矩陣的初等變換與逆矩陣

1、6.2 矩陣的初等變換與逆矩陣 6.2.1 矩陣的初等變換 6.2.2 逆矩陣的概念及用初等行變換求解逆矩陣 6.2.3 用逆矩陣求解矩陣方程 6.2.1 矩陣的初等變換 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例一、案例 投資組合投資組合 某人用60萬元投資A、B兩個(gè)項(xiàng)目，其中項(xiàng)目A的收益率為7，項(xiàng)目B的收益率為12，最終總收益為5.6萬元問他在A、B項(xiàng)目上各投資了多少萬元？ 下面用高斯消元法求解此方程組，我們把方程消元的過程列在下表的左欄，系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)對應(yīng)的矩陣(增廣矩陣)變換過程列在下表的右欄 解設(shè)他在A、B項(xiàng)目上各投資了x1、x2萬元，根據(jù)題意，建立如下的線性方程組 12120.070.

2、125.660 xxxx方程組消元的過程 12120.070.125.6(1)60(2)xxxx增廣矩陣變換的過程 0.070.125.66011(1)、(2)互換 121260(1)0.070.125.6(2)xxxx第一行與第二行互換 60110.070.125.6100(2) 121260(1)712560(2)xxxx100乘以第二行 6011756012(2)-(1)712260(1)5140(2)xxx第一行的-7倍加到第二行 6011051401/5(2) 12260(1)28(2)xxx1/5乘以第二行 60110281(1)- (2) 123228xx第二行的-1倍加到第一行

3、 03210281從這個(gè)案例的求解過程還可以看出：求解線性方程組的過程實(shí)際上是對方程組接連地進(jìn)行了以下三種運(yùn)算： (1)將兩個(gè)方程的位置互換；(2)將一個(gè)方程乘以一個(gè)非零的常數(shù)；(3)將一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上對應(yīng)的增廣矩陣經(jīng)過了相應(yīng)的三種變換(1)互換矩陣的兩行；(2)用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行；(3)將矩陣的某一行乘以數(shù)k后加到另一行 矩陣的如下三種變換(3)將矩陣的某一行乘以數(shù)k后，加到另一行，常用 jirr (1)互換矩陣的兩行，常用 表示第i行與第j行 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩陣的初等變換矩陣的初等變換互換； (2)用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的某一行，常用 irk

4、 表示用數(shù)k乘以第i行； krrj表示第i行的k倍加到第j行 稱為矩陣的初等行變換.krrj把定義中的“行”換成“列”(所用記號把“r”換成“c”，即得矩陣的初等列變換. 矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換. 6.2.2逆矩陣的概念及用初等行變換求解逆矩陣 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進(jìn)一步的練習(xí) 一、案例一、案例汽車銷售量某一汽車銷售公司有兩個(gè)銷售部，矩陣S給一 二 18152417S大小月末盤點(diǎn)時(shí)統(tǒng)計(jì)得到兩個(gè)銷售部的利潤，用矩陣表示為 W=(37200 35050) 設(shè)兩種車的銷售利潤為矩陣P=(a,b) 則有 PS=W，問公司如何從PS=W中得到兩種車的銷售出了兩

5、個(gè)汽車銷售部的兩種汽車的銷量 利潤 P? 要解決這一問題，需要引入類似于數(shù)的除法的分析0a作用一個(gè)數(shù)的倒數(shù) 1a可用111aaaa來表示 運(yùn)算從矩陣的角度來看，單位矩陣E類似于數(shù)1的對于n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，使 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 逆矩陣 則稱方陣A是可逆的（簡稱A可逆），并稱B是A的逆ABBAIBA1矩陣，記作即11AAA AI滿足如下規(guī)律： 設(shè)A、B均為n階可逆矩陣，數(shù) 0，方陣的逆的運(yùn)算(1) 1A可逆，且 AA11)(2) A可逆，且 111)(AAAB可逆，且 111)(ABAB(3) 可逆，且 )()(11AA(4) A在給定的n階方陣的右邊放

6、一個(gè)n階單位矩陣I形成初等行變換求逆矩陣初等行變換求逆矩陣 一個(gè)n2n的矩陣 )(IA，然后對矩陣 )(IA實(shí)施初等行變換，直到將原矩陣A所在部分變成單位矩陣I，原單位矩陣部分經(jīng)同樣的初等變換后，所得1A到的矩陣就是A的逆矩陣，即 )()(1AIIA初等行變換 三、三、進(jìn)一步的練習(xí)進(jìn)一步的練習(xí)練習(xí)1 用電度數(shù)我國某地方為避開高峰期用電，實(shí)行分時(shí)段計(jì)費(fèi)，鼓勵(lì)夜間用電某地白天(AM8：00PM11：00)與夜間(PM11：00AM8：00)的電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為P，若某宿舍兩戶人某月的用電情況如下： 白天 夜間 174132150120一二 所交電費(fèi)F=(90.29 101.41)，問如何用矩陣的運(yùn)算表示當(dāng)

7、地的電費(fèi)？ 解 可以得到當(dāng)?shù)氐碾娰M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 FAP1下面用初等變換求 1A令 174132150120A，因?yàn)?FAP，等式兩邊同時(shí)左乘以矩陣 1A,1201501013217401114501303013217401r21145030331109110rr 21450130111901909r1258540909511101909rr 158510136036111401909r 29518036111909 即 1A所以 1PA F29518036111909 90.29101.41 0.4620 0.2323即白天的電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.462元/度，夜間電費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為0.2323元/度. 練習(xí)2 轉(zhuǎn)

8、動(dòng)矩陣機(jī)器人手臂的轉(zhuǎn)動(dòng)常用矩陣表示其中的元素為轉(zhuǎn)動(dòng)角的三角函數(shù)值求下面轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R的逆陣 8 . 00 . 06 . 00 . 00 . 10 . 06 . 00 . 08 . 0R解 因?yàn)?1008 . 00 . 06 . 00100 . 00 . 10 . 00016 . 00 . 08 . 01355403500010010304005rr 13107505010010304005rr 312510750501001034001055r 所以54053010530541A313107505010010002515020rr 1374310005501001034001055rr 6.2.3

9、 用逆矩陣求解矩陣方程 一、案例 二、概念和公式的引出 三、進(jìn)一步的練習(xí) 一、案例一、案例 輯毒船的速度 一艘載有毒品的船以63km/h的速度離開港口，由于得到舉報(bào)，24min后一輯毒船以75km/h的速度從港口出發(fā)追趕毒品走私船，問當(dāng)輯毒船追上載有毒品的船時(shí)，它們各行駛了多長時(shí)間？ 設(shè)當(dāng)輯毒船追上載有毒品的船時(shí)，載有毒品的船和輯毒船各行駛了x1，x2 h，由題意知，它們滿足 解 121263752460 xxxx即 1212637500.4xxxx記 637511A12xXx00.4B方程兩邊同時(shí)左乘 1A，得 BAX1由初等行變換，可以得到A的逆矩陣為 1175116312A所以 1XA

10、B1750302.5111630.425.22.11212一般地，對于矩陣方程AX=B，若矩陣A可逆，則 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 對于矩陣方程XA=B，若A可逆，則 BAX11 BAX若A、B均可逆，則矩陣方程AXB=C的解為 11BCAX 三、三、進(jìn)一步的練習(xí)進(jìn)一步的練習(xí)練習(xí)1 配料某工廠檢驗(yàn)室有甲、乙兩種不同的化學(xué)原料，甲種原料分別含鋅與鎂10%與20%，乙種原料分別含鋅與鎂10%與30%，現(xiàn)在要用這兩種原料分別配制A、B兩種試劑，A試劑需含鋅、鎂各2g、5g，B試劑需含鋅、鎂各1g、2g問配制A、B兩種試劑分別需要甲、乙兩種化學(xué)原料各多少g？ 設(shè)配制A試劑需要甲、乙兩種化學(xué)原料分別為x , y g；配制B試劑需要甲、乙兩種化學(xué)原料分別為s ,t g根據(jù)題意，得如下矩陣方程 解 0.10.10.20.3xsyt設(shè) 3 .02 .01 .01 .0AtysxX2512B則 BAX1下面用初等行變換求