由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式通法

1、由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式通法已知數(shù)列的遞推公式，求取其通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個(gè)具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數(shù)學(xué)中常見的幾類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)，不涉及具體某一題目的獨(dú)特解法與技巧。一、型數(shù)列，（其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個(gè)式子累加，變成，進(jìn)而求解。例1. 在數(shù)列中,解：依題意有逐項(xiàng)累加有，從而。注：在運(yùn)用累加法時(shí),要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).類似題型練習(xí)：已知滿足，求的

2、通項(xiàng)公式。二、型數(shù)列，（其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的辦法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個(gè)式子累乘，變成，進(jìn)而求解。例2. 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)，將這個(gè)式子累乘，得到，從而，當(dāng)時(shí)，所以。注：在運(yùn)用累乘法時(shí),還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計(jì)算時(shí)項(xiàng)數(shù)容易出錯(cuò).類似題型練習(xí)：在數(shù)列中, 0,求.提示：依題意分解因式可得，而0,所以，即。三、型數(shù)列此類數(shù)列解決的辦法是將其構(gòu)造成一個(gè)新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的辦法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比較系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。二是用做差法直接構(gòu)造，兩式相減有，所以是公比為的等

3、比數(shù)列。例3. 在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，有，求的通項(xiàng)公式。解法1：設(shè)，即有，對(duì)比，得，于是得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有。解法2：由已知遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。類似題型練習(xí)：已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列,利用基本數(shù)列可簡(jiǎn)捷地求出通項(xiàng)公式.四型數(shù)列（p為常數(shù)）此類數(shù)列可變形為，則可用累加法求出，由此求得.例4已知數(shù)列滿足,求.解:將已知遞推式兩邊同除以得,設(shè),故有，,從而.注：通過變形,構(gòu)造輔助數(shù)列,轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列的問題,是我們求解陌生的遞推關(guān)系式的常用方法.若為的一次函數(shù),則加上關(guān)于的一次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列; 若為的二次函數(shù), 則加上關(guān)于的二次函數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.這時(shí)我們用待定系數(shù)法來求解.例5已知數(shù)列滿足解:作,則,代入已知遞推式中得:.令這時(shí)且顯然,所以.注：通過引入一些待定系數(shù)來轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),經(jīng)過變形和比較,把問題轉(zhuǎn)化成基本數(shù)列,從而使問題得以解決.類似題型練習(xí)：（1）已知滿足，求。（2）已知數(shù)列，表示其前項(xiàng)和，若滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。提示：（2）中利用，把已知條件轉(zhuǎn)化成遞推式。五、型數(shù)列（為非零常數(shù)）這種類型的解法是將式子兩邊同時(shí)取倒數(shù),把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個(gè)新數(shù)列,便可順利地轉(zhuǎn)化為型數(shù)列。例6已知數(shù)列滿足,求.解:兩邊取倒數(shù)得:,所以，故有。