2015年高考數學一輪復習導學案：162參數方程（人教A版）

1、16.2參數方程考情分析本節(jié)內容在高考中主要考察參數方程的基本概念、以及曲線的參數方程和普通方程之間的轉化。 基礎知識一、圓錐曲線的標準參數方程1、圓的參數方程：若圓心在點M（），半徑為r，則圓的參數方程為2、橢圓的一個參數方程為（為參數）3、雙曲線的一個參數方程為（為參數）4、拋物線的一個參數方程為（t為參數）二、直線的參數方程：1.經過點，傾斜角為的直線的參數方程為2.直線的參數方程（標準形式）中參數t的幾何意義是表示直線l上以定點MO為起點,任一點M(x,y)為終點的有向線段M0M的數量.當t>0時，的方向向上 ；當t<0時，的方向向下；當t=0時，點M與點重合設直線上的任意

2、兩點 對應的參數分別為，則（弦長公式）位于直線上的三點P，所對應的參數分別為t, ,若P是線段中點，則有t3、過定點，斜率為的直線參數方程為：說明：對于同一直線，選取的參數不同，會得到不同的參數方程。對于直線的普通方程y=2x如果令x=t，可得到參數方程,如果令,可得到參數方程題型一參數方程與普通方程的互化【例1】把下列參數方程化為普通方程：(1)(2)解(1)由已知由三角恒等式cos2 sin21, 可知(x3)2(y2)21，這就是它的普通方程(2)由已知t2x2，代入y5t中，得y5(2x2)，即xy50就是它的普通方程【變式1】參數方程(為參數)化成普通方程為_解析由得 22得：x2(

3、y1)21.答案x2(y1)21題型二直線與圓的參數方程的應用【例2】已知圓C：(為參數)和直線l：(其中t為參數，為直線l的傾斜角)(1)當時，求圓上的點到直線l距離的最小值；(2)當直線l與圓C有公共點時，求的取值范圍解(1)當時，直線l的直角坐標方程為xy30，圓C的圓心坐標為(1,0)，圓心到直線的距離d，圓的半徑為1，故圓上的點到直線l距離的最小值為1.(2)圓C的直角坐標方程為(x1)2y21，將直線l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得t22(cos sin )t30，這個關于t的一元二次方程有解，故4(cos sin )2120，則sin2，即sin或sin .又0，故只能si

4、n，即，即.【變式2】 已知直線l的參數方程為(參數tR)，圓C的參數方程為(參數0,2)，求直線l被圓C所截得的弦長解由消參數后得普通方程為2xy60，由消參數后得普通方程為(x2)2y24，顯然圓心坐標為(2,0)，半徑為2.由于圓心到直線2xy60的距離為d，所以所求弦長為2 .題型三圓錐曲線的參數方程的應用【例3】求經過點(1,1)，傾斜角為135°的直線截橢圓y21所得的弦長解由條件可知直線的參數方程是(t為參數)，代入橢圓方程可得21，即t23t10.設方程的兩實根分別為t1、t2，則由二次方程的根與系數的關系可得則直線截橢圓的弦長是|t1t2| .【變式3】過點P(3,

5、0)且傾斜角為30°的直線和曲線(t為參數)相交于A、B兩點，求線段AB的長解直線的參數方程為(s為參數)，又曲線(t為參數)可以化為x2y24，將直線的參數方程代入上式，得s26s100，設A、B對應的參數分別為s1，s2.s1s26，s1s210.|AB|s1s2|2.重難點突破【例4】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(為參數) M是C1上的動點，P點滿足2，P點的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|. 解析 (1)設P(x，y)，則由條件知M.由于

6、M點在C1上，所以即從而C2的參數方程為(為參數)(5分)(2)曲線C1的極坐標方程為4sin ，曲線C2的極坐標方程為8sin .射線與C1的交點A的極徑為14sin ，射線與C2的交點B的極徑為28sin .所以|AB|21|2.(10分)鞏固提高1已知O1和O2的極坐標方程分別是2cos和2asin(a是非零常數)(1)將兩圓的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)若兩圓的圓心距為，求a的值解：(1)由2cos，得22cos.所以O1的直角坐標方程為x2y22x，即(x1)2y21.由2asin，得22asin.所以O2的直角坐標方程為x2y22ay，即x2(ya)2a2.(2)O1與O2的

7、圓心距為，解得a±2.2已知直線l經過點P，傾斜角，圓C的極坐標方程為cos.(1)寫出直線l的參數方程，并把圓C的方程化為直角坐標方程；(2)設l與圓C相交于兩點A，B，求點P到A，B兩點的距離之積解：(1)直線l的參數方程為即(t為參數)由cos得cossin，所以2cossin，得22，(2)把代入22，得t2t0.|PA|·|PB|t1t2|.3以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，已知點A的直角坐標為(1，5)，點M的極坐標為，若直線l過點A，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑(1)求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程；(2)試判定直線l和圓C的位置關

8、系解：(1)由題意，直線l的普通方程是y5(x1)tan，此方程可化為，令a(a為參數)，得直線l的參數方程為(a為參數)如圖，設圓上任意一點為P(，)，則在POM中，由余弦定理，得PM2PO2OM22·PO·OMcosPOM，422422×4cos.化簡得8sin，即為圓C的極坐標方程(2)由(1)可進一步得出圓心M的直角坐標是(0,4)，直線l的普通方程是xy50，圓心M到直線l的距離d>4，所以直線l和圓C相離4已知直線l的參數方程為(t為參數)，若以直角坐標系xOy的O點為極點，Ox方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為2cos()(1)求直線l的傾斜角；(2)若直線l與曲線C交于A，B兩點，求|AB|.解：(1)直線參數方程可以化為根據直線參數方程的意義，這條直線是經過點(0，)，傾斜角為60°的直線(2)l的直角坐標方程為yx，2cos()的直角坐標方程為221，圓心(，)到直線l的距離d.|AB|.5已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合，且兩個坐標系的單位長度相同，已知直線l的參數方程為(t為參數)，曲線C的極坐標方程為4cos.(1)若直線l的斜率為1，求直線l與曲線C交點的極坐標；(2)若直線l與曲線C相交弦長為2，求直線l的參數方