以數(shù)列can是等比數(shù)列。(2) an 為正項等比數(shù)列，貝1虹 q (q 0)令 bn logcan,則 bn1bnlogcan1logcanlogcqan是常數(shù)，所以數(shù)列l(wèi)ogcan是等差數(shù)列。評注 將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用指數(shù)運算來轉(zhuǎn)化；將正項等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，利用對數(shù)運算來轉(zhuǎn)化。變式1在數(shù)列an中，Sn 1 4an 2且a1 1(1)設(shè)bn an 1 2an,求證：數(shù)列 bn是等比數(shù)列、一 a設(shè)

30、cn 修，求證：數(shù)列 cn是等差數(shù)列22變式2數(shù)列an的前n項和為Sn,已知& 1, an 1 J2Sn (n 2,3,4,),證明：數(shù)列Sn-是nn等比數(shù)列。變式3已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列an滿足下列條件：a1 a,an f(an 1)(n 2,3,4,),(a a2), f(an)f(an 1) k(an an 1)(n 2,3,4,),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)。令bn an 1 an ( n N),證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列。二、中項公式法例 6.15 已知數(shù)列 an 滿足a 1, a2 3, an 2 3an 1 2an (n N ).證明：數(shù)列an 1 an為等比數(shù)

31、列。(2)求數(shù)列an的通項公式。(3)若數(shù)列bn滿足4b11?4b21 ?4b31 ?4bn1 (an1)bn( n N* ),證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列。分析 第(1)問利用定義證明；由第(1)問可得an的通項公式；第(3)問的解答需要將 an的通項公式帶入并整理。三問環(huán)環(huán)相扣，每一問都是后一問解題的基礎(chǔ)。an 2 an 1an 1 a n解析(1)因為 an 2 3an 1 2an ,所以 an 2 an 1 2(an 1 an),即N ),又22 a12,故數(shù)列 an 1an是首項為2,公比為2的等比數(shù)歹U。n*由(1)得 an 1 an 2 ( n N )1_2_3_n 1一故 a2 a

32、i 2 , a3 a2 2 , ada3 2 , an an 1 2( n 2)2(1 2n 1)疊加得到an a1 22 ,所以an 21 (n 2)n 1時也成立，所以an 211 2*(n N )(3)由(2)可知4b11?4b21 ?4b3 1?4bn1 (an1)bn,即 4g b2bn n) 2叫，故 2(b) b2bn) 2n nbn設(shè)Sn為數(shù)列bn的前n項和，則2Sn 2n nbn，2Sn 1 2(n 1) (n 1)bn 1，兩式相減得 2bn 1 2 (n 1)bn 1 nbn 即 nbn 2 (n 1)bn 1則有(n1)bn1 2 (n2)bn(n 2)彳#2(n1)b

33、n(n 1)bn 1 (n1)bn 1,即2bn bn 1 bn1 (n 2)故數(shù)列bn是等差數(shù)列。評注 第(1)問給出數(shù)列 an的一個遞推公式，要證明形如an 1an的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，一般將遞推公式代入，利用定義法證明。利用等差中項法解決第(3)問并不能明顯看出來，這需要在對第(3)問的整理和變形中去發(fā)現(xiàn)解題方法。在解數(shù)學(xué)題時，既要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，也要勇于探索嘗試。變式1 (2012年陜西理17)設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為Sn,且as, a3, a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的公比； 、 . .* _ _ _ (2)證明：又任意k N , Sk 2,Sk,Sk 1成等差

34、數(shù)列.變式2 (2010安徽理20)設(shè)數(shù)列a1,a2, , an,中的每一項都不為 0 .111 n證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何 n N，都有+ aa2a2a3anan 1a 1題型5等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用思路提示(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列。(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列。一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化例6.16已知數(shù)列an ,bn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)Cnbn(n N*)an(1)數(shù)列Cn是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論

35、(2)設(shè)數(shù)列in anScn 一.lnbn的前n項和分別為Sn, Tn,若司2,-,求數(shù)列Tn 2n 1Cn的前n項和解析(1)數(shù)列Cn是等比數(shù)列。依題意，設(shè) an的公比為q1( q0), bn的公比為q2(q20),bn 1則cn1an 1Cnbnan生，故數(shù)列Cn是等比數(shù)列。 q1(2)由題意知數(shù)列l(wèi)nan，ln bnSn且Tnn2n 1得到2n_J .lTA ,因為T2n 14n 1 lnbnlnanin bn都是關(guān)于n的一次型函數(shù)，可令ln anr(2n 1),則ln bnr(4n 1) (r 0)當(dāng) n 1ln ar ln 2,即 ln an(2n2n 11)ln2 ,an21 ,同

36、理bn24n 1 ,故Cn4n ,進一步可得數(shù)列.一 一一 .4 ncn的刖n項和為一(4 31)變式1設(shè)數(shù)列an是正項等比數(shù)列，且a5a681 ,那么 log 3 a1log 3 a2log 3 a10的值是()A、30B、20C、10D、5變式2已知等比數(shù)列an滿足各項均為正數(shù),a5a2n522n (3 ),則當(dāng)n 1時，log2a1log2 a3log 2 a2n 1 等于(A、n(2n1)B、(n221) C、nD、(n 1)2變式3設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，前n項和為Sn,已知S37 ,且a13, 3a2, a3 4構(gòu)成等差數(shù)列。(1)求數(shù)列an的通項;令 bnln a3n 1

37、( nN ),求數(shù)列bn的前n項和Tn .二、等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯問題3例6.17已知首項為一的等比數(shù)列2*an不是遞減數(shù)列，其前n項和為Sn( n N),且S3 a?, S5 25 ,S4 a4成等差數(shù)列，求數(shù)列 an的通項公式。分析利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出公比q ,進而可得通項公式。解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q ,因為S3a3,S5a5,S424成21等差數(shù)列，所以2( S5a5)=S3a3+ S4a4,即4a5a?,于是q 一,又?jǐn)?shù)列an不是遞減4313 , 1、n 1,、n 1 3數(shù)列，0 一,所以q 故數(shù)列an的通項公式ana )( 1) 22222nSn變式1設(shè)數(shù)列a

38、n是首項為a ,公差為d (d 0)的等差數(shù)列，其前n項和為Sn記bn，n2*(n N),。由2由4成等比數(shù)列，證明：Snkn Sk (k,n N)例6.18在等差數(shù)列an中，公差d 0,a2是a1與a4的等比中項，已知數(shù)列a1，a3,ak1,ak2,akn,成等比數(shù)列，求數(shù)列kn的通項kn解析 依題意可得a2a1a4,所以(a1 d)2a1(a1 3d),由d 0可得ad ,則annd ,由已知得d,3d,kd,k2d, ,knd,是等比數(shù)列。因為d 0所以1,3*1*2， ,kn,成等比數(shù)列，首項為1,公比為3,由此k1 9 ,所以kn 9 3n1 3n 1 ( n N*),故數(shù)列kn的通

39、項為kn 3n 1變式1設(shè)2009個不全相等的正數(shù)a?, a2009依次圍成一個圓圈，且a?, as是公差為d的等差數(shù)列,而a1 , a2009 , a2008 , a1006是公比為q的等比數(shù)列，a2 5 , a2008 + a2009 =12 a1 ,入、一 一_*求通項 an( n 2009,n N )例6,19設(shè)a1，a2, ,an是各項均不為零的 n(n 4)項等差數(shù)列，且公差 d 0.若將此數(shù)列刪去某一項后得到的數(shù)列(按原來的順序排列)是等比數(shù)歹U。(1)當(dāng)n 4時，求 包的數(shù)值； 求n的所有可能值. d(2)求證：對于給定的正整數(shù) n (n 4),存在一個各項及公差均不為0的等差

40、數(shù)列b1,b2, ,bn,其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數(shù)列。解析(1)依題意，等差數(shù)列為 a1，a2,a3,a4,假設(shè)要刪去a1或a,，當(dāng)刪去a1時，a2, a3,a,既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故d 0,與題意不合；當(dāng)刪除a4時，a1,a2,a3既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故d 0,則由a1，a3, a4成等比數(shù)列，與題意不合；因此刪去的項只能是a2或a3若刪去a2,(ai 2d)2 ai(ai 3d) .因d 0,故由上式得a14d ,即 史=-4.此時數(shù)列為 4d, 3d, 2d, d,d滿足題設(shè).若刪去a3,則科e2田4成等比數(shù)列，得 d)2朝 3d).因d 0,故由上 式得

41、a d,即曳=i.此時數(shù)列為d,2d,3d,4d滿足題設(shè).d綜上可知a1的值為 4或1.d一個 基本事實”：一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列。當(dāng) n>6時，則從滿足題設(shè)的數(shù)列ai,a2, , an中刪去任意一項后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項，從而這三項既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故知，數(shù)列ai,a2, ,an的公差必為0,這與題設(shè)矛盾.所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項數(shù)n 5.又因題設(shè)n 4,故n 4或n 5.當(dāng)n 4時，由(1)中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列.當(dāng)n 5時，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列a1,a2,a3,a4,a5，則由 基本事實”知，刪去的項只能是a3,從而2一 一2ai,a2,a4,a5成等比數(shù)列，故(ai d)ai(ai 3d)且(ai 3d)(ai d)(ai 4d) .分別化簡上述兩個等式，得a d和a15d,故d 0 .矛盾.因此，不存在