柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用

1、柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用柯西不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分n22n析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的。但從歷史的角度講，該不等ak2s2k 1柯西不k1k1式應(yīng)當(dāng)稱為Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，因?yàn)?，正是后兩位?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步等式非常重要，靈活巧妙地應(yīng)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解。西不等式在證明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面得到應(yīng)用。一、柯西不等式的各種形式及其證明二維形式2.22笛a(bǔ)bcdacbd等號(hào)成立條件：adbca/bc/danbn擴(kuò)展：a:a；afa：

2、1號(hào)履Habia?b?asbs0,在一般形式中，令n2,a1a,a2b,Dc,b2d,得二維形式等號(hào)成立條件：ai:b|a2:b2an：當(dāng)a0或b0時(shí)，a和b都等于不考慮ai:b,i1,2,3,nb二維形式的證明：2222abcda,b,c,dR.2.22.2.2222acbdadbc22ac2abcdb2d2a2d22abcdb2c222acbdadbc2acbd等號(hào)在且僅在adbc0即ad二be時(shí)成立三角形式-a2b2.c2d2ac$bd等號(hào)成立條件：adbc三角形式的證明：a2bc2d2a2b2d2a2b2.c2d22.22abc22ac2ac2c兩邊開根號(hào)得2d2acb2-2bd222

3、adbbdd2注：表示絕對(duì)值,c2d2IIII，等號(hào)成立條件:向量形式a1,a2,a3,an為零向量或bib?,bnnN,n2ak.2bk證明:向量形式的證明:令 m= a1,a 2,a 3,L u rm n a1b| a 2b2,ana3b3 Ln bi,b 2,b 3, L >bnanbnda2a3L/irrQcos.m，:bnalb1a2b2般形式nnn2.2akbkakbkk1k11等號(hào)成立條件:a1: b1a2: b 2an ： bn, 或 ai 、bi 均為零。n2akbk2不等式左邊=aki1aj2b2i共n2/2項(xiàng)不等式右邊=aibiajbjajbjaibiLL共n2/2

4、項(xiàng)用均值不等式容易證明，不等式左邊不等式右邊，推廣形式（卡爾松不得證。等式）：卡爾松不等式表述為：在m*n矩陣中,各行元素之和的幾何平均數(shù)不小于各列元素之積的幾何平均之和。.X12X._12LXmX12121X2nLX,m1m1LXmnmX1i11"mX._i2X._i31mXn其中,或者:m,nxzX.j其中,m,n或者X1y1X2y2ynL1Xnx表示X,yi,Xn的乘積,其余同理推廣形式的證明：推廣形式證法一:記AX1y1由平均不等式得LAX2y2LXiynLXX2lXnX1X2LXAALAnAALA同理可得，ynA/yzL1nynA1A2LAnAA2LAn上述n個(gè)不等式疊加，

5、得1XAALAnAALA1A2LXyiX2y2XnynLx1證畢或者推廣形式證法事實(shí)上涉及平均值不等式都可以用均值不等式來證，這由均值不等式I1 mXjinm j 1XjiXji1以上各式相加得上式也即kXjknXJi11mXjk j 1n1,該式整理，得Xjii 1n mXjkk 1 j 1得卡爾松不等式,Xji j 1 i 1證畢付：柯西（Cauchy）不等式相關(guān)證明方法：,2 2 2anbna1a22 2an b1ab等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2an0或bi kai時(shí)成立（k為常數(shù)，i 1,2 nR, i 1,2 n）現(xiàn)將它的證個(gè)不等式并不難，可以簡(jiǎn)單證明如下:明介紹如下:證明1：構(gòu)造二次函數(shù)

6、f(x)bn22 a 相1a2b2nanbn Xb2_22(n2=aa：LanX22,nQa1a2LanXjn0恒成立a2b22anbnaia；L即aibia2b2anbnnanbi2當(dāng)且僅當(dāng)aixbx1,2Lna2bn時(shí)等號(hào)成立證明(2)數(shù)學(xué)歸納法(i左式=aibi顯然左式二右式b2右式=aib時(shí),a；b2b；2-22-2a?b|ab?22aib|a2b22aia2b|b2aib2a2b2右式壬時(shí)等號(hào)成立（2）假設(shè)nk k ,k時(shí)，不等式成立qE a2p L a kbk2aiE2bi kai, k為常數(shù)，ii,2L n 或 ai a2ak 0時(shí)等號(hào)成立僅當(dāng)即a2ti故n1,2時(shí)不等式成立bi2ab|a?b2Lakbk2habakibk(ikikiC22Cakibkia：iCak22