橢圓專項訓練全解

1、橢圓專項訓練2 21、已知動點P與雙曲線 - 1的兩個焦點Fi、F2的距離之和為定值，且cos. Fi PF22 3的最小值為.9(1)求動點P的軌跡方程；(2)若已知 D(0,3) , MN在動點P的軌跡上且DIM =2；.DN，求實數的取值范圍.解：(1)由已知可得:2 2 2a - a - (2c)22aa2 =9, b2 =a2 c2 =422所求的橢圓方程為y 1.94方法一：由題知點D、M、N共線，設為直線m，當直線m的斜率存在時，設為k,則直線m的方程為 y = k x +3代入前面的橢圓方程得2 2(4+9k ) x +54 k +45 = 05 由判別式總=(54k)2 4

2、(4 9k2) 45 _0，得 k2.9再設 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，則一方面有DM =(為,y1 -3) =，DN 二 化以-3)=(x, (y3)，得X| =血2y 3 = “y2 3)另一方面有 x- x254k 2 , XjX2454+9k24+9k2將X1 = X2代入式并消去x 2可得324 27 9，由前面知，0：芻乞365(1，)2 k2k25.932- _藝，解得 丄： 5.5(1 * )2551又當直線m的斜率不存在時，不難驗證：九=丄或& = 551所以-一 _5為所求。5方法二：同上得=擬2yi 3 = h(y2 3)設點 M (3

3、cos a , 2sin a ), N (3cos 3 ,2sin 3 ) 則有 cos cos -2sing_3=Z(2sin 0 -3)由上式消去a并整理得213佗九：“5sin2, 由于 一1 _sin - _112仏一九)_1乞12 y 5叮,解得1 . 5為所求. 12； -A)5方法三：設法求出橢圓上的點到點D的距離的最大值為 5，最小值為1.進而推得，的取值范圍為1乞豈5 。52、已知橢圓C的焦點是F1 (- V3 , 0)、F2 U3 , 0)，點F1到相應的準線的距離為使得 |F2B|=3|F 2A|.過F2點且傾斜角為銳角的直線 I與橢圓C交于A、B兩點,(1)求橢圓C的方

4、程；(2)求直線I的方程.解：(1)依題意，橢圓中心為0(0, 0), c = k點F1到相應準線的距離為比=.3,. b23 3=1,c32 2 2a =b +c =1+3=42所求橢圓方程為y2 =14(2)設橢圓的右準線I與I交于點P,作AM丄I , AN丄I垂足分別為M、N.由橢圓第二定義,得雨心1 AF2K|AM|同理 |BF2|=e|BN|x1由 RtA PAMRtA PBN,得 | pa | AB 2 | F2 A 2e | AM2cos/PAMAM I =丄=一1 = I 的斜率 k =tanPAM =J2 .|PA| 2e 2 出 32.9 分J33、過點(1 , 0)的直線

5、l與中心在原點，焦點在x軸上且離心率為-2的橢圓C相交于A、B1兩點，直線y=-x過線段AB的中點，同時橢圓 C上存在一點與右焦點關于直線I對稱，2試求直線I與橢圓C的方程解法一：由 e= -直線I: y=-x過AB的中點Q 立，上 糾，則_k 2 1 2k 2 , 222i+2k2 2 i+2k2解得k=0,或k=- 1.若k=0,則I的方程為y=0,焦點F(c,0)關于直線I的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=o舍去，從而k= 1,直線I的方程為y= (X 1),即y= x+1,以下同解法 ,得-_=丄,從而 a2=2b2,c=b.a 2a22設橢圓方程為x2+2y2=2b2,A

6、(xi,yi),B(X2,y2)在橢圓上.則 Xi2+2yi2=2b2,X22+2y22=2b2,兩式相減得，2222y1 -y2x1 亠 x2(Xi - x2 )+2(y1 - y2)=0，聖 212.X1 X22(yi +y2)2yo設 AB 中點為(Xo,yo),則 kAB= X” 1 1又(xo,yo)在直線 y= x 上，yo= xo,2 2于是一= 1,kAB= 1,2yo右焦點(b,0)關于I的對稱點設為(xy；),設I的方程為y= x+1.r r,F=1y=1 _b=1則 X b解得，+1l22由點(1,1- b)在橢圓上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2= ,a2162所

7、求橢圓C的方程為 更 16 y2 =1,I的方程為y= x+1. 99解法二：由e=二J,得 匚丄二丄，從而a2=2b2,c=b. a 2a22設橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,I的方程為y=k(x 1),將I的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2- 4k2x+2k2 2b2=0,2則 Xi+X2=2 ,yi+y2=k(xi- 1)+k(x2 1)=k(xi+x2) 2k=2k 2 .1 2k1 2k22 2解法3:設橢圓方程為 篤 12 =i(a .b .0)(1)a2b21直線l不平行于y軸，否則AB中點在x軸上與直線y Jx過AB中點矛盾。2故可設直線丨的方程為y =k(x_1)(

8、2)代入(1)消y整理得:(k2a2 b2)x2 _2k2a 2xa2k2a2b2 =0 (3)設A(xi, yi)B(X2, y2)，知：冷 x?2k2a2又yr y2 =k(x1 :：x2)2k代入上式得:Xi2k 1 ,. k-2kx222k2a2k - k T ka2 2 22b 2(a -c )a2a2二 2 2e2.直線l的方程為y =1 - x ,2此時 a2 =2b2，方程(3)化為 3x2 _4x 2 _2b2 =0 , .1 =16-24(1 _b2) =8(3b2 -1) . 03,橢圓 C 的方程可寫成：x2 2y2 =2b2 (4),又 c2 二 a2-b2 二 b2

9、 ,F(b ,0)，設點F關于直線l的對稱點(x0，y0)，=1X。一bx0_1， y0 二1 -b，又點(1,1 -b)在橢圓上,代入得:12(1f21 b#沖,b2)98所以所求的橢圓方程為:8 16已知圓C1的方程為x-2 2 y-1 220，橢圓C2的方程為3C2的離心率為，如果G與C相交于A、B兩點，且線段2AB恰為圓G的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。解：由e，得 2,a2 =2c2,bc2.2 a 2設橢圓方程為2 2丄丄=1.2b2b2設 A(x, yJ.B(x2,y2)由圓心為(2,1).Xi X2 =4, %y2 =2.2 2 2 2又務馬=1,筆琴=1,2b b

10、2b b2 2 2 2兩式相減，得空2 丄M a2b2解得 b2 =8.故所有橢圓方程y i.i6 85、如圖，已知某橢圓的焦點是Fi( 4, 0)、F2(4, 0)，過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|FiB|+|F2B|=i0，橢圓上不同的兩點 A(xi ,yi),C(x2,y2)滿足條件：戶列、|F2B|、 F2CI成等差數列.(i)求該弦橢圓的方程；求弦AC中點的橫坐標；設弦AC的垂直平分線的方程為y=kx+m,求m的取值范圍.解：(1)由橢圓定義及條件知，2a=|FiB|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以 b= a2 -c2 =3.22故橢圓方程為=1.25

11、9b2(xi X2)(xi -X2) 2(yi y2)(yi-y2)=0,又 Xi 亠 X2 =4. yi 亠 y2 =2.得-i.Xi X2.直線AB的方程為y _i - _(x -2).即 y 32 2將y = _x 3代入每=i,得 2b b3x2 _i2x i8 -2b2 =0.2-4+25yo（ - ）=022Xi -x2kk（心0）25即k=y0(當k=0時也成立).36由點P(4, y)在弦AC的垂直平分線上，得 y0=4k+m,所以由點得一m=yo 4k=yo 25 yo= 16 yo.99P(4, yo)在線段BB B與B關于x軸對稱)的內部, -vy。v 9,所以16 vm

12、v 165555解法二：因為弦 AC的中點為P(4,y。)，所以直線AC的方程為1y yo= (x 4)( kz 0)k2 2將代入橢圓方程=1,得2592 2 2 2(9k+25)x 5O(ky+4)x+25(kyo+4) 25X9k =0所以x計血=50(, 勺=8,解得k= 25 y0.(當k=0時也成立)9k2 +2536(以下同解法一).&已知橢圓 篤每=1(a b 0)的離心率為一6，短軸的一個端點到右焦點的a b3距離為73 直線|：y = kx + m交橢圓于不同的兩點A , B(I)求橢圓的方程(U)若坐標原點0到直線丨的距離為1!，求MOB面積的最大值2c . 6答案 解：

13、(I)設橢圓的半焦距為 c,依題意 a 3 ，解得c = J2.a = /32 2 2由 a -bc ,得b=1.2x 2所求橢圓方程為y 1.(U)由已知m1 k2f,可得 m3(k2 1).將y =kx m代入橢圓方程2 2 2整理得(1+3k )x +6kmx+3m 3 = 0222.：二 6km -4 1 3k 3m-30 ()x-ix2 二-6km1 3k23m2 - 31 3k22 2 2AB = (1 +k )(x2 _%)=(1 k2)2 236k m2 2(3k1)212(m -1)3k21 2 23(k1)(9k1)(3k21)22 2 212(k1)(3k1-m)(3k2

14、 +1)212k21212=342334 (k = 0)9k 6k 1 9k2$62 3 6k當且僅當9k2 =2 即k 3時等號成立k2，3經檢驗，k 滿足(*)式3-當k =0時，AB =J3.綜上可知ABmax=2，二當AB最大時,2-32-32 _ 21AOB的面積取最大值S227、已知點P是O O： x2 y2 =9上的任意一點，過 P作PD垂直x軸于D ,動點Q滿足2 TDQ DP。3(1)求動點Q的軌跡方程；(2)已知點E(1,1),在動點Q的軌跡上是否存在兩個不重1合的兩點M、N，使OE (OM ON) (O是坐標原點)，若存在，求出直線 MN的方2程，若不存在，請說明理由。答

15、案(本題滿分14分)解：(1 )設P(x0,y0),Q x, y，依題意，則點D的坐標為D(xo,O)二 DQ =(x -x0,y),DP =(0, y)X _ xo = 023y0 P 在O O 上，故 x02 y02 =922點Q的軌跡方程為y 194(2)2 2假設橢圓 11上存在兩個不重合的兩點M(x),y1),N X2,y2滿足94OE =2(0M ON)，貝y E(1,1)是線段MN的中點，且有2x=12 即y2 =12論x2 = 2y12x2 y2又“(xpyJN x2, y2在橢圓1上942 29242兩式相減，得x1f 1X2 y1-y2y1y2 二 0 12或胡9494k_

16、y2 _ 4kMNx -x29直線MN的方程為 4x 9y -13 =08、2 + 22 -在平面直角坐標系 xOy中，經過點(0, 2)且斜率為k的直線I與橢圓-y2 = 1有兩個不同的交點P和Q.(1 )求k的取值范圍;(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為 A, B，是否存在常數k，使得向量OP OQ與AB共線？如果存在，求 k值;如果不存在，請說明理由.橢圓上存在點M、 N滿足OE = g (OM ON),此時直線MN的方程為14分4x 9y -13 =0答案 解：(1)由已知條件，直線I的方程為2代入橢圓方程得(k. 2)2 =1.2整理得+宀2和=0直線I與橢圓有兩個不同

17、的交點P和Q等價于皿噸+k2= 4k2 -20 ,逅J2解得k 或k .即k的取值范圍為2 2(2)設 P(x1, yj, Q(x2, y2)，則 OP OQ =化 x?, % 討2 ,由方程，宀迪=-逬2又 % y2 =k(x X2) 2 邁.而 A(返0) B(0,1),AB=(甩1).12分所以OP OQ與AB共線等價于x1 x -.2(y1 y2),將代入上式，解得k 22J2J2.14分由（1）知k或k，故沒有符合題意的常數k .229、已知橢圓的一個頂點為A（ 0，-1），焦點在x軸上若右焦點到直線x-y + 2j2=0的距離為（1）3.求橢圓的方程；(2)設橢圓與直線 y=kx+m （k式0）相交于不同的兩點M、N.當AM = AN時，求m的取值范圍2解：（1 ）依題