復(fù)擺法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)-59 -實(shí)驗(yàn)4用復(fù)擺測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 學(xué)習(xí)掌握對(duì)長(zhǎng)度和時(shí)間的較精確的測(cè)量；2 掌握重力加速度的方法，并加深對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)理論的理解;3學(xué)習(xí)用作圖法處理、分析數(shù)據(jù)。二、實(shí)驗(yàn)儀器JD-2物理擺、光電計(jì)時(shí)器等三、實(shí)驗(yàn)原理1.單擺如圖4-1 （單擺球的質(zhì)量為 m當(dāng)球的半徑遠(yuǎn)小于擺長(zhǎng) 丨時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量矩定理，在角坐 標(biāo)系可得小球自由擺動(dòng)的微分方程為：式中t為時(shí)間，g為重力加速度,則（4-1 ）式可簡(jiǎn)化為:令（4-3 ）式的解為：(4-1)丨為擺長(zhǎng)。當(dāng)二1（ rad ）很小時(shí),sin 3 ： J(4-2)2 1dt2 l=g丨(4-3 )(4-4)圖4-1單擺原理(4-5 )式中

2、,二由初值條件所決定。周期T1 =2二(4-6 )山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)#4-2，設(shè)物理擺的質(zhì)心為C,質(zhì)Jo，OC距離為h，在重力作用下,2 物理擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱(chēng)為復(fù)擺或物理擺。如圖 量為M,懸點(diǎn)為O,繞O點(diǎn)在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)#山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)#由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得微分方程為J凹J 02dt2-Mgh sin)(4-7)MghJ0(4-8)仿單擺，在二很小時(shí),（4-7 ）式的解為:圖4-2(4-9)Mg物理擺（復(fù)擺）J。T _2 Mgh(4-10)山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)#山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)#(4-11)(4-12)（4-12）式就是物理擺的自由擺動(dòng)周期T和就是圍繞（4-1

3、2 ）式而展開(kāi)的。（4-13 ）式右端各參變量之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)因?yàn)閷?duì)任何Jc都有Jc * M，因此（4-13 ）式的T與M無(wú)關(guān)，僅與M的分布相關(guān)。2令J =Ma , a稱(chēng)為回轉(zhuǎn)半徑,則有(4-13) 一次法測(cè)重力加速度 g設(shè)擺體沿過(guò)質(zhì)心 C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc ,由平行軸定理可知:J。=Jc Mh2將（4-11 ）代入（4-10）可得:由（4-12 ）式可得出2 2(4-14 )4二(Jc Mh )Mh測(cè)出（4-14 ）右端各量即可得 g ;擺動(dòng)周期T,用數(shù)字計(jì)時(shí)器直接測(cè)出，M可用天平Jc可以計(jì)算出。稱(chēng)出，C點(diǎn)可用杠桿平衡原理等辦法求出，對(duì)于形狀等規(guī)則的擺, 二次法測(cè)g一次法測(cè)g雖然簡(jiǎn)明，但有很大

4、的局限性，特別是對(duì)于不規(guī)則物理擺，Jc就難以確定，為此采用如下“二次法”測(cè) g :當(dāng)M及其分布（C點(diǎn)）確定以后，改變 h值，作兩次測(cè)T的實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用（4-13 ）式于 是有山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)#山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)63Jc Mh12Mgh|T22 二 4 二 22Jc Mh2Mgh2即MghJ!2 -4 2Jc _4二2Mhj =0Mgh2T； -4：2Jc-4：2Mh；=0聯(lián)立解(4-15 )、( 4-16 )式，可得出(4-15)(4-16)hj h222 2h|T1人2丁2(4-17 )這樣就消去了 Jc，所以（4-17 ）測(cè)g就有著廣泛的適用性。從（4-17 ）式，更可十分明確地看到T與M的無(wú)關(guān)性。

5、雖然，任意兩組（h1, T1），（ h2, T2）實(shí)測(cè)值，都可以由（4-17 ）式算出g ；但是,對(duì)于一個(gè)確定的“物理擺”選取怎樣的兩組（h ,T）數(shù)據(jù)，使能得出最精確的 g的實(shí)測(cè)山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -結(jié)果呢？為此必須研究 T （ h ）關(guān)系：將（4-12 ）式平方，于是可得出(4-18 )T2Jch2-4 二Mgh g從此式可以看出T2與h的關(guān)系大體為一變形的雙曲線型圖線：當(dāng)h趨于0時(shí)Ttr,當(dāng)hT亦趨于可見(jiàn)在 h的某一處一定有一個(gè)凹形極小值。為此，對(duì)（4-18 ）作一 次求導(dǎo)并令其為。；即由d!，0,可得(4-19 )JcMgh22 2Mh Jc = Ma（4-20）即移動(dòng)擺軸所增加的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

6、量恰為質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即h = a處所相應(yīng)的T為極小值（為什么？）。（注意：體會(huì)稱(chēng)a為回轉(zhuǎn)半徑的含義）將（4-13 ）式取二次導(dǎo)數(shù)為研究T （ h）關(guān)系特在0.6m長(zhǎng)的扁平擺桿上，間隔 2cm均勻鉆出直徑為1cm的28個(gè)孔以作為O點(diǎn)的Hi值（i= 土 1,± 2，土 3，” ±14）于是可得出如圖4-3所示的曲線。圖4-3 擺動(dòng)周期T與擺軸離中心距離h的關(guān)系在共軛的A, B二極小T值點(diǎn)以上，沿任一 T h畫(huà)一條直線，交圖線于 C, D, E, F四 點(diǎn)；皆為等T值點(diǎn)，錯(cuò)落的兩對(duì)等 T值間的距離（hD+hE） = hC + hr被稱(chēng)為等值單擺長(zhǎng)。為 理解這一點(diǎn)，將（4-17

7、 ）式的T1與Te （或Td）對(duì)應(yīng)，T2與Tf （或Tc）對(duì)應(yīng)，h1為與對(duì)應(yīng)山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)65 -的hE, h2為與T2對(duì)應(yīng)的hF,并將（4-17）式改形為:g 2(h b)2(h-h2)(4-22 )山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -（4-22 ）與（4-17 ）的等同性同學(xué)們?cè)谡n后去用代數(shù)關(guān)系式驗(yàn)證。從（4-22 ）可知,當(dāng)Ti = T2（ =T）時(shí)，即化為單擺形式的公式（4-6），故稱(chēng)（hE+hF）、（hc+hD）為等值單擺長(zhǎng)。從（4-20 ）式可知： OB = OA = a ;而 ax2 = h e+ h i從圖4-3可知，A, B二共軛點(diǎn)為T(mén)（ h）的極小值點(diǎn)，若在它附近取二個(gè)

8、h值來(lái)計(jì)算g則將引起較大的誤差。所以欲取得精確的g的測(cè)量值，就只能取最大的F點(diǎn)和相應(yīng)的E點(diǎn)來(lái)計(jì)算g值。因孔的非連續(xù)性， E只能取Te近乎于Tf的點(diǎn)代入（4-22 ）式。還可取略大、 略小的兩組值都計(jì)算出再取平均。A或B在實(shí)驗(yàn)上雖然不利于測(cè)量出較精確的g，但運(yùn)行在Tb （或Ta）值下的擺，其性能最穩(wěn)定。 可倒擺為提高測(cè)g的精度，歷史上在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的物理擺的擺桿上，加兩個(gè)形體相同而密度不 同的兩個(gè)擺錘對(duì)稱(chēng)地放置。于是質(zhì)心C點(diǎn)隨即被改變，圖 4-3的圖線也隨之改變，特別是Tc （即），Tf （即T2）所相應(yīng)的he （即h1），hF （即h2）也隨之改變。但曲線的形狀依歸。所以，用此時(shí)的T（ =Tf =

9、Tc）和hl（=hc），h2（=hF）按（4-22 ）式來(lái)計(jì)算出g。當(dāng)然，由于擺桿孔的非連續(xù)性，所以?xún)H能用Tc- Tf的實(shí)測(cè)值，這時(shí)（4-22 ）式的右端的第2項(xiàng)僅具很小的值。所以（Ti - T2）很小，而（hi - h2）較大。所以實(shí)驗(yàn)須先在重鐵錘的擺桿的下端測(cè)出Ti后，將擺倒置過(guò)來(lái)，從遠(yuǎn)端測(cè)出大于Ti的值然后逐漸減h2直至T2小于Ti為止。將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱(chēng)為開(kāi)特氏擺）；（4-22 ）式就稱(chēng)為可倒擺計(jì)算式。擺錘用兩個(gè)而不是用一個(gè)，而且形體作成相同，是因?yàn)榈怪靡院笤跀[動(dòng)過(guò)程中，擺的 空氣阻尼等對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)的影響可消除。由物理擺的理論可知，可倒擺（開(kāi)特?cái)[）僅是物理擺的特例。 錘移效

10、應(yīng)a 加錘擺的擺動(dòng)周期 Tm設(shè)原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質(zhì)量為M質(zhì)心為C （設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)），擺心為O, CO距離為h，質(zhì)心C處與擺心O處沿OZ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc、JO。以上條件皆固定不變。然山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)67 -后再加一個(gè)圓柱形的擺錘，錘的回轉(zhuǎn)半徑為r,質(zhì)量為m正軸與上述各軸平行。錘移動(dòng)沿CO方向?yàn)?X。置錘于X處，如圖4-4所示。擺的總質(zhì)量為 M ' = M m (4-23) 質(zhì)心變?yōu)镃',由一次矩平衡原理可得出CC = m X /(M m)(4-24)所以新的擺長(zhǎng)圖4-4 加錘擺h' = h CC h - m X /(M m) (4-25)由平行軸定理，可得J。二

11、Ma2 Mh2 mr2 m(h-X)2(4-26)設(shè)重力加速度g已知(不變)，則帶錘的擺動(dòng)方程式仿(4-7 )、(4-10 )式為：(動(dòng)量矩定理)J0v - -(M m) g h_m X/(Mm) si"(4-27)i .加錘擺的周期公式 Tm為:Tm_2- Ma2 Mh2 mr2 m(hx)2(M +m) g '(hMX)(4-28 )在研究錘移效應(yīng)時(shí)，令(固定不變)2 2 2C = Ma mh mr(4-29)所以有k = (M m) g(4-30)Tm =2C m(h x)2k (h(4-31 )M mX)山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -此式的特點(diǎn)：關(guān)系相似，(此時(shí)h為固定它與無(wú)錘

12、擺的形式相似，即原 T ( h)關(guān)系與現(xiàn)在Tm( X)常數(shù))山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)69 -由于X的取向等原因，所以 Tm（ X）相當(dāng)于圖 h-亠X =0，即mh時(shí),M mm而X的負(fù)向則為，X m, Tm T + m注：X M一 h，則Tm為復(fù)數(shù)（無(wú)意義）m它也存在著極（?。┲?-3曲線的左葉，Tm （ X）的漸近線為T(mén)m所以應(yīng)由dT m ( X )dX(4-32)dTmdXdTmdfdfdXk(h所以有2 -(k(h -c m(hX)2)MmmXddXc m(h - Xm-Mk(h)2山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -=C m(h -X)2,代入d)vdXdvduvdXX2v可得(h-X)2m(

13、h-X) (1)C m(h X)(-M(4-33)(h- m X)2M mmm22(hX) (2mh -2mX) (-1)(c - mh2 -2mhX mX2) =0M +mM +m2 2m X 22 m(c mh )X -2mhX 2mh -M mM m=02mh 一 .(2mh)2 -4，：m2mh2 - m(c mh )X =M m山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -2分子，分母都除以2m （根號(hào)內(nèi)除以4m）得hh2mh22m(c m h )(M m)h_ .(M m)2h2 _2mh2(M m) - m(c mh2)m(M m)h 二、Mh2 2Mmh2 m2h2 -2mh2M -2m2h2 - mc

14、 m2h2 m(4-34 )(M m)h . mc M 2h2m所以X 一定有解，T有極值T （X）（以如前所述，T（X）函數(shù)與T（h）函數(shù)的性狀是一樣的，所以此極值也一定是極小;求密來(lái)判定，略去）dx2ii .零質(zhì)量擺錘的周期（公式）Tm0將m=0代入公式（4-28 ）,可得Tm ：£lJc +Mh2 +0+0M(h_X)2(M 0) g嘰Jc Mh 2''、M g hc2 丄 h=2Th（4-35）gh gTh意義就是與X平行的，值為T(mén)h的T （X）函數(shù)線。Th也就是無(wú)錘擺在CO= h時(shí)的擺 動(dòng)周期值，這也就是研究 T （X）時(shí)為什么X的取向，原點(diǎn)都與原來(lái)的 T

15、（ h）的h取向、原 點(diǎn)為一致的原因，而另取一個(gè)有別于h的符號(hào)X是為了討論、理解得方便。理解這一點(diǎn)是弄明下一點(diǎn)的前提。iii.周期Tm與 Th （即m=0時(shí)的Tm）的交點(diǎn)，即有 Tm =Th山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)71 -也就是令（4-28 ）式與（4-13 ）式相等，于是有:a2 h gh gMa2 Mh2 mr2 m(h-X)2=2兀J (M +m) g (hmX)M +m(4-36)a2 h2gh2 2 2 2Ma Mh mr m(h -X)(M m) g (h -X)2 2 2 2 2 2 2a h _ Ma Mh mr mh -2 mhX mXghg(M m)h-mX2 2 2 2 2mhX

16、-m(h -a )X-mh(a -r ) = 0所以hX2 -(h2-a2)X -h(a2 -r2) = 02 I 25一+)±押一+)+4272)解得X =h2上式如下特點(diǎn)：它與m無(wú)關(guān)。即錘的結(jié)構(gòu)、形狀相同（r相同）而密度（即質(zhì)量） 在X處擺的周期T相等。它在r ：a條件下有兩個(gè)實(shí)根。(h2 -a2)2 h2a24h2即雖然它與錘質(zhì)量無(wú)關(guān)，但它與質(zhì)量的分布（回轉(zhuǎn)半徑r）相關(guān),式時(shí)，無(wú)解。4h2a2 (h2a2)22h時(shí)退化為只有一個(gè)解:h22h（4-37）不同的擺錘，（4-38）豈r滿足（4-38）（4-39）（4-40）山基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)# -iv.回到物理擺的周期公式（4-12 ）

17、式或（4-13 ）式，在擺桿質(zhì)心點(diǎn)當(dāng)有類(lèi)似情況。當(dāng)m 0而r t0的質(zhì)點(diǎn)錘置于擺桿的質(zhì)心 C處時(shí)，并且懸掛點(diǎn)于 a處。當(dāng)0, m變則T變，這與由（4-37 ）式算出的X處r不變T變，m變而T為不變 是有所不同的。v .（鐘表擺的）T的微調(diào)遠(yuǎn)離于C, Xi, X2；調(diào)擺錘（或平衡錘一一亦可稱(chēng)之為擺的“平衡”錘）的質(zhì)量或其質(zhì)量的分布。移動(dòng) 平衡錘。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟安裝、調(diào)節(jié)好儀器以后：1 測(cè)出無(wú)錘擺桿的 T （ H）關(guān)系；（可只測(cè)半截?cái)[桿的）2 測(cè)出兩個(gè)加錘擺的 Ti （X）, T2 （X）關(guān)系；兩擺錘的形狀、尺寸須相同，而質(zhì)量不 同；3 然后按原理所述，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)表格自列。四、注意事項(xiàng)1.擺幅A須小于1°,按R=0.3m （ 1擺桿）+0.03m（擺針）=330mm計(jì)2倍