概率論與數(shù)理統(tǒng)計理工類第四版吳贛昌主編課后習(xí)題答案要點(diǎn)

1、第六章參數(shù)估計6.1點(diǎn)估計問題概述習(xí)題1總體X在區(qū)間0, 0 上均勻分布，X1,X2, ?,Xn是它的樣本，則下列估計量B是B的一致估 計是().(A) 0 =Xn;(B) 0 =2Xn;(C) 0 =X" =1n刀 i=1 nXi;(D) 0 =MaxX1,X2, ?,Xn.解答：應(yīng)選(D).由一致估計的定義，對任意 ？>0,P( I MaxX1,X2, ?,Xn- 0 I <?)=P(- ?+ 0 <MaxX1,X2, ?,Xn< ?+ 0 )=F(?+0 )-F(- ?+ 0 ).因為FX(x)=0,x<0x0 ,0 < x< 0 1,

2、x> 0 , 及F(x)=FMaxX1,X2, ?,Xn(x)=FX1(x)FX2(x)?FXn(x),所以F(?+ 0 )=1, F(- ?+ 0 )=P(MaxX1,X2, ?,Xn<- ?+0 )=(1-x0 )n,故P( I MaxX1,X2, ?,Xn- 0 I <?)=1-(1-x0 )n 1(n+).習(xí)題2設(shè)d是總體X的標(biāo)準(zhǔn)差，X1,X2, ?,Xn是它的樣本，則樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是總體標(biāo)準(zhǔn)差d的().(A) 矩估計量；(B)最大似然估計量；(C)無偏估計量；(D)相合估計量.解答：應(yīng)選(D).因為，總體標(biāo)準(zhǔn)差d的矩估計量和最大似然估計量都是未修正的樣本標(biāo)準(zhǔn)差；樣本方

3、差是總體方差的無偏估計，但是樣本標(biāo)準(zhǔn)差不是總體標(biāo)準(zhǔn)差的無偏估計.可見，樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S是總體標(biāo)準(zhǔn)差d的相合估計量.習(xí)題3設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為 卩,X1,X2, ?,Xn是來自X的樣本，a1,a2, ?,an是任意常數(shù)，驗證(刀i=1naiXi)/ 刀i=1 nai (刀i=1 nai豐0)是 卩的無偏估計量.解答：E(X)=卩,E(刀 i=1naiXi 刀 i=1 nai)=1 刀 i=1 nai?E i=1naiE(Xi)(E(Xi)=E(X)= 卩)=刀 i=1nai 刀 i=1n= 口 ,綜上所證，可知刀i=1naiXi Ei=1nai 是卩的無偏估計量.習(xí)題4設(shè)0是參數(shù)0的無偏估計，且有

4、 D( 0 )>0, 試證0 2=( 0 )2不是0 2的無偏估計. 解答：因為 D( 0 ) =E( 0 2)-E(0 ) 2, 所以E( 0 2)=D( 0 ) +E( 0 )2= 0 2+D( 0 )> 0 2,故(0 ) 2不是0 2的無偏估計.習(xí)題5設(shè)X1,X2, ?,Xn是來自參數(shù)為 入的泊松分布的簡單隨機(jī)樣本，試求入2的無偏估計量.解答：因X服從參數(shù)為 入的泊松分布，故D(X)=入，E(X2)=D(X)+E(X)2= 入 + 入 2=E(X)+ 入 2,于是 E(X2)-E(X)=入 2,即 E(X2-X)=入 2.用樣本矩A2=1riEi=1nXi2,A1=X 一代

5、替相應(yīng)的總體矩E(X2),E(X), 便得入2的無偏估計量入 2=A2-A1=1r刀 i=1 rXi2 -X_.習(xí)題6設(shè)X1,X2, ?,Xr為來自參數(shù)為r,p的二項分布總體，試求p2的無偏估計量.解答：因總體Xdb(r,p),故E(X)=rp,E(X2)=D(X)+E(X)2=rp(1-p)+r2p2=r p+r(r-1)p2=E(X)+r(r-1)p2,E(X2)-E(X) r(-1)=E1 r(r-1)(X2-X)=p2,于是，用樣本矩 A2,A1分別代替相應(yīng)的總體矩E(X2),E(X),便得p2的無偏估計量p2=A2-A1 r(r-1)=1 r2(r-1)刀 i=1 r(Xi2 -Xi

6、).習(xí)題7設(shè)總體X服從均值為0的指數(shù)分布，其概率密度為f(x; 0 )=1 0 e-x 0 ,x>OO,x w 0,其中參數(shù)0 >0未知.又設(shè)X1,X2, ?,X n是來自該總體的樣本，試證：X 一和n (mi n(X1,X2, ?,X n) 都是0的無偏估計量，并比較哪個更有效解答：因為E(X)= 0 , 而E(X- )=E(X), 所以E(X - )= 0 , X一是0的無偏估計量.設(shè)Z=min(X1,X2, ?,Xn),因為FX(x)=O,x w 01 -e-x 0 ,x>0,FZ(x)=1-1-FX(x)n=1-e-nx0 ,x>00,x w 0,所以fZ(x)

7、=n 0 e-nx 0 ,x>00,x w 0, 這是參數(shù)為n0的指數(shù)分布，故知 E(Z)= 0 n,而E(nZ)=En(min(X1,X2,?,Xn)= 0 ,所以nZ也是0的無偏估計.現(xiàn)比較它們的方差大小.由于 D(X)= 0 2, 故 D(X" )=0 2n.又由于D(Z)=( 0 n)2, 故有D(nZ)=n2D(Z)=n2 ? 0 2n2= 0 2.當(dāng) n>1 時，D(nZ)>D(X"), 故 X一較nZ 有效.習(xí)題8設(shè)總體X服從正態(tài)分布 N(m,1),X1,X2是總體X的子樣，試驗證1 =2 X1 + 1 X2,2 =1 X1+ X2,=12X

8、1+12X2,都是m的無偏估計量；并問哪一個估計量的方差最??？解答：因為X服從N(m,1), 有E(Xi)=m,D(Xi)=1(i=1,2),得E( 1 ) =E(23X1+13X2)=23E(X1)+13E(X2)=23m+13m=m,D( 1 )=D(23X1+13X2)=49D(X1)+19D(X2)=49+19=59,同理可得：E( 2 ) = ,D( 2 )= , E( ) = ,D()=12.所以，1 , 2 ,都是m的無偏估計量，并且在1,2,中，以的方差為最小.習(xí)題9設(shè)有k臺儀器已知用第i臺儀器測量時，測定值總體的標(biāo)準(zhǔn)差為b i(i=1,2,?,k), 用這些儀器獨(dú)立地對某一物

9、理量0各觀察一次，分別得到X1,X2, ?,Xk.設(shè)儀器都沒有系統(tǒng)誤差，即 E(Xi)= 0 (i=1,2,?,k), 問 a1,a2, ?,ak 應(yīng)取何值，方能使用 =E i=1kaiXi 估計 0時，是無偏的，并且D()最??？解答：因為 E(Xi)= 0 (i=1,2,?,k), 故E( ) =E(E i=1kaiXi)= 刀 i=1kaiE(Xi)=0刀 i=1kai,欲使E( ) = 0 , 則要刀i=1kai=1.因此，當(dāng)?shù)秈=1kai=1 時，=Ei=1kaiXi為0的無偏估計， D( ) =Ei=1kai2 b i2, 要在刀i=1kai=1的條件下D()最小，采用拉格朗日乘數(shù)法

10、 .令L(a1,a2, ?,ak)=D() + 入(1-刀i=1kai)=刀i=1kai2 b i2+ 入(1-刀i=1kai),?L?ai=0,i=1,2,?,k 刀i=1kai=1,即 2ai b i2-入=0,ai=入 2i2;記刀 i=1k1 b i2=1 b 02, 所以又因刀i=1kai=1, 所以 入刀i=1k12 b i2=1,入=2 b 02, 于是ai= b 02 b i2 (i=1,2,?,k),故當(dāng) ai= b 02 b i2(i=1,2,?,k)時,=E i=1kaiXi是0的無偏估計，且方差最小習(xí)題6.2點(diǎn)估計的常用方法 習(xí)題1設(shè)X1,X2, ?,Xn為總體的一個樣

11、本，x1,x2, ?,xn為一相應(yīng)的樣本值，求下述各總體的密度函 數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計量和估計值及最大似然估計量.(1) f(x)=0 c0 x-( 0 +1),x>cO,其它, 其中c>0為已知，0 >1, 0為未知參數(shù).(2) f(x)=0 x0 -1,0 w xw 10,其它, 其中 0 >0, 0 為未知參數(shù).(3) PX=x=(mx)px(1-p)m-x,其中 x=0,1,2, ?,m,0<p<1,p 為未知參數(shù).解答：(1) E(X)= / c+mx ? 0 c 0 x-( 0 +1)dx= 0 c 0 / c+mx - 0 dx= 0

12、 c 0 -1，解出0 =E(X)E(X)-c ,令X一 =E(X)，于是=X_ X-c為矩估計量，0的矩估計值為 =x 一 x-c，其中x - =1n刀i=1nxi .另外，似然函數(shù)為L( 0 )= n i=1 nf(xi; 0 )= 0 ncn 0 (n i=1 nxi) -( 0 +1), xi>c ,對數(shù)似然函數(shù)為lnL( 0 )=nln 0 +n 0 lnc-( 0 +1)刀 i=1 nlnxi ,對lnL( 0 )求導(dǎo)，并令其為零，得dlnL( 0 )d 0 =n 0 +nlnc-刀 i=1 nlnxi=0 ,解方程得0 =ni=1nInxi -nine，故參數(shù)的最大似然估計

13、量為 =ni=1nlnXi -nine .(2) E(X)= / 01x ?0 x0 -1dx= 0 0 +1，以 X-作為 E(X)的矩估計，貝 U 0 的矩估計由 X"= 0 +1解出，得=(X " 1X" )2 ,0的矩估計值為=(x _ - x _ )2，其中x 一 =1n刀i=1 nxi為樣本均值的觀測值.另外，似然函數(shù)為L( 0 )= ni=1 nf(xi; 0 )= 0 n/2( ni=1 nxi)0 -1 , 0w xi w 1,對數(shù)似然函數(shù)為lnL( 0 )=n2ln 0 +( 0 -1)刀 i=1 nlnxi ,對lnL( 0 )求導(dǎo)，并令其為

14、零，得dlnL( 0 )d 0 =n2 0 +12 0 刀 i=1 nlnxi=0 ,解方程得0 =(- n刀i=1 nlnxi)2，故參數(shù)的最大似然估計量為=(n 刀 i=1 nln Xi)2 .X弋(m,p) , E(X)=mp，以X一作為E(X)的矩估計，即 X一 =E(X)，則參數(shù)p的矩估計為=1 X - =1?1 n 刀 i=1 nXi ,p的矩估計值為=1 x - =1 ?1 n刀i=1 nxi .另外，似然函數(shù)為L( 0 )= ni=1 nf(xi; 0 )=( ni=1 nCxi) 刀i=1 nxi(1 -)刀i=1 n( -xi) ,xi=0,1, ?,m, 對數(shù)似然函數(shù)為l

15、nL( 0 )=刀 i=1 nlnC xi+( 刀 i=1 nxi)ln +( 刀 i=1 n( -xi)ln(1-p),對lnL( 0 )求導(dǎo)，并令其為零，得dlnL( 0 )d 0 =1 刀 i=1 nxi -11-刀 i=1 n( -xi)=0 ,解方程得=1 n刀i=1 nxi ,故參數(shù)的最大似然估計量為=1 n 刀 i=1nXi=1 X 一.習(xí)題2 設(shè)總體X服從均勻分布U0, 0 ,它的密度函數(shù)為f(x; 0 )=1 0 ,0 W xW 0 0,其它,(1)求未知參數(shù)0的矩估計量；當(dāng)樣本觀察值為 0.3,0.8,0.27,0.35,0.62,0.55時，求0的矩估計值.解答：(1)

16、因為E(X)= / -g+8xf(x; 0 )dx=1 0/0 0 xdx= 0 2,令 E(X)=1 n刀i=1nXi,即 0 2=X", 所以 =2X".(2) 由所給樣本的觀察值算得x 一 =16刀 i=16xi=16(0. +0. +0.27+0. +0.62+0. )=0. 17,所以=2x - =0.96 .習(xí)題3設(shè)總體X以等概率1 0取值1,2, ?, 0 ,求未知參數(shù)0的矩估計量.解答：由E(X)=1 XI 0 +2X1 0 +?+ 0X1 0 =1+0 2=1n刀i=1 nXi=X 一，得0的矩估計為=2X-1.習(xí)題4一批產(chǎn)品中含有廢品，從中隨機(jī)地抽取60

17、件，發(fā)現(xiàn)廢品4件，試用矩估計法估計這批產(chǎn)品的廢品率解答：設(shè)p為抽得廢品的概率,1-p為抽得正品的概率(放回抽取). 為了估計p,引入隨機(jī)變量Xi=1,第i次抽取到的是廢品0,第i次抽取到的是正品，于是 PXi=1=p,PXi=0=1-p=q, 其中 i=1,2, ?,60,且 E(Xi)=p,故對于樣本 X1,X2, ?,X60的一個觀測值x1,x2, ?,x60,由矩估計法得p的估計值為=160刀 i=160xi= 60=11 ,即這批產(chǎn)品的廢品率為115.習(xí)題5設(shè)總體X具有分布律X123pi0 220 (1- 0 )(1- 0 )2其中0 (0< 0 <1)為未知參數(shù).已知取得

18、了樣本值 x1=1,x2=2,x3=1, 試求0的矩估計值和 最大似然估計值.解答：E(X)=1 X 0 2+2X2 0 (1- 0 )+ X (1 - 0 )2=3-2 0 ,x- =1/ X (1+2+1)= / .因為E(X)=X -,所以 =(3- x - )/2= /6為矩估計值,L( 0 )= ni=1 PXi=xi=PX1=1PX2=2PX =1=0 4?2 0 ?(1- 0 )=2 0 5(1- 0 ),lnL( 0 )=ln2+5ln0 +ln(1- 0 ),對0求導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)為零dlnLd 0 =5 0 -11- 0 =0,得 =56.習(xí)題6(1) 設(shè)X1,X2, ?,Xn

19、來自總體X的一個樣本，且Xn (入), 求PX=O的最大似然估計.(2) 某鐵路局證實(shí)一個扳道員五年內(nèi)所引起的嚴(yán)重事故的次數(shù)服從泊松分布，求一個扳道員在五年內(nèi)未引起嚴(yán)重事故的概率p的最大似然估計，使用下面122個觀察值統(tǒng)計情況.下表中，r表示一扳道員某五年中引起嚴(yán)重事故的次數(shù)，s表示觀察到的扳道員人數(shù)r012345sr -444221942解答：(1) 已知，入的最大似然估計為=X.因此? PX=0= - =e-X".(2) 設(shè)X為一個扳道員在五年內(nèi)引起的嚴(yán)重事故的次數(shù)，X服從參數(shù)為 入的泊松分布，樣本容量n=122.算得樣本均值為x 一 =1122XE r=0 r ?r=1122

20、X (0 X +1 X 2+2 X 21+ X 9+ X + X 2) 1.12 ,因此P X=0=e- x - =-1.12 0. 2 .習(xí)題6.3置信區(qū)間習(xí)題1對參數(shù)的一種區(qū)間估計及一組觀察值(x1,x2, ?,xn)來說,下列結(jié)論中正確的是().(A) 置信度越大，對參數(shù)取值范圍估計越準(zhǔn)確；(B) 置信度越大，置信區(qū)間越長;(C) 置信度越大，置信區(qū)間越短；(D) 置信度大小與置信區(qū)間有長度無關(guān).解答：應(yīng)選(B).置信度越大，置信區(qū)間包含真值的概率就越大，置信區(qū)間的長度就越大，對未知參數(shù)的估計精度越低反之，對參數(shù)的估計精度越高，置信區(qū)間的長度越小，它包含真值的概率就越低，置信度就越小.習(xí)

21、題2設(shè)(0 1, 0 2)是參數(shù)0的置信度為1- a的區(qū)間估計，則以下結(jié)論正確的是().(A)參數(shù)0落在區(qū)間(0 1, 0 2)之內(nèi)的概率為1- a ；(B) 參數(shù)0落在區(qū)間(0 1, 0 2)之外的概率為a ；(C) 區(qū)間(0 1, 0 2)包含參數(shù)0的概率為1- a ；(D) 對不同的樣本觀察值，區(qū)間(0 1, 0 2)的長度相同.解答：應(yīng)先(C).由于0 1, 0 2都是統(tǒng)計量，即 ( 0 1, 0 2)是隨機(jī)區(qū)間，而0是一個客觀存在的未知常數(shù)，故(A),(B)不正確.習(xí)題3設(shè)總體的期望 卩和方差(T 2均存在，如何求 卩的置信度為1- a的置信區(qū)間？ 解答：先從總體中抽取一容量為n的樣

22、本X1,X2, ?,Xn.根據(jù)中心極限定理，知U=X"-卩 d /n t N(0,1)(n).(1)當(dāng)d 2已知時，則近似得到卩的置信度為1- a的置信區(qū)間為(X 二u a /2 d n,X - +a /2 d n).當(dāng)d 2未知時，用 d 2的無偏估計S2代替d 2,這里仍有X"-卩 S/ntN(0,1)(n -rm ),于是得到 卩的1- a的置信區(qū)間為(X "u a /2Sn,X - +ua /2Sn),一般要求n0才能使用上述公式，稱為大樣本區(qū)間估計.習(xí)題4某總體的標(biāo)準(zhǔn)差d =3cm,從中抽取40個個體，其樣本平均數(shù)x - =6 2c ,試給出總體期望值卩

23、的95%勺置信上、下限(即置信區(qū)間的上、下限).解答：因為n=40屬于大樣本情形，所以X一近似服從N(卩,d 2n)的正態(tài)分布，于是卩的95%勺置信區(qū)間近似為(X "土 d nu a /2),這里 x - =6 2, d = ,n= 0 6. 2,u a /2=1.96, 從而(x "±d nua /2)=(6 2 ± 0 X 1.96)(6 2 ± 0.93),故卩的95%勺置信上限為 642.93, 下限為641.07.習(xí)題5某商店為了了解居民對某種商品的需要，調(diào)查了 100家住戶，得出每戶每月平均需求量為 10kg,方差為9，如果這個商店

24、供應(yīng)10000戶，試就居民對該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū) 間估計(a =0.01), 并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以0.99的概率滿足需求？解答：因為n=100屬于大樣本問題，所以X一近似服從Ng , d 2/n),于是卩的99%勺置信區(qū)間近似 為(X "± Sna /2),而x - =10,s= ,n=100, u a /2=2.58,所以(x 一士 snua /2)=(10 ± 100 X 2. )=(10± 0.77 )=(9.226,10.77 ).由此可知最少要準(zhǔn)備10.77 X 10000=1077 0(kg)這種商品，才能以 0.99

25、的概率滿足需求習(xí)題6觀測了 100棵“豫農(nóng)一號”玉米穗位，經(jīng)整理后得下表(組限不包括上限):分組編號12345組限組中值70 弋080-9090 70010071011072075859510511539131626頻數(shù)分組編號6789組限 組中值 頻數(shù)120 730130 74014075015076012513514515520742試以95%的置信度，求出該品種玉米平均穗位的置信區(qū)間解答：因為n=100屬于大樣本情形，所以卩的置信度為95%的置信區(qū)間上、下限近似為X_± snua /2, 這里 n=100,u a /2=1.96,還需計算出 x 一和s.取 a=115,c=10

26、, 令 zi=(xi-a)/c=(xi-115)/10,用簡單算公式，(1)x - =a+cz _；sx2=c2sz2.編號123456789組中值xi zi=xi-11510 組頻率mi mizizi2mizi2758595105115125135145155-4-3-2-1012343913162620742-12-27-26-160201412816941014916123456789z - =1100刀i=19 izi=1100 X( -27)=-0.27,x" =10X(-27)+115=112.3,sz2=199E i=19 izi2=199 X 1 .161616,sx

27、2=102X .16 1616=316.1616, sx 17.7 .于是(x "± snua ) (112.± 17.7 10 X 1.96) (112.± .)=(108.815,115.785).習(xí)題7某城鎮(zhèn)抽樣調(diào)查的500名應(yīng)就業(yè)的人中，有13名待業(yè)者，試求該城鎮(zhèn)的待業(yè)率p的置信度為0.95置信區(qū)間.解答：這是(0-1)分布參數(shù)的區(qū)間估計問題待業(yè)率p的0.95置信區(qū)間為(1 , 2 )=(-b-b2-4ac2a,-b+b2-4ac2a).其中a=n+u a /22,b=- 2nX_-(u a /2)2, c=nX_ 2,n= 00,x - =1

28、00,u a /2=1.96.則(1 , 2)=(0.015,0.044).習(xí)題8設(shè)X1,X2, ?,Xn為來自正態(tài)總體 N(卩，c 2)的一個樣本，求卩的置信度為1- a的單側(cè)置信限.解答：這是一個正態(tài)總體在方差未知的條件下，對卩的區(qū)間估計問題，應(yīng)選取統(tǒng)計量：T=X"-卩 S/n 弋n-1).因為只需作單邊估計，注意到t分布的對稱性，故令PT<t a (n-1)=1- a 和 PT>t a (n-1)=1-a .由給定的置信度1- a ,查自由度為n-1的t分布表可得單側(cè)臨界值t a (n-1).將不等式T<t a (n-1)和 T>t a (n-1),即X

29、"-卩 S/n<t a (n-1)和 X"-卩 S/n>t a (n-1)分別變形，求出卩即得卩的1- a的置信下限為X"t a (n-1)Sn.卩的1- a的置信上限為X一 +ta (n-1)Sn,卩的1- a的雙側(cè)置信限(X 一-t a /2(n- 1)Sn,X - +ta /2(n-1)Sn).習(xí)題6.4正態(tài)總體的置信區(qū)間習(xí)題1已知燈泡壽命的標(biāo)準(zhǔn)差c =50小時，抽出25個燈泡檢驗，得平均壽命X" = 00小時，試以95%的可靠性對燈泡的平均壽命進(jìn)行區(qū)間估計(假設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布 ).解答：由于 X-N(卩,502),所以卩的置信度

30、為95%的置信區(qū)間為(X "±ua /2 c n),這里 x " = 00,n=2 ,c =50,ua /2=1.96,所以燈泡的平均壽命的置信區(qū)間為(x "±ua /2 c n)=( 00 ± 02 X 1.96)=( 00 ± 19.6)=( 0. , 19.6).習(xí)題2一個隨機(jī)樣本來自正態(tài)總體X,總體標(biāo)準(zhǔn)差(T =1.5,抽樣前希望有95%勺置信水平使得卩的估計的置信區(qū)間長度為L=1.7,試問應(yīng)抽取多大的一個樣本？解答：因方差已知，卩的置信區(qū)間長度為L=2u a 12 2 g n,于是 n=(2 g Lua /2)2.

31、由題設(shè)知，1- a =0.95, a =0.05, a 2=0.025.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得u0.025=1.96, g =1.5, L=1.7,所以，樣本容量n=(2 X 1. X 1.961.7)2 11.96.向上取整數(shù)得n=12,于是欲使估計的區(qū)間長度為1.7的置信水平為95%,所以需樣本容量為 n=12.習(xí)題3設(shè)某種電子管的使用壽命服從正態(tài)分布.從中隨機(jī)抽取15個進(jìn)行檢驗，得平均使用壽命為1950小時，標(biāo)準(zhǔn)差s為300小時，以95%的可靠性估計整批電子管平均使用壽命的置信上、 下限.解答：由X-N(卩,g 2), 知卩的95%的置信區(qū)間為(X 一土 Sna /2(n-1),這里 x -

32、 =19 0,s= 00,n=1 ,t a /2(14)=2.145, 于是(x 一土 snit a /2(n- 1)=(19 0 ± 001 X 2.1 ) (19 0 ± 166.1 1)=(17 . ,2116.15).即整批電子管平均使用壽命的置信上限為2116.15, 下限為1783.85.習(xí)題4人的身高服從正態(tài)分布，從初一女生中隨機(jī)抽取6名，測其身高如下(單位：cm):149158.5152.5165157142求初一女生平均身高的置信區(qū)間(a =0.05).解答：XdN(卩,g 2),卩的置信度為95%的置信區(qū)間為(X 一土 Sna /2(n-1),這里 x

33、一 =1 ,s=8.0187,t0.025(5)=2.571, 于是(x 一土 sn ta /2( n- 1)=(1± .01 76 X 2. 71) (1 ± . 16) (1 . ,162. 2)習(xí)題5某大學(xué)數(shù)學(xué)測驗，抽得20個學(xué)生的分?jǐn)?shù)平均數(shù) x - =72,樣本方差s2=16,假設(shè)分?jǐn)?shù)服從正 態(tài)分布，求g 2的置信度為98%的置信區(qū)間.解答：先取X 2分布變量，構(gòu)造出1- a的(T 2的置信區(qū)間為(n-1)S2 x a 122(n-1),(n-1)S2x 1- a /22(n-1).已知 1- a =0.98, a =0.02, a 2=0.01,n=20,S2=1

34、6.查X 2分布表得X 0.012(19)=36.191, X 0.992(19)=7.633,于是得 d 2 的 98%的置信區(qū)間為(19 X 16 6.191,19 X 167.6 ),即(8.400,39.827).習(xí)題6隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=11(m/s).設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差d的置信度為0.95的置信區(qū)間.解答：已知 n=9,s=11(m/s),1-a =0.95.查表得X 0.0252(8)=17.535,x 0.9752(8)=2.180,d的0.95的置信區(qū)間為(8s x 0.0252(8),8s x 0.9752

35、(8),即(7.4,21.1).習(xí)題7設(shè)來自總體N(卩1,16)的一容量為15的樣本，其樣本均值 x1 - =1 .6;來自總體N(卩2,9) 的一容量為20的樣本，其樣本均值 x2 - =1 .2; 并且兩樣本是相互獨(dú)立的，試求卩1-卩2的90%的置信區(qū)間.解答：1- a =0.9, a =0.1, 由(u a /2)=1- a 2=0.95, 查表，得u a /2=1.645,再由 n1=15,n2=20,得d 12n 1+ d 22n2=161 +920=9160 1.2 2,u a /2 d 12n 1+ d 22n2=1.6 X 1.2 2 2.0 ,x 一 - x 一 2=1 .6

36、-13.2=1.4,所以，卩1-卩2的90%的置信區(qū)間為(1.4-2.03,1.4+2.03)=(-0.63,3.43).習(xí)題8物理系學(xué)生可選擇一學(xué)期3學(xué)分沒有實(shí)驗課，也可選一學(xué)期4學(xué)分有實(shí)驗的課.期未考試每一章節(jié)都考得一樣，若有上實(shí)驗課的12個學(xué)生平均考分為 84,標(biāo)準(zhǔn)差為4，沒上實(shí)驗課的18個學(xué)生平均考分為77,標(biāo)準(zhǔn)差為6，假設(shè)總體均為正態(tài)分布且其方差相等，求兩種課程 平均分?jǐn)?shù)差的置信度為99%的置信區(qū)間.解答：設(shè)有實(shí)驗課的考分總體X1-N(卩1, d 2),無實(shí)驗課的考分總體X2-N(卩2, d 2). 兩方差相等但均未知，求卩1-卩2的99%的置信區(qū)間，應(yīng)選t分布變量，T=X1 一-X

37、2 一-(卩 1-卩 2)SW1 n1+1 n2n 1+ n2-2),其中 SW=(n1-1)S12+(n2-1)S22n1+ n2-2. 1- a 2的1- a的置信區(qū)間為(X1 "-X2"±ta /2(n1+n2-2)SW1 n1+1 n2).由已知,x1 一-x2 一 = -77=7, 且sW=(12-1) X 2+(1-1) X 6212+1 -2.0 ,112+11 0. 7 ,1- a =0.99, a 2=0.005,查 t 分布表得 t0.005(28)=2.763.于是,(7 ± . 67),卩1-卩2的0.99的置信區(qū)間為(7

38、77; 2.76 X . 0 X 0. 7 ), 亦即(1.53,12.47).習(xí)題9隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，又從B批導(dǎo)線中抽取5根，測得電阻（歐）為A批導(dǎo)線0.1430.1420.1430.137B批導(dǎo)線0.1400.1420.1360.1380.140設(shè)測定數(shù)據(jù)分別來自分布N（卩1, d 2）,N（卩2, d 2）,且兩樣本相互獨(dú)立，又卩1,卩2, d 2均為未知，試求卩1-卩2的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解答：算得對于 1- a =0.95, 查表得 t0.025=2.3646,s1 0.0029.15+14=0.6708,即(-0.002,0.006).x - =0.1 1,

39、y - =0.1 9;s12= .2 X 10-6,s22= .2 X 10 -6,s2=0.0023,sW« 0.0026,故得卩1-卩2的0.95置信區(qū)間為(0.141- 0.1 9 ± 2. 6 6 X 0.0026 X 0.670 ),習(xí)題1010次測定，其測定值的樣設(shè)兩位化驗員A,B獨(dú)立地對某種聚合物含氯量用相同的方法各作本方差依次為sA2=0.5419,sB2=0.6065. 設(shè)d A2, d B2分別為A,B所測定的測定值的總體方 差，又設(shè)總體均為正態(tài)的，兩樣本獨(dú)立，求方差比d A2/ d B2的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解答：選用隨機(jī)變量F=SA2（r

40、A2/SB2 d B2-F（n1-1,n2-1）,依題意，已知 sA2=0.5419, sB2=0.6065, n仁n 2=10.于是得（T A2 d B2的對于 1- a =0.95, 查 F 分布表得 F0.025（9,9）=1F0.025（9,9）=14.03,0.95的置信區(qū)間為(sA2sB21F a /2(9,9),sA2sB2F a /2(9,9) (0.222,3.601).總習(xí)題解答習(xí)題1設(shè)總體X服從參數(shù)為Y=minX1,X2, ?,Xn,解答：入（入0）的指數(shù)分布，X1,X2, ?,Xn為一隨機(jī)樣本，令 問常數(shù)c為何值時，才能使 cY是入的無偏估計量.關(guān)鍵是求出E(Y). 為

41、此要求Y的密度fY(y).因Xi的密度函數(shù)為 fX(x)=入e-入x,x>00,x<0;Xi的分布函數(shù)為FX(x)=1-e-入x,x>00,x < 0, 于是FY(y)=1-1-FX(y)n=1-e-n入 y,y>00,y < 0. 兩邊對y求導(dǎo)得fY(y)=ddyFY(y)=n入e-n入y,y>OO,y < 0, 即Y服從參數(shù)為n入的指數(shù)分 布，故E(Y)=n 入.為使cY成為入的無偏估計量，需且只需E(cY)=入，即cn入=入，故c=1 n.習(xí)題2設(shè)X1,X2, ?,Xn是來自總體 X的一個樣本，已知 E(X)=卩,D(X)= <r 2

42、.(1) 確定常數(shù)c,使c刀i=1n-1(Xi+1-Xi)2 為2的無偏估計；(2) 確定常數(shù)c,使(X J2-CS2是卩2的無偏估計(X -,S2分別是樣本均值和樣本方差).解答：(1)E(c 刀 i=1 n-1(Xi+1-Xi)2)=c 刀 i=1 n-1E(Xi+12-2XiXi+1+Xi2)=c 刀 i=1 n-1D(Xi+1)+E(Xi+1)2-2E(Xi)E(Xi+1)+D(Xi)+E(Xi)+E(Xi)2=c(n-1)( d 2+2-22+ c 2+ 2)=2(n-1) c 2c.令 2(n-1) c 2c= c 2,所以c=12( n-1).E(X - )2-cS2 =E(X

43、- 2卜 cE(S2)=D(X - )+E(X - )2-c c 2 =c 2n+ i 2-c c 2.令 c 2n+ i 2-c c 2= i 2,則得 c=1 n.習(xí)題3設(shè)X1,X2,X3,X4是來自均值為B的指數(shù)分布總體的樣本，其中B未知.設(shè)有估計量T1=16(X1+X2)+13(X3+X4),T2=X1+2X2+3X3+4X45, T3=X1+X2+X3+X44.(1) 指出T1,T2,T3中哪幾個是B的無偏估計量；(2) 在上述0的無偏估計中指出一個較為有效的解答：(1) 0 =E(X),E(Xi)=E(X)=0 ,D(X)= 0 2=D(Xi),i=1,2,3,4.E(T1)=E(

44、16(X1+X2)+13(X3+X4)=(26+23)0 = 0 ,E(T2)=15E(X1+2X2+3X3+4X4)=15(1+2+3+4)0 =2 0 ,E(T3)=14E(X1+X2+X3+X4)= 0 ,因此，T1,T3是0的無偏估計量.(2) D(T1)=236 0 2+29 0 2=1036 0 2, D(T3)=116 ?4 0 2=14 0 2=936 0 2,所以D(T3)<D(T1),作為0的無偏估計量，T3更為有效.習(xí)題4設(shè)從均值為1,方差為c 2( c >0)的總體中，分別抽取容量為n1,n2的兩獨(dú)立樣本，X1 -和X2一分別是兩樣本的均值，試證：對于任意常

45、數(shù)a,b(a+b=1),Y=aX1+bX2-都是卩的無偏估計；并確定常數(shù)a,b,使D(Y)達(dá)到最小.解答：E(Y)=E(aX1 - +bX2" )=aE(X1 - )+bE(X2 - )=(a+b1 .因為 a+b=1,所以 E(Y)= i .因此，對于常數(shù) a,b(a+b=1),Y 都是口的無偏估計，D(Y)=a2D(X1 - )+b2D(X2 一)=a2c 2n 1+b2 c 2n2.因 a+b=1,所以 D(Y)= c 2a2n1+1 n2(1-a)2,令 dD(Y)da=0,即 2 c 2(an1-1-an2)=0, 解得 a=n1n1+n 2,b=n2n 1+ n2是惟一駐

46、點(diǎn)又因為d2D(Y)da2=2 <r 2(1 n1+1 n2)>0, 故取此a,b二值時，D(Y)達(dá)到最小.習(xí)題5設(shè)有一批產(chǎn)品，為估計其廢品率p,隨機(jī)取一樣本X1,X2, ?,Xn,其中Xi=1,取得廢品0,取得合格品,i=1,2,?,n,證明：=X_ =1nU=1 nXi是p的一致無偏估計量.解答：由題設(shè)條件E(Xi)=p ?1+(1-p) ?0=p,D(Xi)=E(Xi2)-E(Xi)2=p?12+(1-p)02-p2=p(1-p),E( ) =E(X" )=E(1 n 口=1 nE(Xi)=1 n 刀 i=1nE(Xi)=1n 刀 i=1 np=p.由定義，是p的無

47、偏估計量，又D() =D(X" )=D(1 n 口=1 nXi)=1 n2 刀 i=1 nD(Xi)=1n2E i=1 np(1-p)=1 n2n p(1-p)=p qn.由切比雪夫不等式，任給?>0P I -p l> ?=P I X"-p l> ? w 1?2D(X" )=1?2p(1-p )n0,n所以limn fa P I - p I> ?=0,故=X-是廢品率p的一致無偏估計量.習(xí)題6設(shè)總體X弋(k,p),k是正整數(shù)，0<p<1,k,p都未知，X1,X2, ?,Xn是一樣本，試求k和p的矩估計.解答：因總體X服從二項分布

48、b(k,p), 故a 仁E(X)=kpa2=E(X2)=D(X)+E(X)2=kp(1-p)+(kp)2,解此方程組得 P=a1+a12-a2a1,k=a12a1+a12-a2.用A仁1 nEi=1 nXi=X 一,A2=1n E i=1 nXi2 分別代替 a1,a2,即得p,k的矩估計為=X"-S2X" ,k=X - 2X-S2,其中S2=1nE i=1 n(Xi-X J2,x表示x的最大整數(shù)部分.習(xí)題7求泊松分布中參數(shù)入的最大似然估計.解答：總體的概率函數(shù)為PX=k=入 kk!e-入,k=0,1,2,?.設(shè)x1,x2, ?,xn為從總體中抽取的容量為n的樣本，則似然函

49、數(shù)為L(x1,x2, ?,xn;入)=ni=1 nf(xi; 入)=ni=1 n 入 xixi!e- 入=入刀i=1 nxi ni=1 nxi!e-n 入，InL=( E i=1 nxi)ln入-n 入-Ei=1nlnxi!,令dinLd入=1入E i=1 nxi-n=0,得入的最大是然估計為入=1nE i=1 nxi=x 一，即x _=1n E i=1 nxi就是參數(shù)入的最大似然估計.習(xí)題8已知總體X的概率分布PX=k=C2k(1- 0 )k 0 2-k,k=0,1,2,求參數(shù)的矩估計.解答：總體X為離散型分布，且只含一個未知參數(shù)0 ,因此，只要先求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X), 然后解

50、出0并用樣本均值X-代替E(X)即可得0的矩估計 .由 E(X)=刀 k=02kC2k(1 - 0 )k 0 2- k=1 X 2(1 - 0 ) 0 +2(1- 0 )2=2-2 0 , 即有0 =1-E(X)2.用樣本均值X-代替上式的E(X),得矩估計為=1-X- 2.習(xí)題9設(shè)總體X的概率密度為f(x)=(0 +1)x 0 ,0<x<10,其它,其中0 >-1是未知參數(shù)，X1,X2, ?,Xn為一個樣本，試求參數(shù)0的矩估計和最大似然估計量解答：因 E(X)= / 01( 0 +1)x 0 +1dx= 0 +1 0 +2.令 E(X)=1n 刀 i=1 nXi=X 一，得

51、 0 +1 0 +2=X；解得 0 的矩估計量為0 =2X"-11- X".設(shè)x1,x2, ?,xn是樣本X1,X2, ?,Xn的觀察值，則似然函數(shù)L(x1,x2,?,xn, 0 )= n i=1 n( 0 +1)xi 0=(0 +1)n(x1x2 ?xn) 0 (0<xi<1,i=1,2,?,n),取對數(shù)得InL=nln( 0 +1)+ 0刀i=1 nlnxi,從而得對數(shù)似然方程dinLd 0 =n0 +1+E i=1 nlnxi=0,解出0，得0的最大似然估計量為0 =-n 刀 i=1 ninXi.由此可知，0的矩估計和最大似然估計是不相同的習(xí)題10設(shè)X具有

52、分布密度f(x, 0 )= 0 xe- 0 x!,x=0,1,2,?0,其它,0< 0 <+,X1,X2, ?,Xn是X的一個樣本，求0的最大似然估計量.解答：似然函數(shù)L( 0 )= n i=1n 0 xie- 0 xi!=e-n 0 n i=1n 0 xixi!,InL( 0 )=-n 0 +E i=1 nxiin 0 -刀 i=1 nin(xi!),dd 0 (InL( 0 )=-n+10 刀 i=1 nxi ,令 dd 0 (InL( 0 )=0, 即-n+1 0 刀 i=1 nxi=0 ? 0 =1n刀 i=1 nxi,故0最大似然估計量為0 =X" =1n U=

53、1 nXi.習(xí)題11設(shè)使用了某種儀器對同一量進(jìn)行了12次獨(dú)立的測量，其數(shù)據(jù)(單位：毫米)如下：232.50 232.48 232.15 232.53 232.45 232.30232.48 232.05 232.45 232.60 232.47 232.30試用矩估計法估計測量值的均值與方差(設(shè)儀器無系統(tǒng)誤差).解答：設(shè)測量值的均值與方差分別為與2,因為儀器無系統(tǒng)誤差，所以0 = =X" =1nZi=1 nXi=232+112 刀 i=1 n(Xi-232)=232+1/12 X 4.76 232.3967.用樣本二階中心矩 B2估計方差d 2,有2=1 n刀 i=1 n(Xi- X

54、" )2=1 n刀=1 n(Xi-a)2-(X 一-a)2=112 刀 i=112(Xi-232)2-(232.3967-232)2=0.1819-0.1574=0.0245.習(xí)題12設(shè)隨機(jī)變量X服從二項分布PX=k=C nkpk(1-p) n-k,k=0,1,2,?, n,X1為其一個樣本，試求 p2的無偏估計量.解答：becauseX db(n,p), E(X)=np, D(X)=np(1-p)=E(X)-np2? p2=1 nE(X)-D(X)=1 nE(X)-E(X2)+(EX)2? p2=1 nE(X(1-X)+1 nn2p2=1 nE(X(1-X)+np2? p2=EX(

55、X-1)n(n-1),由于 EX(X-1)=EX1(X1-1),故2=X1(X1-1) n(n-1).習(xí)題13設(shè)X1,X2, ?,Xn是來自總體X的隨機(jī)樣本，試證估計量X1 n刀 i=1 nXi 和 丫近 i=1 nCiXi(Ci> 0 為常數(shù)，刀 i=1 nCi=1)都是總體期望E(X)的無偏估計，但 X"比丫有效.解答：依題設(shè)可得E(X "=1 n 刀 i=1nE(Xi)=1n X nE(X)=E(X),E(Y)=刀 i=1 nCiE(Xi)=E(X) 刀 i=1 nCi=E(X).從而X"Y均為E(X)的無偏估計量，由于D(X "=1 n2 刀 i=1 nD(Xi)=1 nD(X),D(Y)=D(刀 i=1 nCiXi)= 刀 i=1 nCi2D(Xi)=D(X) 刀 i=1 nCi2.應(yīng)用柯西一施瓦茨不等式可知1=(刀 i=1 nCi)2 w (刀i=1 nCi2)(刀 i=1 n12)=n 刀 i=1 nCi2, ? 1nw刀 i=1 nCi2,所以D(Y) > D(X ",故X-比丫有效.習(xí)題14設(shè)X1,X2, ?,Xn是總體X7J(0, 0 )的一個樣本，證明：0 1=2X"和0 2=n+1