波的多解問(wèn)題的分析

1、波的多解問(wèn)題的分析 顧正祥 （江蘇省鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 212003） 機(jī)械波是高中物理中學(xué)生最難理解和掌握的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，波的多解更令學(xué)生難以捉摸，作為教師，要善于引導(dǎo)學(xué)生去分析原因，抓住要點(diǎn)，把握處理方法，幫助學(xué)生順利完成這一階段的學(xué)習(xí)。本文就波多解形成的原因和處理方法等方面，做一些分析和研究。 一、多解形成的原因分析： （一）振動(dòng)的周期性形成了波動(dòng)周期的多解： 1、分析：簡(jiǎn)諧波中各質(zhì)點(diǎn)做的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一個(gè)周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)作一次全振動(dòng)，位移、速度恢復(fù)原值，所以振動(dòng)時(shí)間相差nT的兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位移、速度相同；質(zhì)點(diǎn)從一位置到另一位置的時(shí)間可能有多解，由此形成了振動(dòng)周期的多解；而波

2、動(dòng)周期等于振動(dòng)周期 ，所以波動(dòng)周期可能形成多解。 2、常見(jiàn)情況舉例： （1）振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從平衡位置到最大位置或從最大位置到平衡位置。對(duì)于這種情況，在一個(gè)周期內(nèi)其時(shí)間可能是：t =T/4 或 3T/4，擴(kuò)展到n個(gè)周期內(nèi)t =T/4 + nT 或 t =3T/4 + nT （n =0、1、2、3以下n 相同），所以波動(dòng)周期的可能解為：T=4t /(4n+1）或T=4t /(4n+3）。 （2）振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從平衡位置到平衡位置 。對(duì)于這種情況，在一個(gè)周期內(nèi)其時(shí)間可能是： t =T/2 或t = T，擴(kuò)展到n個(gè)周期內(nèi)，t =T/2 + nT 或 t =T + nT，所以波動(dòng)周期的可能解為：T=2t /(2n+

3、1）或T=t /(n+1）。 （3）振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從正最大位置到負(fù)最大位置 。對(duì)于這種情況，在一個(gè)周期內(nèi)其時(shí)間可能是 ：t =T/2，擴(kuò)展到n個(gè)周期內(nèi)，t =T/2 + nT， 所以波動(dòng)周期的可能解為：T=2t /(2n+1）。 以上三例中，如果知道振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)位置到另一位置的時(shí)間t，就可以知道 波動(dòng)周期 T的可能解。 （二）波動(dòng)的周期性形成波長(zhǎng)多解：1、分析：因?yàn)橐粋€(gè)波長(zhǎng)內(nèi)有一個(gè)完整的波形圖，相差一個(gè)波長(zhǎng)的兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)情況相同，所以相差 m個(gè)波長(zhǎng)的兩質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況也相同，這就是說(shuō)振動(dòng)情況完全相同的兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的間距為波長(zhǎng)的整數(shù)倍，因此波中從一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平衡位置到另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平衡位置的距離 x與波長(zhǎng)間

4、的關(guān)系為：x = x + m（x 為一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置相差的距離，m=0、1、2、3以下m相同）。如果x已知，則波長(zhǎng)可能有多個(gè)解。2、常見(jiàn)情況舉例： （1）波中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在最大位置。對(duì)于這種情況，在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)的兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的間距可能是 ：x =/4 或x =3/4，擴(kuò)展到 m個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)，兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的間距 x = /4 + m或 x =3/4 + m，所以波長(zhǎng)的可能值為：=4 x/（4m+1）或=4x/(4m+3）。 （2）波中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)也在平衡位置。對(duì)于這種情況，在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的間距 可能是 ：x =/2或 x = ，擴(kuò)展到 m個(gè)波

5、長(zhǎng)內(nèi)，兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的間距 x = /2 + m或 x = + m，所以波長(zhǎng)的可能值為：=2 x/（2m+1）或=x/(m+1）。 （）波中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在正最大位置，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在負(fù)最大平衡位置。對(duì)于這種情況，在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的間距 是 ：x =/2，擴(kuò)展到 m個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)。兩質(zhì)點(diǎn)平衡位置的間距 x = /2 + m，所以波長(zhǎng)的可能值為=2 x/（2m+1）。（三）波傳播的雙向性形成波長(zhǎng)和波周期的兩組解： 1、分析：振動(dòng)在介質(zhì)中可以向四面八方傳播，在一維坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)方向，這就是說(shuō)波在一維坐標(biāo)系內(nèi)傳播方向有兩種可能，由此算出的波長(zhǎng)和周期可能有兩組解 2、常見(jiàn)情況舉例： （1）波動(dòng)中有 A、B兩

6、質(zhì)點(diǎn)，已知A在波峰處，B正好在平衡位置且向下運(yùn)動(dòng)，求波長(zhǎng)？ 分析此例可知：在一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)，若波向+X方向傳播，波形圖如圖所示， x =3/4，若波向X方向傳 播，波形圖如圖所示，x = /4 。擴(kuò)展到n個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)，波向+X方向傳播 x =3/4 + n，則=4 x/（4 n+3）；波向X方向傳播x = /4 + n，則=4x/(4n+1）（n =0、1、2、3）?？梢?jiàn)波長(zhǎng)有兩組解，而這是由于波的雙向傳播形成的。 （2）一列簡(jiǎn)諧波在x軸上傳播，實(shí)線是某一時(shí)刻的波形圖，虛線是經(jīng)過(guò)時(shí)間t后的波形圖，求波的周期？ 分析此例可知：在一個(gè)周期內(nèi)，若波向左傳播，x=0的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)t=3T/4到虛線波形圖中的位置。

7、波向右傳播時(shí)，x=0的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)t=T/4到達(dá)虛線波形圖中的位置。擴(kuò)展到n周期內(nèi)，波向左傳播時(shí)t =3T/4 + nT，波動(dòng)周期的可能解為：T=4t /(4n+3）；波向右傳播時(shí)t =T/4 + nT 波動(dòng)周期的可能解為：T=4t /(4n+1）。可見(jiàn)波傳播的雙向性形成了波動(dòng)周期有兩組解。 二、多解問(wèn)題的處理 1、抓住波傳播的雙向性。由波傳播方向，分析波的周期和波長(zhǎng)是否有兩組解。 2、抓住波動(dòng)的周期性。先考慮一個(gè)周期內(nèi)的情況或一個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)的情況，再擴(kuò)展到n個(gè)周期內(nèi)或個(gè)波長(zhǎng)內(nèi)，寫(xiě)出周期或波長(zhǎng)的通式，具體情況見(jiàn)前面常見(jiàn)例子分析。 3、抓住振動(dòng)與波動(dòng)的關(guān)系。找出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)間t1與波動(dòng)時(shí)間t2關(guān)系：t1=

8、t2，T波等于T振；找出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)間t1與波傳播距離x的關(guān)系：x=vt，振動(dòng)一個(gè)周期波向前傳播一個(gè)波長(zhǎng)；找出振動(dòng)圖象和波動(dòng)圖象的關(guān)系：一質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)圖象中某一時(shí)刻振動(dòng)的位移和方向與同時(shí)刻波圖象中該質(zhì)點(diǎn)位移和方向是對(duì)應(yīng)的，這樣可以從振動(dòng)圖象中知道該質(zhì)點(diǎn)在該 時(shí)刻的振動(dòng)情況，再回到波圖象中去處理。 4、抓住題目中的限制條件。審清題目，找出限制條件，分析處理后取出符合題 意的解。具體分析見(jiàn)下面的例題討論。三、多解問(wèn)題的例題討論：如圖，A、B是一列簡(jiǎn)諧橫波中的兩點(diǎn)，某時(shí)刻A正處于正向最大位移處，另一點(diǎn)B恰好通過(guò)平衡位置向y方向振動(dòng)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為XA = 0，XB 為70m，并且波長(zhǎng)符合20m

9、80m，求波長(zhǎng)？解析:根據(jù)題 中A點(diǎn)和B點(diǎn)的位置,作出AB間的兩種最簡(jiǎn)波形圖如圖，由圖寫(xiě)出這種情況的通式為：x=xA-xB=/4 + n，得=4x/(4n+1)4×70/(4n+1),其中n =0、1、2、3,將n =0、1、2、3依次代入通式得=280m,56m,31 m,由已知20m80m的限制條件,波長(zhǎng)應(yīng)為31 m或56m,且波向-x傳播。由圖寫(xiě)出這種情況的通式為：x=xA-xB=3/4 + n，得=4x/(4n+3)4×70/(4n+3),其中n =0、1、2、3,將n =0、1、2、3依次代入通式得=93 m,40m, m，由已知20m80m的限制條件,波長(zhǎng)應(yīng)為 m或40 m，且波向+x軸方向傳播。說(shuō)明：本題的解析是已知波長(zhǎng)中的兩 個(gè)持殊質(zhì)點(diǎn)，求解波長(zhǎng)的一般方法。如果題 目已知條件無(wú)任何限制，求出的波長(zhǎng)應(yīng)為兩 組解。如果題 目已知條件對(duì)波長(zhǎng)加了限制條件（本題中加了20m80m的限制），則從兩 組中分別求出有限個(gè)解。題 目有時(shí)加“波在AB間傳 播時(shí)間2T<t<4T，則兩組波長(zhǎng)通式中的n只能取2或3 ，每組中各確定出兩解。如果題 目已知條件加了波的傳播方向的限制，例如波沿+x軸方向傳播，則本題中只有一組x=xA-xB=3/4 + n的通解，如果在限制傳播方向的基礎(chǔ)