專題23多邊形內(nèi)角和問(wèn)題解析版

1、專題23多邊形內(nèi)角和問(wèn)題專題知識(shí)回顧1. 多邊形：在平而內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。2. 多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。3. 多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫多邊形的外角。4. 多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。5. 正多邊形：在平而內(nèi)，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。6. 多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180°7. 多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。8. 多邊形對(duì)角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，把多邊形

2、分成（n-2）個(gè)三角形。（2）n邊形共有巴匸衛(wèi)條對(duì)角線。2專題典型題考法及解析【例題1 （2019貴州銅仁）如圖為矩形扎5GZ 條直線將該矩形分割成兩個(gè)多邊形，若這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和分別為&和厶則廿b不可能是（）A. 360°B. 540°C. 630°D. 720°【答案】C.【解析】一條宜線將該矩形個(gè)分割成兩個(gè)多邊形，每一個(gè)多邊形的內(nèi)角和都是180°的倍數(shù)，都能被180整除，分析四個(gè)答案，只有630不能被180整除，所以十b不可能是630°A. 108°B. 120°C. 135°D. 140

3、°【答案】D.【解析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和泄理：180° «（n-2）求出該多邊形的內(nèi)角和，再求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù).該正九邊形內(nèi)角和= 180° X （9 - 2） =1260° ,則每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)才_(tái) go。9【例題3】（2019湖南湘西州）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1080° ,則這個(gè)多邊形是（）A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形【答案】D【解析】本題考査根據(jù)多邊形的內(nèi)角和汁算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變 形和數(shù)據(jù)處理。多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n-2）-180° ,列方程可求解.設(shè)所求多邊形

4、邊數(shù)為m則（才 2” 180° =1080° ,解得n=8.【例題4 （2019海南）如圖，00與正五邊形月沁的邊A5、加分別相切于點(diǎn)萬(wàn)、D、則劣弧血所對(duì)的圓心角乙BOD的大小為度.D E【答案】144.【解析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出Zf、ZQ，根據(jù)切線的性質(zhì)可求出Z血、Z如，從而可求出Z AOC,然后根據(jù)圓弧長(zhǎng)公式即可解決問(wèn)題.五邊形磁眩是正五邊形，.Z店分旦沁匚刃08。.59：AB.加與00相切，:.乙OBA=ZODE=gy , :乙BOD= (5-2) X180° -90° -108° - 108° -90° =

5、144°。專題典型訓(xùn)練題一、選擇題1. （2019湖北咸寧）若正多邊形的內(nèi)角和是540°，則該正多邊形的一個(gè)外角為（）A. 45°B. 60°C. 72°D. 90°【答案】C【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式2）-180°求岀多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是固定的360° , 依此可以求岀多邊形的一個(gè)外角.正多邊形的內(nèi)角和是540° ,多邊形的邊數(shù)為540° 4-180° +2 = 5,多邊形的外角和都是360° ,多邊形的每個(gè)外角=360三5=72° .2. （

6、2019內(nèi)蒙古巴彥卓爾）下列命題： 若/+上丄是完全平方式，則&=1：4 若月（2, 6）, B （0, 4）,尸（1, m）三點(diǎn)在同一直線上，則也=5： 等腰三角形一邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱軸； 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是六邊形.其中真命題個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】利用完全平方公式對(duì)進(jìn)行判斷：利用待宦系數(shù)法求岀直線月萬(wàn)的解析式，然后求出皿則可對(duì) 進(jìn)行判斷：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行判斷：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角和對(duì)進(jìn)行判斷.若£+亦丄是全T-方式，則&= ± 1,所以伽i靈:4若A （2,

7、6）, 5（0, 4）,尸（1,加）三點(diǎn)在同一直線上，而直線初的解析式為卩=對(duì)4,則時(shí)，e=5, 所以正確；等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對(duì)稱軸，所以錯(cuò)誤：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形是六邊形，所以正確.3. （2019寧夏）如圖，正六邊形馭泅啲邊長(zhǎng)為2,分別以點(diǎn)兒Q為圓心，以的 必為半徑作扇形磁 扇形竝；則圖中陰影部分的而積是（）A 6/3-4hB 6V3-nCDJooo【答案】B.【解析】正六邊形月萬(wàn)如的邊長(zhǎng)為2,正六邊形個(gè)如的而積是： 迅警丄畑=6“X啤=奶,乙<LZFAB=ZEDC=W ,.圖中陰影部分的而積是：4. （2018蘇州）一個(gè)多邊形除一個(gè)

8、內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510° ,則這個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)是（）A. 27B. 35C. 44 D. 54【答案】C【解析】設(shè)岀題中所給的兩個(gè)未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，再進(jìn)一 步代入多邊形的對(duì)角線計(jì)算方法口廠；即可解答 設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x,邊數(shù)為n, （n2） X180° -x二 1510,180n=1870+x,Tn為正整數(shù)，.n=lh lix （11-3） M25. （2018齊齊哈爾）如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是60° ,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A. 3B, 4C. 5D.6【答案】D【解析】由一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于

9、60° ,且多邊形的外角和等于360° ,即可求得這個(gè)多邊形的 邊數(shù).一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于60° ,且多邊形的外角和等于360° ,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：360F60二6.6. （2018武漢）一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510° ,則這個(gè)多邊形對(duì)角線的條數(shù)是（）A. 27 B. 35 C. 44 D. 54【答案】C【解析】設(shè)岀題中所給的兩個(gè)未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，再進(jìn)一 步代入多邊形的對(duì)角線訃算方法匕遼產(chǎn)一即可解答.設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x,邊數(shù)為n,X180° - x=1510,18

10、0n二1870+x,Tn為正整數(shù)，.n=lb 11X （11-3） M.1427. （2018大連）如圖，在ZkABC中，ZA=40° , D點(diǎn)是ZABC和ZACB角平分線的交點(diǎn)，則ZBDC二【解析】由D點(diǎn)是ZABC和ZACB角平分線的交點(diǎn)可推岀ZDBC+ZDCB=70,再利用三角形內(nèi)角和定理即可求 出ZBDC的度數(shù).VD點(diǎn)是ZABC和ZACB角平分線的交點(diǎn)，有ZCBD二ZABD寺ZABC, ZBCD=ZACD-ZACB, ZABC+ZACB=180 - 40=140, Z0BC+Z0CB 二 70.Z.ZB0C=180 - 70=110°8. （2018沈陽(yáng)）若正多邊形的

11、一個(gè)內(nèi)角是150° ,則該正多邊形的邊數(shù)是（）A. 6B. 12C 16D 18【答案】B【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案.設(shè)多邊形為n邊形，由題意，得（n-2） 180° =150n,解得n=129. （2018山東臨沂）內(nèi)角和為540°的多邊形是（)【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）-180o列式進(jìn)行計(jì)算即可求解.設(shè)多邊形的邊數(shù)是n,則(n-2)*180° =540° ,解得n=510. （2018江蘇鎮(zhèn)江）已知n邊形的內(nèi)角和二（n-2） X180° .（1）甲同學(xué)說(shuō)，O能取360。:而乙同學(xué)說(shuō)，也能取630。.甲、乙的

12、說(shuō)法對(duì)嗎？若對(duì)，求出邊數(shù)氏若不 對(duì)，說(shuō)明理由：（2）若n邊形變?yōu)椋ㄘ）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了 360。,用列方程的方法確泄x.【答案】（1）甲對(duì)，乙不對(duì)，理由見(jiàn)解析：（22.【解析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式判怎即可；（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可.試題解析：（1）甲對(duì)，乙不對(duì).V 二360° , （n-2） X180° =360° ,解得n=4.V 0=630° , （n-2） X180° =630° ,解得u=丄2F為整數(shù) 9不能取630° 由題意得，（n-2） X180-360= 5"） X180,解得

13、x=2.11. （2018湖南岳陽(yáng)）已知正多邊形的一個(gè)外角等于40° ,那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A. 6B. 7C. 8 D. 9【答案】D【解析】根據(jù)正多邊形的外角和以及一個(gè)外角的度數(shù)，求得邊數(shù).正多邊形的一個(gè)外角等于40° ,且外角和為360° ,則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是：360。寧40° =9.12. （2018四川綿陽(yáng)）一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后，形成的另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1080° ,那么原多邊形的邊數(shù)為（）A. 7 B. 7 或 8 C. 8 或 9 D. 7 或 8 或 9【答案】D.【解析】本題考査了多邊形的內(nèi)角和左理，一個(gè)多邊

14、形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1,或 不變.首先求得內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)，即可確左原多邊形的邊數(shù).設(shè)內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)是n,則（n2）180° =1080° ,解得：n=8.則原多邊形的邊數(shù)為7或8或9.13. （2019大慶模擬題）將一矩形紙片沿一條直線剪成兩個(gè)多邊形，那么這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和不可能是（）A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°【答案】D.【解析】本題考査了多邊形的內(nèi)角與外角，能夠得岀一個(gè)矩形截一刀后得到的圖形有三種情形，是解決本 題

15、的關(guān)鍵.根據(jù)題意列岀可能情況，再分別根據(jù)多邊形的內(nèi)角和左理進(jìn)行解答即可. 將矩形沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)三角形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180° +180。=360c 將矩形從一頂點(diǎn)剪向?qū)?，得到一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180° +360° =540° 將矩形沿一組對(duì)邊剪開，得到兩個(gè)四邊形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：360。+360°二720°14. （2019長(zhǎng)沙模擬題）若一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144° ”則正n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是（）A. 7 B 10 C 35 D 70【答案】c.【解析】本題考査了

16、多邊形的內(nèi)角以及多邊形的對(duì)角線，解題的關(guān)鍵是求出正n邊形的邊數(shù).本題屬于基 礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形邊的條數(shù)是關(guān)鍵.由正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144°結(jié)合多邊形內(nèi)角和公式，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可求出口（口 - 3）n的值，將其代入2 中即可得出結(jié)論.一個(gè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為144° ,144° n=180° X （n2）,解得：n二 10口口- 3）了這個(gè)正n邊形的所有對(duì)角線的條數(shù)是：2 二235.15.（2018江西）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB二DE, BC二AE, ZE二

17、115° ,則ZBAE的度數(shù)為何？（）A. 115 B. 120 C. 125 D. 130【答案】C【解析】根據(jù)全等三角形的判泄和性質(zhì)得出AABC與AAED全等，進(jìn)而得出ZB二ZE,利用多邊形的內(nèi)角和解答即可.正三角形ACD,AC二AD. ZACD=ZADC=ZCAD=60° ,TAB二DE, BC二AE,ABC£ZAEDZB二ZE=115° , ZACBZEAD, ZBAC二ZADE,Z. ZACBBAC二ZBAC+ZDAE二 180° - 115° 二65° ,ZBAE二ZBAC+ZDAE+ZCAD二65°

18、60° =125°二、填空題16. （2019江蘇淮安）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540° ,則該多邊形的邊數(shù)是【答案】5【解析】n邊形的內(nèi)角和公式為（才2）-180° ,由此列方程求a設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是m則（刀-2”180° =540° ,解得m=517. （2019陜西）若正六邊形的邊長(zhǎng)為3,則其較長(zhǎng)的一條對(duì)角線長(zhǎng)為9【答案】6【解析】如圖所示為正六邊形最長(zhǎng)的三條對(duì)角線，由正六邊形性質(zhì)可知，AAOB, ACOD為兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的 等邊三角形，.'.AD二2AB二6,故答案為618. （2019江蘇徐州）如圖，A. B、C、刀為一個(gè)外角為40°的正多邊形的頂點(diǎn).若0為正多邊形的中心， 則