新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)優(yōu)秀教案必修12.示范教案1.2集合間的基本關(guān)系

1、研卷知古今；藏書(shū)教子孫。1.1.2集合間的基本關(guān)系整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析課本從學(xué)生熟悉的集合(自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等)出發(fā)，通過(guò)類(lèi)比實(shí)數(shù)間的大小關(guān)系引入集合間的關(guān)系，同時(shí)，結(jié)合相關(guān)內(nèi)容介紹子集等概念.在安排這部分內(nèi)容時(shí)，課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法，如類(lèi)比等.值得注意的問(wèn)題：在集合間的關(guān)系教學(xué)中，建議重視使用 Venn圖,這有助于學(xué)生通過(guò)體會(huì)直觀 圖示來(lái)理解抽象概念；隨著學(xué)習(xí)的深入，集合符號(hào)越來(lái)越多，建議教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分一些容 易混淆的關(guān)系和符號(hào)，例如C與 的區(qū)別.三維目標(biāo)1 .理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集，能判斷給定集合間的關(guān)系，提高利用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的能力.2 .在具

2、體，f#境中，了解空集的含義，掌握并能使用 Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系，加強(qiáng)學(xué)生從具體到 抽象的思維能力，樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解集合間包含與相等的含義.教學(xué)又t點(diǎn)：理解空集的含義.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.實(shí)數(shù)有相等、大小關(guān)系，如5=5,5<7,5>3等等,類(lèi)比實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，你會(huì)想到集合之間 有什么關(guān)系呢？(讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不要急于作出判斷，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生)欲知誰(shuí)正確，讓我們一起來(lái)觀察、研探.思路2.復(fù)習(xí)元素與集合的關(guān)系 屬于與不屬于的關(guān)系，填空：(1)0N;(2)2Q;(3)-1.5R.類(lèi)比實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，如5<7,2W紙想集合間是否有

3、類(lèi)似的大小”關(guān)系呢？(答案： e；(2) ;(3)e)推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題(1)觀察下面幾個(gè)例子：人二。？?2,?，5；設(shè)A為國(guó)興中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合，B為這個(gè)班學(xué)生的全體組成的集合；設(shè)C=x|x是兩條邊相等的三角形,D=x|x是等腰三角形;E=2,4,6,F=6,4,2.你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系嗎？(2)例子中集合A是集合B的子集，例子中集合E是集合F的子集，同樣是子集，有什么區(qū) 別？(3)結(jié)合例子，類(lèi)比實(shí)數(shù)中的結(jié)論：若aw閏.bw劇a=b”在集合中，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？(4)按升國(guó)旗時(shí)，每個(gè)班的同學(xué)都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi)，從樓頂向下看，每位同學(xué)是哪個(gè)班的

4、，一目了然.試想一下，根據(jù)從樓頂向下看的，要想直觀表示集合，聯(lián)想集合還能 用什么表示？試用Venn圖表示例子中集合 A和集合B.(6)已知A B,試用Venn圖表示集合 A和B的關(guān)系.(7)任何方程的解都能組成集合，那么x2+1=0的實(shí)數(shù)根也能組成集合，你能用Venn圖表示這個(gè) 集合嗎？(8)一座房子內(nèi)沒(méi)有任何東西，我們稱(chēng)為這座房子是空房子，那么一個(gè)集合沒(méi)有任何元素，應(yīng)該 如何命名呢？(9)與實(shí)數(shù)中的結(jié)論 若a> t< b>則a>而類(lèi)比，在集合中，你能得出什么結(jié)論？ 活動(dòng)：教師從以下方面引導(dǎo)學(xué)生：(1)觀察兩個(gè)集合間元素的特點(diǎn).(2)從它們含有的元素間的關(guān)系來(lái)考慮.規(guī)定

5、:如果A J B,但存在xC B,且xA,我們稱(chēng)集合 A是集合B的真子集，記作A旦B(或BmA).(3)實(shí)數(shù)中的“w璞比集合中的J.(4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的，學(xué)生看成集合中的元素，從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi).教師指出：為了直觀地表示集合間的關(guān)系 ，我們常用平面上封閉曲 線的內(nèi)部彳t表集合，這種圖稱(chēng)為Venn圖.(5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等，沒(méi)有限制.(6)分類(lèi)討論：當(dāng)A±B時(shí),A呈B或A=B.(7)方程x2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解.(8)空集記為0，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，即三0 A;空集是任何非空集合的真子集，即0 *A(Aw0).(9)

6、類(lèi)比子集.討論結(jié)果：(1)集合A中的元素都在集合B中；集合A中的元素都在集合B中；集合C中的元素都在集合D中；集合E中的元素都在集合 F中.可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)集合 A,B有下列關(guān)系：集合A中的元素都在集合 B中;或集合B中的 元素都在集合A中.(2)例子中AB,但有一個(gè)兀素4 C B,且4走A;而例子中集合 同.若AB,且BA,則A=B.(4)可以把集合中元素寫(xiě)在一個(gè)封閉曲線的內(nèi)部來(lái)表示集合.如圖1121所示表示集合 A,如圖1122所示表示集合 B.C?)二、口J 圖 1-1-2-1、J(6)如圖1-1-2-3和圖1-1-2-4所示.CD 1-1-2-3不能.因?yàn)榉匠蘹2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)

7、解.(8)空集.E和集合F中的兀素完全相圖 1-1-2-2圖 1-1-2-4(9)若 AGB,BEC則 AEC;若 A呈B,B呈C,則 A基C.應(yīng)用示例思路11 .某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長(zhǎng)度上都合格時(shí)，該產(chǎn)品才合格.若用A表示合格產(chǎn)品的集合，B表示重量合格的產(chǎn)品的集合，C表示長(zhǎng)度合格的產(chǎn)品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)則下列包含關(guān)系哪些成立？A三B,B三A,A三C,C三A.(2)試用Venn圖表示集合A、B、C間的關(guān)系.活動(dòng)：學(xué)生思考集合間的關(guān)系以及Venn圖的表示形式.當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí),則A工B成立，否則A工B不成立.用相同的方法判斷其他包含關(guān)系是否成立.教師提

8、示學(xué)生以下兩點(diǎn)：(1)重量合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定重量合格；長(zhǎng)度合格的產(chǎn)品不一定是合格產(chǎn)品，但合格的產(chǎn)品一定長(zhǎng)度合格.(2)根據(jù)集合A、B、C間的關(guān)系來(lái)畫(huà)出 Venn圖.解：(1)包含關(guān)系成立的有：B = A,CEA.(2)集合A、B、C間的關(guān)系用Venn圖表示，如圖1-1-2-5所示.變式訓(xùn)練課本P7練習(xí)3.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合間的包含關(guān)系.其關(guān)鍵是首先明確兩集合中的元素具體是什么.判斷兩個(gè)集合 A、B之間是否有包含關(guān)系的步驟是：先明確集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之間的關(guān)系 相:當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，有A三B;當(dāng)集合A中的元素都屬于集合 B,當(dāng)

9、集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí)，有A基B;當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B,并且集合B中的元素也都屬于集合A時(shí)，有A=B;當(dāng)集合A中至少有一個(gè)元素不屬于集合B,并且集合B中至少有一個(gè)元素也不屬于集合A時(shí)，有A里B,且BA,即集合A、B互不包含.2 .寫(xiě)出集合a,b的所有子集，并指出哪些是它的真子集.活動(dòng)：學(xué)生思考子集和真子集的定義，教師提示學(xué)生空集是任何集合的子集，一個(gè)集合不是其 本身的真子集.按集合a,b的子集所含元素的個(gè)數(shù)分類(lèi)討論.解：集合a,b的所有子集為 0 ,a,b,a,b.真子集為0 ,a,b. 變式訓(xùn)練2007山東濟(jì)寧一模,1已知集合P=1,2,那么滿(mǎn)足Q三P的集合Q的個(gè)數(shù)是(

10、)A.4B.3C.2D.1分析:集合P=1,2含有2個(gè)元素，其子集有22=4個(gè)， 又集合QEP所以集合Q有4個(gè).答案：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查子集和真子集的概念，以及分類(lèi)討論的思想.通常按子集中所含元素的個(gè) 數(shù)來(lái)寫(xiě)出一個(gè)集合的所有子集，這樣可以避免重復(fù)和遺漏.思考:集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有多少個(gè)子集？多少個(gè)真子集？解：當(dāng)n=0時(shí)，即空集的子集為 0,即子集的個(gè)數(shù)是1=20；當(dāng)n=1時(shí)，即含有一個(gè)元素的集合如a的子集為0 ,a,即子集的個(gè)數(shù)是2=21；當(dāng)n=2時(shí)，即含有一個(gè)元素的集合如a,b的子集為0 ,a,b,a,b,即子集的個(gè)數(shù)是4=22.集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有2n個(gè)子集，

11、由于一個(gè)集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n-i)個(gè)真子集.思路21.2006上海高考，理1已知集合A=-1,3,2m-1,集合B=3,m 2.若B J A,則實(shí)數(shù)m=. 活動(dòng)：先讓學(xué)生思考B JA的含義，根據(jù)B JA,知集合B中的元素都屬于集合 A,集合元素的 互異性，列出方程求實(shí)數(shù) m的值.因?yàn)锽 JA,所以3C A,m2C A.對(duì)m2的值分類(lèi)討論.解：B 工A, 3c A,m2C A.m2=-1(舍去)或 m2=2m-1.解得 m=1. m=1.答案：1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互異性.本題容易出現(xiàn) m2=3,其原因是忽視了集合元素的互異性.避免此類(lèi)錯(cuò)誤的方

12、法是解得m的值后，再代入驗(yàn)證.討論兩集合之間關(guān)系時(shí)，通常依據(jù)相關(guān)的定義，觀察這兩個(gè)集合元素的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為解方程或 解不等式.變式訓(xùn)練已知集合 M=x|2-x<0,集合N=x|ax=1,若N基M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析:集合N是關(guān)于x的方程ax=1的解集，集合M=x|x>2豐0曲于N基M,則N=0或Nw。, 要對(duì)集合N是否為空集分類(lèi)討論.解：由題意得 M=x|x>2 w 0 ,則N=?；騈w 0 .當(dāng)N= 0時(shí)，關(guān)于x的方程ax=1中無(wú)解，則有a=0;當(dāng)Nw。時(shí)，關(guān)于x的方程ax=1中有解，則aw0此時(shí)x= 1，又二 N呈M,1 C M.，1 >2. aa a0<

13、a< 1 .綜上所得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=0或0<a<-，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|0 < a<2222.(1)分別寫(xiě)出下列集合的子集及其個(gè)數(shù)：0 ,a,a,b,a,b,c.(2)由(1)你發(fā)現(xiàn)集合M中含有n個(gè)元素，則集合M有多少個(gè)子集？活動(dòng)：學(xué)生思考子集的含義，并試著寫(xiě)出子集.(1)按子集中所含元素的個(gè)數(shù)分類(lèi)寫(xiě)出子集;(2)由(1)總結(jié)當(dāng)n=0,n=1,n=2,n=3時(shí)子集的個(gè)數(shù)規(guī)律，歸納猜想出結(jié)論.答案：0的子集有：0,即 有1個(gè)子集；a的子集有：0、a,即a有2個(gè)子集;a,b的子集有：0、a、b、a,b,即a,b有 4 個(gè)子集;a,b,c的子集有：。、a、b

14、、c、a,b、a,c、b,c、a,b,c,即a,b,c有 8個(gè)子集.(2)由(1)可得：當(dāng)n=0時(shí)，有1=20個(gè)子集；當(dāng)n=1時(shí)，集合M有2=21個(gè)子集；當(dāng)n=2時(shí)，集合M有4=22個(gè)子集；當(dāng)n=3時(shí)，集合M有8=23個(gè)子集；因此含有n個(gè)元素的集合 M有2n個(gè)子集.變式訓(xùn)練已知集合A基2,3,7,且A中至多有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合 A有()A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)分析:對(duì)集合A所含元素的個(gè)數(shù)分類(lèi)討論.A= 0或2或3或7或2,3或2,7共有6個(gè).答案：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查子集的概念以及分類(lèi)討論和歸納推理的能力.集合M中含有n個(gè)元素,則集合M有2n個(gè)子集，有2n-1個(gè)真子集，記住這個(gè)結(jié)論

15、，可以提高解題速度.寫(xiě)一個(gè)集合的子集 時(shí),按子集中元素的個(gè)數(shù)來(lái)寫(xiě)不易發(fā)生重復(fù)和遺漏現(xiàn)象知能訓(xùn)練課本P7練習(xí)1、2.【補(bǔ)充練習(xí)】1 .判斷正誤：(1)空集沒(méi)有子集.()(2)空集是任何一個(gè)集合的真子集.()(3)任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上子集.()(4)若B1A,那么凡不屬于集合A的元素，則必不屬于B.()分析:關(guān)于判斷題應(yīng)確實(shí)把握好概念的實(shí)質(zhì).解：該題的5個(gè)命題，只有(4)是正確的，其余全錯(cuò).對(duì)于(1)、(2)來(lái)講，由規(guī)定：空集是任何一個(gè)集合的子集，且是任一非空集合的真子集.對(duì)于(3)來(lái)講，可舉反例，空集這一個(gè)集合就只有自身一個(gè)子集.對(duì)于來(lái)講，當(dāng)x C B時(shí)必有x C A,則x正A時(shí)也必有x弟

16、B.2 .集合A=x|-1<x<3,x CZ,寫(xiě)出A的真子集.分析：區(qū)分子集與真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一個(gè)含有n個(gè)元素的子集有2n 個(gè)，真子集有2n-1個(gè)，則該題先找該集合元素，后找真子集.解：因！<x<3,xCZ，故 x=0,1,2,即 a=x|-1<x<3,x 6 Z=0,1,2.真子集：0、1、2、0、0,1、0,2、1,2,共 7 個(gè).3 .(1)下列命題正確的是()A.無(wú)限集的真子集是有限集B.任何一個(gè)集合必定有兩個(gè)子集C.自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集D.1是質(zhì)數(shù)集的真子集(2)以下五個(gè)式子中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()1 C 0,1,21,-

17、3=-3,10,1,2 J 1,0,2D.4(D.a M，必須對(duì)概念把握準(zhǔn)確， 0 c 0,1,2 0 c 0A.5B.2C.3(3)M=x|3<x<4,a=則下列關(guān)系正確的是A.a基 MB.a 更 MC.a C M分析：(1)該題要在四個(gè)選擇肢中找到符合條件的選擇肢無(wú)限集的真子集有可能是無(wú)限集，如N是R的真子集，排除A；由于0只有一個(gè)子集，即它本身, 排除B;由于1不是質(zhì)數(shù)排除D.(2)該題涉及到的是元素與集合，集合與集合的關(guān)系.應(yīng)是1工0,1,2,應(yīng)是0三0,1,2,應(yīng)是0三0.故錯(cuò)誤的有.(3)M=x|3<x<4,a= 兀,因3<a<4,故a是M的一個(gè)

18、元素.a是x3<x<4的子集，那么a呈M.答案：(1)C (2)C (3)D4 .判斷如下集合 A與B之間有怎樣的包含或相等關(guān)系：(1)A=x|x=2k-1,k CZ ,B=x|x=2m+1,m CZ;(2)A=x|x=2m,m 6 Z,B=x|x=4n,n 6 Z.解：因 A=x|x=2k-1,k CZ ,B=x|x=2m+1,m CZ,故 A、B 都是由奇數(shù)構(gòu)成的，即 A=B.(2)因 A=x|x=2m,m CZ ,B=x|x=4n,n CZ,又 x=4n=2 2n,在x=2m中,m可以取奇數(shù)，也可以取偶數(shù)；而在x=4n中,2n只能是偶數(shù).故集合A、B的元素都是偶數(shù).但B中元素

19、是由A中部分元素構(gòu)成，則有B基A.點(diǎn)評(píng)：此題是集合中較抽象的題目.要注意其元素的合理尋求.5 .已知集合P=x|x 2+x-6=0, Q=x|ax+1=0滿(mǎn)足qW p求a所取的一切值.解：因 P=x|x2+x-6=0=2,-3,當(dāng) a=0 時(shí),Q=x|ax+1=0= 0 ,Q旦 P 成立.又當(dāng) awo時(shí),Q =x|ax+1=0= _1,要 Q基 p 成立，則有1=2 或一)=-3,a=或 a=1 .aa a 23綜上所述,a=0或 a= 1 或 a=-.23點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)題目給的條件中含有字母，一般需分類(lèi)討論.本題易漏掉a=0,ax+1=0無(wú)解，即Q為空集的情況，而當(dāng)Q =0時(shí)，滿(mǎn)足Q基P.6 .

20、已知集合 A=x CR|x2-3x+4=0,B=x C R|(x+1)(x 2+3x-4)=0,要使 A基 P2 B,求滿(mǎn)足條件的集合P.解：由 A=x C R|x2-3x+4=0= 0 ,B=x £ R |(x+1)(x2+3x-4)=0=-1,1,-4,由A P £ B知集合P非空，且其元素全屬于B,即有滿(mǎn)足條件的集合P為1或-1或-4或-1,1或-1,-4或1,-4或-1,1,-4.點(diǎn)評(píng)：要解決該題，必須確定滿(mǎn)足條件的集合P的元素，而做到這點(diǎn)，必須明確A、B,充分把握子集、真子集的概念，準(zhǔn)確化簡(jiǎn)集合是解決問(wèn)題的首要條件.7 .設(shè)A=0,1,B=x|x三A,則A與B應(yīng)具

21、有何種關(guān)系？解：因 A=0,1,B=x|x 三 A,故 x 為 0 ,0,1,0,1,即0,1是 B 中一一元素 .故 A C B.點(diǎn)評(píng)：注意該題的特殊性，一集合是另一集合的元素.8 .集合 A=x|- 2< x< 5,B=x|m+1& x- 1,2m若BA,求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)x C Z時(shí)，求A的非空真子集個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)x C R時(shí)，沒(méi)有元素x使xCA與xCB同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1)當(dāng) m+1>2m-1 即 m<2 時(shí),B=0 滿(mǎn)足 B£A.當(dāng)m+K 2m-1即m>2時(shí)，要使B三A成立，m +1 之 2m -1.需3&#

22、39;可得2wm<陳上所得實(shí)數(shù) m的取值范圍3.m +1 >5(2)當(dāng) xCZ 時(shí),A=-2,-1,0,1,2,3,4,5,所以,A的非空真子集個(gè)數(shù)為 2上標(biāo)8-2=254.(3) x R，且 A=x|-2W xW 5,B=x|m+1< x-1,2m沒(méi)有元素 x 使 x C A 與 xC B 同時(shí)成立.則若Bw0即m+1>2m-1,得m<2時(shí)滿(mǎn)足條件；若Bw._ ,則要滿(mǎn)足條件有'm+1 < 2m-1, m +1 > 5,'m 十1 E 2m -1, 或2m-1 < -2解之，得m>4.綜上有m<2或m>4.點(diǎn)評(píng)

23、：此問(wèn)題解決要注意：不應(yīng)忽略0；找A中的元素；分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.拓展提升問(wèn)題：已知A三B,且A=C,B=0,123,4,C=0,2,4,8,則滿(mǎn)足上述條件的集合 A共有多少個(gè)？ 活動(dòng)：學(xué)生思考A£B,且AJC所表達(dá)的含義 .AJB說(shuō)明集合A是集合B的子集，即集合A 中元素屬于集合B,同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C 的公共元素.思路1 :寫(xiě)出由集合B和集合C的公共元素所組成的集合，得滿(mǎn)足條件的集合 A；思路2:分析題意，僅求滿(mǎn)足條件的集合A的個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個(gè)數(shù).解法一：因 A 土 B,A 土 C,B=0,123,4,C=0,2,4,8,