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1、2022-1-121測繪數據處理測繪數據處理 2022-1-122一、自由網平差概述一、自由網平差概述 在控制網的經典間接平差中,必須具有足夠的起算數據在控制網的經典間接平差中,必須具有足夠的起算數據。例如,在水準網的間接平差中,必須至少已知某一點的高程。例如,在水準網的間接平差中,必須至少已知某一點的高程;在測角網的間接平差中,必須至少已知某一點的坐標、某一;在測角網的間接平差中,必須至少已知某一點的坐標、某一條邊的坐標方位角即某一條邊的邊長,等等。下面將討論無起條邊的坐標方位角即某一條邊的邊長,等等。下面將討論無起算數據的平差方法,即自由網平差。算數據的平差方法,即自由網平差。當網中有足夠

2、的起算數據時,經典間接平差的誤差方程為當網中有足夠的起算數據時,經典間接平差的誤差方程為 (1-7-1)系數矩陣系數矩陣B最大線性無關的行(列)向量的個數,及最大線性無關的行(列)向量的個數,及B矩陣矩陣的秩的秩R(B)等于未知參數等于未知參數 的個數的個數t.即即 (1-7-2)2022-1-123在最小二乘準則下,得其法方程為在最小二乘準則下,得其法方程為 (1-7-3)其中其中N= PB,W= 。此時,系數陣。此時,系數陣N為滿秩方陣,即為滿秩方陣,即det(N) ,N為非奇異陣,有唯一解,其解為為非奇異陣,有唯一解,其解為 (1-7-4)當平差網沒有起算數據時,網中所有的點均為待定點。

3、設未知當平差網沒有起算數據時,網中所有的點均為待定點。設未知參數的個數為參數的個數為u,誤差方程為誤差方程為 (1-7-5)組成的法方程為組成的法方程為2022-1-124 (1-7-6) 由于由于det(N)=0,故故N為奇異陣,其凱利逆為奇異陣,其凱利逆 不存在,此時如不存在,此時如仍按經典平差公式接,將不可能得出唯一的解。仍按經典平差公式接,將不可能得出唯一的解。 令令B的列滿秩數為的列滿秩數為 (B),B的實際秩數為的實際秩數為R(B),d= (B)-R(B),d即為秩虧數。對于法方程系數矩陣即為秩虧數。對于法方程系數矩陣N,必然也,必然也有有d=(N)-R(N). 如果如果d=0,就

4、是經典平差問題;當就是經典平差問題;當d 時,就是所謂的秩虧時,就是所謂的秩虧自由網平差問題。自由網平差問題。 在實用上,產生秩虧得主要原因是不設起算數據,而且選定在實用上,產生秩虧得主要原因是不設起算數據,而且選定網中高程、坐標等作為平差的未知參數,所以秩虧自由網平差網中高程、坐標等作為平差的未知參數,所以秩虧自由網平差也叫無固定數據的的自由網平差,簡稱自由網平差。也叫無固定數據的的自由網平差,簡稱自由網平差。 具體問題中矩陣具體問題中矩陣B或或N的秩虧數的秩虧數d,雖然可以通過計算,雖然可以通過計算R(B)或或R(N)求出,實際上并不需要這樣做,究其原因可知,秩虧數求出,實際上并不需要這樣

5、做,究其原因可知,秩虧數2022-1-125d就是網中必要的起算數據個數。且有:就是網中必要的起算數據個數。且有: 二二、秩虧自由網平差思路秩虧自由網平差思路 為了求得未知參數的唯一確定解,除了遵循最小二乘準則外為了求得未知參數的唯一確定解,除了遵循最小二乘準則外,還必須增加新的約束條件,從而達到求得唯一解的目的,還必須增加新的約束條件,從而達到求得唯一解的目的。由于約束條件不同,秩虧自由網平差可分為如下幾種情。由于約束條件不同,秩虧自由網平差可分為如下幾種情況:況:(1)、經典自由網平差)、經典自由網平差。它是在假設網中有。它是在假設網中有d個必要起算數據個必要起算數據的條件下,求定未知參數

6、的最佳估計。這種方法早就已為的條件下,求定未知參數的最佳估計。這種方法早就已為人們所熟知。不難理解,該法的平差結果(未知參數人們所熟知。不難理解,該法的平差結果(未知參數X的解的解及其協(xié)因數陣及其協(xié)因數陣 )將隨著假設的)將隨著假設的d個必要起算數據的不同而個必要起算數據的不同而不同,即隨著已知點位置的改變而改變。不同,即隨著已知點位置的改變而改變。2022-1-126(2)、秩虧網平差)、秩虧網平差。它是在最小二乘。它是在最小二乘 和最小范數和最小范數的條件的條件 下求定未知參數的最佳估值。下求定未知參數的最佳估值。(3)、加權秩虧網平差)、加權秩虧網平差。它是在最小二乘。它是在最小二乘 和

7、加權最和加權最小范數的條件小范數的條件 下求定未知參數的最佳估值。式下求定未知參數的最佳估值。式中,中, 為表示未知參數穩(wěn)定程度的先驗權矩陣。為表示未知參數穩(wěn)定程度的先驗權矩陣。(4)、擬穩(wěn)平差)、擬穩(wěn)平差。若將平差網中的未知參數分為兩類,即。若將平差網中的未知參數分為兩類,即 (sd) (1-7-7) 式中,式中, 是非擬穩(wěn)點的未知參數,是非擬穩(wěn)點的未知參數, 是擬穩(wěn)點的未知參數。這樣是擬穩(wěn)點的未知參數。這樣擬穩(wěn)平差是在擬穩(wěn)平差是在 和和 求定未知參數的最佳估求定未知參數的最佳估值。值。2022-1-127 由上可知,三種秩虧自由網平差均遵循由上可知,三種秩虧自由網平差均遵循 的原則,對的原

8、則,對于同一平差問題,它們將有相同的法方程,三種自由網平差的解于同一平差問題,它們將有相同的法方程,三種自由網平差的解均能滿足法方程式均能滿足法方程式(1-7-6),它它們都是這一相同法方程多組解,它它們都是這一相同法方程多組解中的一個特解。它們之間的不同只是由于各自對解向量中的一個特解。它們之間的不同只是由于各自對解向量x所加的所加的限制條件不同引起的,即由于各自所加的最小范數條件不同,因限制條件不同引起的,即由于各自所加的最小范數條件不同,因此得到了不同的解向量。此得到了不同的解向量。 由于秩虧網平差與擬穩(wěn)平差都是加權秩虧網平差的特殊情況,由于秩虧網平差與擬穩(wěn)平差都是加權秩虧網平差的特殊情

9、況,其區(qū)別僅在于各自選擇了不同的先驗權陣其區(qū)別僅在于各自選擇了不同的先驗權陣 。所以我們將先介。所以我們將先介紹加權秩虧網平差,然后再介紹秩虧網平差和擬穩(wěn)平差。自由網紹加權秩虧網平差,然后再介紹秩虧網平差和擬穩(wěn)平差。自由網平差的方法很多,本節(jié)我們只介紹附加條件法。平差的方法很多,本節(jié)我們只介紹附加條件法。2022-1-128 三三、自由網平差基準自由網平差基準(一)經典自由網平差基準(一)經典自由網平差基準 實際上是固定某個實際的點的位置,固定一個實際的方位角,實際上是固定某個實際的點的位置,固定一個實際的方位角,一條實際的邊長等來定義的。一條實際的邊長等來定義的。(二)秩虧自由網平差基準(二

10、)秩虧自由網平差基準 與經典的自由網不同,秩虧自由網平差基準是通過對整個網點與經典的自由網不同,秩虧自由網平差基準是通過對整個網點的坐標或部分網點的坐標進行某種約束(條件)來定義的,這種的坐標或部分網點的坐標進行某種約束(條件)來定義的,這種約束實際上是固定某個虛擬點的位置,固定某個虛擬方向、虛擬約束實際上是固定某個虛擬點的位置,固定某個虛擬方向、虛擬距離等。距離等。 2022-1-129對三維網對三維網,這種約束將要求:,這種約束將要求:.平差前后網點重心不變(即固定重心點坐標);平差前后網點重心不變(即固定重心點坐標);.平差前后控制網相對其重心不繞平差前后控制網相對其重心不繞X、Y、Z軸

11、旋轉(即固定重心軸旋轉(即固定重心 與所有網點連線的平均方位角與天頂距);與所有網點連線的平均方位角與天頂距);.平差前后所有網點相對重心的平均距離不變(即固定與重心的平差前后所有網點相對重心的平均距離不變(即固定與重心的 平均距離)。平均距離)。對平面網對平面網,這種約束將要求:,這種約束將要求:.平差前后網點重心坐標不變;平差前后網點重心坐標不變;.平差前后各網點與重心連心的平均方位角不變;平差前后各網點與重心連心的平均方位角不變;.平差前后所有網點相對重心的平均距離不變(即固定與重心的平差前后所有網點相對重心的平均距離不變(即固定與重心的 平均距離)。平均距離)。對于一維的高程網對于一維

12、的高程網,這種約束是使平差前后網店的平均高程保持,這種約束是使平差前后網店的平均高程保持 不變。不變。這些約束條件我們稱之為這些約束條件我們稱之為重心基準條件重心基準條件。2022-1-1210(三)加權秩虧自由網平差基準(三)加權秩虧自由網平差基準和秩虧自由網平差基準類似,但應考慮各網點的權重,采用了帶和秩虧自由網平差基準類似,但應考慮各網點的權重,采用了帶權重心基準條件。權重心基準條件。(四)擬穩(wěn)平差基準(四)擬穩(wěn)平差基準也和秩虧自由網平差基準類似,但僅僅是采用所有擬穩(wěn)點的重心也和秩虧自由網平差基準類似,但僅僅是采用所有擬穩(wěn)點的重心基準條件。基準條件。 四、四、加權秩虧自由網平差加權秩虧自

13、由網平差(一)平差計算公式(一)平差計算公式 加權秩虧網平差就是求相容法方程:加權秩虧網平差就是求相容法方程: (1-7-8) 的加權最小范數解。的加權最小范數解。 附加條件法的基本思想是:由于網中沒有起始數據,平差時多附加條件法的基本思想是:由于網中沒有起始數據,平差時多選了選了d個未知參數。現在個未知參數?,F在u個未知參數之間適當給定個未知參數之間適當給定d個附加條件個附加條件2022-1-1211式,即在平差問題的函數模型中加入式,即在平差問題的函數模型中加入d個未知參數的限制條件個未知參數的限制條件方程,從而可以按附有限制條件的間接平差法求解。方程,從而可以按附有限制條件的間接平差法求

14、解。 等價于約束條件等價于約束條件 的限制條件方程為的限制條件方程為 (1-7-9)式中式中 BG=0 (1-7-10)故加權秩虧網平差函數模型為故加權秩虧網平差函數模型為 (1-7-11)2022-1-1212此處的系數矩陣此處的系數矩陣B不是列滿矩陣,而是列虧矩陣。不是列滿矩陣,而是列虧矩陣。將式將式(1-7-11)組成法方程,得組成法方程,得 (1-7-12)式中式中 , 因因N為降秩方陣,無正常逆,所以為降秩方陣,無正常逆,所以必須對法方程作適當變動。將式必須對法方程作適當變動。將式(1-7-12)中第二個方程左乘后再中第二個方程左乘后再加到第一個方程上去,即得變形后的法方程為加到第一

15、個方程上去,即得變形后的法方程為 (1-7-13)式中,式中,解法方程,得解法方程,得 (1-7-14)2022-1-1213 (1-7-15)可以證明(證明略),當可以證明(證明略),當G滿足條件滿足條件BG=0時,連系數向量時,連系數向量K必必等于零。故可簡化為等于零。故可簡化為 (1-7-16)將代入式將代入式(1-7-11),可求得,可求得V,再根據,再根據 即可求得個未即可求得個未知參數的平差值知參數的平差值 需要說明的是,在實際計算時,附加陣需要說明的是,在實際計算時,附加陣G不僅不僅要滿足要滿足BG=0的條件,還要滿足條件的條件,還要滿足條件 (1-7-17)也即在實際計算前,尚

16、需要把也即在實際計算前,尚需要把G陣進行標準化,是的滿足式陣進行標準化,是的滿足式(1-7-17)所述條件。所述條件。2022-1-1214(二)精度評定公式(二)精度評定公式1、驗后單位權方差、驗后單位權方差 (1-7-18)式中,式中, 可以直接計算,也可用可以直接計算,也可用 計算得到計算得到2、協(xié)因數陣、協(xié)因數陣(1)未知參數的協(xié)因數陣為)未知參數的協(xié)因數陣為 (1-7-19)當對當對G陣進行標準化后,由于陣進行標準化后,由于 ,故,故 式式(1-7-19)可進一步簡化為可進一步簡化為 (1-7-20) (2)觀測數據平差值的協(xié)因數陣為)觀測數據平差值的協(xié)因數陣為 (1-7-21)20

17、22-1-1215 (三)常見附加陣(三)常見附加陣G采用附加條件法進行秩虧自由網平差計算非常容易,但必須預先采用附加條件法進行秩虧自由網平差計算非常容易,但必須預先構建附加陣構建附加陣G。下面是幾種常見的附加陣。下面是幾種常見的附加陣G。1、水準網、水準網設有設有u個點,則個點,則 (1-7-22) 2、平面測角網、平面測角網按角度平差,設有按角度平差,設有m個點,則個點,則 (1-7-23)2022-1-12163、平面測角網、平面測角網按方向平差,設有按方向平差,設有m個點,則個點,則 (1-7-24)4、三維測角網、三維測角網 (1-7-25) 2022-1-1217 對于平面測邊網、

18、邊角網和導線網,只要將式對于平面測邊網、邊角網和導線網,只要將式(1-7-23)或式或式(1-7-24)中的第四行劃去,剩下的三行中的第四行劃去,剩下的三行u列的陣,即分別為按角列的陣,即分別為按角度平差時的附加陣。對于三維測邊網,只要將式度平差時的附加陣。對于三維測邊網,只要將式(1-7-25)的的第七行劃去,剩下的第七行劃去,剩下的6三行三行u列的陣即為三維測邊網平差時的附列的陣即為三維測邊網平差時的附加陣。加陣。 很明顯,上述的附加陣很明顯,上述的附加陣G均未標準化,即只是滿足了均未標準化,即只是滿足了BG=0,但尚未滿足的條件。但尚未滿足的條件。2022-1-1218 陣標準化陣標準化

19、1、用原始陣、用原始陣 和和 陣,求出相應的陣陣,求出相應的陣 ;2、設、設 中第中第i行主對角元素為行主對角元素為gii,把原始陣,把原始陣 相應相應的第的第i行數據均乘以行數據均乘以 即可得到標準化陣的相應數據;即可得到標準化陣的相應數據;3、原始陣中每一行數據均按(、原始陣中每一行數據均按(2)所述做同樣變換,即可得)所述做同樣變換,即可得到標準化陣。到標準化陣。例:有測邊網如下圖所示,各點的近似坐標列于下表。若又例:有測邊網如下圖所示,各點的近似坐標列于下表。若又已知待定點的先驗權陣為已知待定點的先驗權陣為2022-1-1219試求加權秩虧網平差的標準化陣。試求加權秩虧網平差的標準化陣

20、。 表表1-7-1解:解: 計算秩虧網平差時的標準化陣,即計算滿足計算秩虧網平差時的標準化陣,即計算滿足BG=0和和 計算網的加權重心點坐標。計算網的加權重心點坐標。 點號 4 3 2 12022-1-1220(2 2)計算以加權重心點坐標為坐標原點的各待定點的坐標值列于表)計算以加權重心點坐標為坐標原點的各待定點的坐標值列于表1-7-2.1-7-2.表表1-7-2點號 /km4321(3)原始陣 確定。由于是測角網,根據式(1-7-23),即可得到測邊網原始陣 (按角度平差)2022-1-1221(4)求解)求解 (5)標準化陣確定)標準化陣確定把原始陣中的第一行、第二行、第三行分別乘以把原

21、始陣中的第一行、第二行、第三行分別乘以,即可求得標準化陣為,即可求得標準化陣為 2022-1-1222 五、秩虧自由網平差五、秩虧自由網平差 秩虧網是在最小二乘和最小范數的條件下求定未知參數的最佳秩虧網是在最小二乘和最小范數的條件下求定未知參數的最佳估值。也可敘述為秩虧網平差是求相容法方程在最小范數估值。也可敘述為秩虧網平差是求相容法方程在最小范數 (1-7-26) 條件下的解。它是加權秩虧網平差條件下的解。它是加權秩虧網平差 時的特時的特例。因此,秩虧網平差的各種計算公式均可由加權秩虧網例。因此,秩虧網平差的各種計算公式均可由加權秩虧網平差時的計算公式列出。平差時的計算公式列出。(一)(一)

22、平差計算公式平差計算公式等價于約束條件等價于約束條件 的限制條件方程為的限制條件方程為2022-1-1223 (1-7-27)式中 BG=0 (1-7-28)故秩虧網平差的函數模型為 (1-7-29)此處的系數矩陣B不是列滿矩陣,而是列虧矩陣。將式(1-7-29)組成法方程,得 (1-7-30)式中,2022-1-1224 因因N N為降秩方陣,無正常逆,所以必須對法方程作適當變動。將式為降秩方陣,無正常逆,所以必須對法方程作適當變動。將式(1-7-30)(1-7-30)中第二個方程左乘后再加到第一個方程上去,記得變形后的法方程為中第二個方程左乘后再加到第一個方程上去,記得變形后的法方程為 (

23、1-7-31) (1-7-31) ,式中,式中,解法方程,得解法方程,得 (1-7-32)(1-7-32) (1-7-33) (1-7-33)可以證明(證明略),當可以證明(證明略),當G G滿足條件滿足條件BG=0BG=0時,連系數向量時,連系數向量K K必等于零。故可簡必等于零。故可簡化為化為 (1-7-34)(1-7-34)將代入式將代入式(1-7-29)(1-7-29),可求得,可求得V V,再根據,再根據 即可求得個未知參數的即可求得個未知參數的平差值。需要說明的是,在實際計算時,附加陣平差值。需要說明的是,在實際計算時,附加陣G G不僅要滿足不僅要滿足BG=0BG=0的條件,還的條

24、件,還要滿足條件要滿足條件 (1-7-35)(1-7-35)也即在實際計算前,尚需要把也即在實際計算前,尚需要把G G陣進行標準化,滿足式陣進行標準化,滿足式(1-7-35)(1-7-35)所述條件。所述條件。2022-1-1225(二)精度評定公式(二)精度評定公式( )1、驗后單位權方差、驗后單位權方差 (1-7-36)式中,式中, 可以直接計算,也可用可以直接計算,也可用 計算得到計算得到2、協(xié)因數陣、協(xié)因數陣(1)未知參數的協(xié)因數陣為)未知參數的協(xié)因數陣為 (1-7-37)當對當對G陣進行標準化后,由于陣進行標準化后,由于 ,故,故 式式(1-7-19)可進一步簡化為可進一步簡化為 (

25、1-7-38) (2)觀測數據平差值的協(xié)因數陣為)觀測數據平差值的協(xié)因數陣為 (1-7-39)2022-1-1226 (三)(三) 陣標準化陣標準化1、用原始陣、用原始陣 和和 陣,求出相應的陣陣,求出相應的陣 ;2、設、設 中第中第i行主對角元素為行主對角元素為gii,把原始陣,把原始陣 相應相應的第的第i行數據均乘以行數據均乘以 即可得到標準化陣的相應數據;即可得到標準化陣的相應數據;3、原始陣中每一行數據均按(、原始陣中每一行數據均按(2)所述做同樣變換,即可得)所述做同樣變換,即可得到標準化陣。到標準化陣。例:測角網如下圖,全網例:測角網如下圖,全網4個待定點的坐標值列于下表個待定點的

26、坐標值列于下表.當采當采用秩虧網測角平差時,求其標準化陣。用秩虧網測角平差時,求其標準化陣。2022-1-1227點號 /mP1P2P3P42022-1-1228(1)計算網的重心點坐標計算網的重心點坐標 (2)計算以加權重心點坐標為坐標原點的各待定點的坐標值計算以加權重心點坐標為坐標原點的各待定點的坐標值 點號 /km P1 P2 P3 P4 2022-1-1229(3)原始 陣確定。(4)求解 (5)標準化陣確定把原始陣中的第一行、第二行、第三行、第四行分別乘以把原始陣中的第一行、第二行、第三行、第四行分別乘以 2022-1-1230 六、擬穩(wěn)平差六、擬穩(wěn)平差 擬穩(wěn)平差是在最小二乘和最小范

27、數(局部解向量的范數擬穩(wěn)平差是在最小二乘和最小范數(局部解向量的范數最小)最?。?的條件下,求定位置參數的最佳估值。也可的條件下,求定位置參數的最佳估值。也可敘述為:擬穩(wěn)平差是相容法方程敘述為:擬穩(wěn)平差是相容法方程 , (1-7-40) 在最小范數條件下的解。可見,它是加權秩虧網平差取在最小范數條件下的解??梢?,它是加權秩虧網平差取 時的特例。因此,擬穩(wěn)平差的各種計算公式也可由加權秩虧時的特例。因此,擬穩(wěn)平差的各種計算公式也可由加權秩虧網平差的計算公式直接引出。網平差的計算公式直接引出。2022-1-1231 (一)平差計算公式(一)平差計算公式 在式(1-7-40)第二式中,取 (1-7-41) 并設 (1-7-42)則 (1-7-43)若令 (1-7-44)則可得擬穩(wěn)平差的函數模型為 (1-7-45)此處的系數矩陣B不是列滿矩陣,而是列虧矩陣。將式(1-7-45)組成法方程,得 2022-1-1232 (1-7-46)式中, ,。 因為降秩方陣,無正常逆,所以必須對法方程做適當變動。將(1-7-46)中的第二個方程左乘 后再加到第一個方程上去,既得變形后的法方程為 ( 1-7-47) 式中,。 解法方程,得 (1-7-48) (1-7-49)

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