研究生矩陣論課后習(xí)題答案(全)習(xí)題二

1、本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!D4()D3()(1)習(xí)題二1.化下列矩陣為Smith標(biāo)準(zhǔn)型:(1)(2)(3)(4)解：(1)c22c1c3 c11)20對矩陣作初等變換則該矩陣為1)Smith標(biāo)準(zhǔn)型為(2)矩陣的各階行列式因子為D4()44 _(1),D3()從而不變因子為6( )1,d2()D2()D1()故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為(1),d3(C3r12(c2(1)1)1)2 _1)，D2(D3()D2()1),d4(1),D1()1,2本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!00100(1)0000(3)對矩陣作初等變換 故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)型為1 1(4)對矩陣作初等變換在最

2、后的形式中，可求得行列式因子32 D5( )(1) ,D4()于是不變因子為0000(1)0220(1)52(1) (1)(1),D3( ) D2( )D1( ) 1,d1( ) d2()d3( ) 1,d4()D4()D3()1),d5()D5()D4()2(1)故該矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為10 0000100000 1000 0 0(1)0一一一一200002(1)2.求下列矩陣的不變因子:210(1)021002本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！3)100054001200( 4)12解： ( 1)該而01122000矩陣的右上角的20.002 階子式為1，故3D3( ) (2)3，所

3、以該矩陣的不變因子為2d1( ) d2( ) 1,d3( ) (2)2;2)當(dāng)0 時，由于D4( ) ()4,D3( ) ()2， D2( ) D1( ) 1，故不變因子為22d1( ) d2( ) 1 ， d3( ) () ,d4( ) ()當(dāng) 0 時，由于22D4( ) ()22，且該矩陣中右上角的3 階子式為2 (),且 ( 2 (),D4( ) 1，則 D3 ( ) 1 ，故D2 ( ) D1( ) 1 ，所以該矩陣的不變因子為22d1( )d2( )d3( ) 1, d4( ) ();( 3)該矩陣的右上角的3 階子式為1，故131616452373576 ； （ 2）221 ； （

4、 3）2526871114103Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形：1）所以該矩陣的不變因子為所以該3求下列故初等因子為故不變因子為D4( )d1( )d2( ) d3(矩陣的行列式因子為D1( ) D2( )矩陣的不變因子為d1( ) d2( )矩陣的初等因子：4 233245，1, d4()432 45;D3(d3(1,D4(1,d4(2)4,2)4.1)232)2解： （1）該(2) 該矩陣的行列式因子為因此，初等因子為3222矩陣的行列式因子為23222D1( ) 1,D2(21,(1)2；D1( )1,D2( )1,1,1.1)(1)(1)2，1)2，4求下列矩陣的本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支

5、持！請幫忙下載支持!114)3322103 ； ( 5)1223386； ( 6)141012340123.00120001解：(1)設(shè)該矩陣為A,則100EA 01023)0 0 (1)2(故 A 的初等因子為2(1)2(3)，則 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形為(2)設(shè)該矩陣為A,則EA故 A 的初等因子為從而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為(3)設(shè)該矩陣為A,則EA300011；001100010，30 0 (1)3(1)3，11001 1；00110001020 0(1)(21)故 A 的初等因子為從而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！1該 矩陣的各階行列式因子為(4)

6、設(shè)該矩陣為A,則故 A 的初等因子為從而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為(5)設(shè)該矩陣為A,則E故 A 的初等因子為從而A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為(6)設(shè)該矩陣為A,則EA1000 i000i100EA 002，,000001;000100A 01020 0(1)2,(1)2，000011;001123012001000本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!(1)4,(1)4,Di()D2()D3()1,D4()則不變因子為di()d2()d3()1,d4()故初等因子為4(1),則A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為110 00 110.0 0 110 0 0 15.設(shè)矩陣142A 034 ,043求A5.解：矩陣

7、A的特征多項式為5)2,(1, 2,1)T.fA( ) | I A (1)(故A的特征值為1 1, 23 5.屬于特征值1 1的特征向量為1(1,0,0) T,屬于235的特征向量為 2(2,1,2)T, 3設(shè)1 21P 1, 2, 30 12 ,0 21則A P P 1.,故100050,005本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持！44A5P 5P 114 543 54 103 544 5404 543 5416.設(shè)矩陣211A212112求 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形 J ，并求相似變換矩陣P ，使得 P 1 APJ .解：(1)求A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J .2IA 21故其初等因子為故

8、A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形1111201201,(1)2，001020(1)2100J 011001(2)求相似變換矩陣P .考慮方程組(I A)X解之,得111 x10, 即 222x20,111x310X10 , X211其通解為本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!kik1X1 k2X2=k2,ki k2其中ki,k2為任意常數(shù).考慮方程組k12 kl k22 klk2111 k11112 2 2 k20 0 01 11k1k20 0 0故當(dāng)2kl k2 0時,方程組有解.取k1 1,k22,解此方程組 得0X30 .1則相似變換矩陣1 0 0P X1,X2,X30 1011 17.設(shè)矩

9、陣10 2A 01 1 ,010試計算 2A8 3A5 A4 A2 4I .解：矩陣A的特征多項式為fA（ ） | I A 3 21,由于2 4(321)f(24 203710),本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!43 c 2 c566其中f()2 5 4 3 5 2 914.A3 2AI O,48262A88.證明:_542_23A A A 4I =24A任意可逆矩陣A的逆矩陣證明：設(shè)矩陣A的特征多項式為fA()37A 10I956161 .34ai1可以表示為A的多項式.n 2 a?an 1an,Anan iA anIO,A(AnaAn2a2An 3L an 1I)anI ,因為A可逆，

10、故an ( 1)n9.設(shè)矩陣試計算(A4 5A3 6A2A0,則6A 8I)解：矩陣A的特征多項式為fA()A22 57,2A7IO,257)(1)1,本文檔如對你有幫助，請幫忙下載支持!(A4 5A3 6A2 6A 8I)1 (AI)10.已知3階矩陣A的三個特征值為1, - 1, 2,試將A2n表示為A的二次式.解：矩陣A的特征多項式為fA( ) I A (1)(1)(2)，則設(shè)2n f( )g( ) a 2 b c,由 f (1) 0, f( 1) 0, f (2) 0,得解之，得a 1(22n 1),b 0,c1(22n 4),33因此A2naA2 bA cI 1(22n 1)A2 1(22n 4)I3311.求下列矩陣的最小多項式：3 11422(1) 020; (2)575;111674(3)n階單位陣In； (4) n階方陣A,其元素均為1；a。a a2 a3Aa°a3 a2a2 a3a0 aa3a2 aaO3 11解:(1)設(shè)A 0 20 ,則1 1110002000(2)2故該矩陣的最小多項式為(2)2.42 2(2)設(shè) A 575，則674I A (2)( 2 511),故該矩陣有三個不同的特征值，因此其最小多項式為(2)( 2 511)(3)