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文檔簡介

1、-鏈式法則鏈式法則 第四節(jié)第四節(jié) 復合函數的求導法則復合函數的求導法則情形一情形一:中間變量為一元函數中間變量為一元函數定定理理如如果果函函數數)(tu 及及)(tv 都都在在點點t可可導導，函函數數),(vufz 在在對對應應點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數數，則則復復合合函函數數)(),(ttfz 在在對對應應點點t可可導導，且且其其導導數數可可用用下下列列公公式式計計算算： dtdvvzdtduuzdtdz 如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數以上公式中的導數 稱為全導數稱為全導數.dtdz定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況定理的結論

2、可推廣到中間變量多于兩個的情況.例例1.設設z=arcsin(u-v),u= ,v=cos t, 求求 .tedzdtdudt法一法一:按鏈式法則按鏈式法則:法二法二:直接代入直接代入,成為成為z=z(t),再求導再求導.例例2.u=f(Rcost,Rsint,vt),R,V為常數為常數,求求 情形二情形二: 中間變量為多元函數中間變量為多元函數),(),(yxyxfz 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導導數數，且且函函數數),(vufz 在在對對應應點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數數，則則復復合合函函數數),(),(yxyxf

3、z 在在對對應應點點),(yx的的兩兩個個偏偏導導數數存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz . uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類類似似地地再再推推廣廣，設設),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導導數數，復復合合函函數數),(),(),(yxwyxyxfz 在在對對應應點點),(yx兩兩個個偏偏導導數數存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx情形三情形三:中間變量既有一元函數中間變量既有一元函數,又有多元函數又有多元函數 z=f(x,y), x=u(s,t) ,y=v(t) ,那么那么 dtdyyftxxftzsxxfsz可微 求(),f,.yzfdzx22zz,.xyzfx xyxy求例例5例例6多元復合函數求高階偏導數多元復合函數求高階偏導數:例例8.

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