高考試題分類(lèi)解析圓錐曲線方程

1、2006年高考試題分類(lèi)解析（圓錐曲線方程2）31(2006年重慶卷)已知一列橢圓Cn:x2+=1.0bn1,n=1,2.若橢圓C上有一點(diǎn)Pn使Pn到右準(zhǔn)線ln的距離d.是PnFn與PnCn的等差中項(xiàng)，其中Fn、Cn分別是Cn的左、右焦點(diǎn).（）試證：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面積，試證：S1S1且SnSn+3 (n3).圖()圖證：（1）由題設(shè)及橢圓的幾何性質(zhì)有 設(shè)因此，由題意應(yīng)滿足即即,從而對(duì)任意（）設(shè)點(diǎn)得兩極，從而易知f(c)在（，）內(nèi)是增函數(shù)，而在（，1）內(nèi)是減函數(shù).現(xiàn)在由題設(shè)取是增數(shù)列.又易知故由前已證，知32（2006年上海春卷）學(xué)校科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航

2、天器變軌返回試驗(yàn). 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針?lè)较颍┑能壽E方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱軸、 為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為. 觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問(wèn)：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解：（1）設(shè)曲線方程為，由題意可知，. . 4分 曲線方程為. 6分 （2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知 得 ，或（不合題意，舍去）. 9分 得 或（不合題意，舍去）. 點(diǎn)的坐標(biāo)為， 11分.答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得距離分別為時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令. 14分33（

3、2006年全國(guó)卷II）已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（0）過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明·為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫(xiě)出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值解：()由已知條件，得F(0，1)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)，將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導(dǎo)得yx所以過(guò)拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點(diǎn)M的

4、坐標(biāo)為(，)(，1) 4分所以·(，2)·(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0所以·為定值，其值為07分()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當(dāng)1時(shí)，S取得最小值434（2006年四川卷）已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)，如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積解析：本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)及解析幾何的基本

5、思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力。滿分12分。解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知故曲線的方程為設(shè)，由題意建立方程組消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有解得又依題意得 整理后得 或 但故直線的方程為設(shè)，由已知，得，又，點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為到的距離為的面積35（2006年全國(guó)卷I）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（）點(diǎn)M的軌跡方程；（）的最小值。解：（I）根據(jù)題意，橢圓半焦距長(zhǎng)為，

6、半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，半短軸長(zhǎng)，即橢圓的方程為。設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）（其中），則切線C的方程為：點(diǎn)A坐標(biāo)為：（，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，）點(diǎn)M坐標(biāo)為：（，）所以點(diǎn)M的軌跡方程為：（且）（II）等價(jià)于求函數(shù) （其中）的最小值當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)即。因此，點(diǎn)M坐標(biāo)為（，）時(shí)，所求最小值為。36（2006年江蘇卷）已知三點(diǎn)P（5，2）、（6，0）、（6，0）。（）求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點(diǎn)P、關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，求以、為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：（I）由題意，可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+，其半焦距。， ，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+；（II）點(diǎn)P（5，2）、（6，0）、（6

7、，0）關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)分別為：、（0，-6）、（0，6）設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-，由題意知半焦距， ，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力37.（2006年湖北卷）設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線.（）求橢圓的方程；（）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線、分別與橢圓相交于異于、的點(diǎn)、，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).（此題不要求在答題卡上畫(huà)圖）解析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問(wèn)題的能力。解：（）依題意得

8、 a2c，4，解得a2，c1，從而b.故橢圓的方程為 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x0，y0）.M點(diǎn)在橢圓上，y0（4x02）. 又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，2<x0<2，由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P（4，）. 從而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 將代入，化簡(jiǎn)得·（2x0）.2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。解法2：由（）得A（2，0），B（2，0）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則2<x1<2，2<x2<2，

9、又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差(2）2（）2(x1x2)2(y1y2)2 （x12) (x22)y1y1又直線AP的方程為y，直線BP的方程為y，而點(diǎn)兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在準(zhǔn)線x4上，即y2又點(diǎn)M在橢圓上，則，即于是將、代入，化簡(jiǎn)后可得.從而，點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。38（2006年江西卷）如圖，橢圓Q：（a>b>0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)（1） 求點(diǎn)P的軌跡H的方程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0<q£ ），確定q的

10、值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x1¹x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2a2y2b2cx0（2）因?yàn)?，橢圓Q右準(zhǔn)線l方程是x，原點(diǎn)距l(xiāng)的距離為，由于c2a2b2，a21cosqsinq，b2si

11、nq（0<q£）則2sin（）當(dāng)q時(shí)，上式達(dá)到最大值。此時(shí)a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1設(shè)橢圓Q：上的點(diǎn) A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S|y1|y2|y1y2|設(shè)直線m的方程為xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韋達(dá)定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk21³1，得4S2，當(dāng)t1，k0時(shí)取等號(hào)。因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大。39（2006年天津卷）如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限

12、內(nèi)的點(diǎn)連結(jié)交小圓于點(diǎn)設(shè)直線是小圓的切線（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明（1）證明：由題設(shè)條件知，故，即因此，解：在中，于是，直線的斜率設(shè)直線的斜率為，則這時(shí)，直線的方程為，令，則所以直線與軸的交點(diǎn)為（2）證明：由（1），得直線的方程為，且由已知，設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去，并整理得由式、和，由方程組消去，并整理得由式和，綜上，得到注意到，得40（2006年遼寧卷）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求p的值。(I)證明1:整理得:

13、設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明2:整理得:.(1)設(shè)(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則即去分母得:點(diǎn)滿足上方程,展開(kāi)并將(1)代入得:故線段是圓的直徑證明3:整理得:(1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開(kāi)并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.解法2: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因?yàn)閤-2y+2=0與無(wú)公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-

14、2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因當(dāng)時(shí),d有最小值,由題設(shè)得.點(diǎn)評(píng)：本小題考查了平面向量的基本運(yùn)算,圓與拋物線的方程.點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí),以及綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力.41（2006年北京卷）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（）求的方程；（）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（）由知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長(zhǎng)又半焦距，故虛半軸長(zhǎng)所以的方程為（）設(shè)的坐標(biāo)分別為，當(dāng)軸時(shí)，從而當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，與的方程

15、聯(lián)立，消去得故所以又因?yàn)?，所以，從而綜上，當(dāng)軸時(shí)，取得最小值242（2006年上海卷）在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn)（1）求證：“如果直線過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫(xiě)出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由證明：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與拋物線相交于點(diǎn)， 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，其中由得，則 又，綜上所述，命題“如果直線過(guò)點(diǎn)，那么”是真命題 解：（2）逆命題是：設(shè)直線交拋物線于兩點(diǎn)，如果，那么該直線過(guò)點(diǎn)該命題是一個(gè)假命題 例如：取拋物線上的點(diǎn)，此時(shí)，直線的方程是，而不在直線

16、上說(shuō)明：由拋物線上的點(diǎn)滿足，可得或如果，可證得直線過(guò)點(diǎn)；如果，可證得直線過(guò)點(diǎn)，而不過(guò)點(diǎn)43（ 2006年浙江卷）如圖，橢圓1（ab0）與過(guò)點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.()求橢圓方程；()設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：ATM=AFT.解（1）過(guò)點(diǎn)的直線方程為，由題意得有唯一解，即有唯一解，故，即，從而得，故所求的橢圓方程為（2）由（1）得，故，從而由解得，所以因?yàn)?，又，得因此點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力44.( 2006年湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線

17、C2:,且C1、C2的公共弦AB過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn).()當(dāng)AB軸時(shí),求、的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；()是否存在、的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（）當(dāng)ABx軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以m0，直線AB的方程為x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即. 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上. （）解法一當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得. 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程的兩根，x1x2.AyBOx因?yàn)锳B既是過(guò)C1的右焦點(diǎn)的弦，又是過(guò)C2的焦點(diǎn)的弦，所以，且.從而.所以，即.解得.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.即.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.解法二當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得.