1.2二階常系數(shù)齊次微分方程B..ppt課件

1、n一、定義一、定義)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式階常系數(shù)線性微分方程的標準形式0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 設設將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy1. 1. 有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根

2、,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個線性無關的特解兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為:分三種情形2.2.有兩個相等的實根有兩個相等的實根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設設另另一一特特解解為為特征根為特征根為3.3.有一對

3、共軛復根有一對共軛復根,1ir,2ir,)(1xiey,)(2xiey)0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法確定其通解的方法稱為特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例1 1.052的的通通解解求求方方程程

4、 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2三、三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對應項通解中的對應項rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 ik復根重共軛若是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110注意注意n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個根個根, 而特征方程的每一個而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項

5、根都對應著通解中的一項, 且每一項各一個且每一項各一個任意常數(shù)任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211特征根為特征根為, 154321irrirrr故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例3 3四、小結四、小結二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1寫出相應的特征方程寫出相應的特征方程;（2求出特征根求出特征根;（3根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相

6、應的通解得到相應的通解. (見下表見下表)02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達達式式實實根根21rr 實實根根21rr 復復根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 思考題解答思考題解答, 0 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 那么那么, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解:

7、: 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2 2、3,0,013400 xxyyyyy. .三、三、 求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程求作一個二 階常系數(shù) 齊次線性微分方程, ,使使3,2,1 xxxeee都是它的解都是它的解 . .四、四、 設圓柱形浮筒設圓柱形浮筒, ,直徑為直徑為m5 . 0, ,鉛直放在水中鉛直放在水中, ,當稍當稍向下壓后突 然放開向下壓后突 然放開, ,浮筒 在水中上 下振動的浮筒 在水中上 下振動的s2周周期期為為, ,求浮筒的質量求浮筒的質量 . .練練 習習 題題練習題答案練習題答案一、一、1 1、xeCCy421 ； 2 2、tetCCx2521)( ； 3 3、)2sin2cos(213xCxCeyx ； 4 4、xCxCeCeCy