【創(chuàng)新方案】2015高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(知識回扣+熱點突破+能力提升)平面向量的概念及其線性運算理北師大版

1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算【考綱下載】1了解向量的實際背景2理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義3理解向量的幾何表示4掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義5掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義1向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的(3)單位向量：長度等于1個單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量2向量的線性運算

2、向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：abba；結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算|a|a|，當(dāng)0時，a與a的方向相同；當(dāng)0時，a與a的方向相反；當(dāng)0時，a0( a)( )a；()aaa；(ab)ab3.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理(1)向量共線的判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使得ba，則向量b與非零向量a共線， 即ba(a0)ab.(2)向量共線的性質(zhì)定理：若b與非零向量a共線，則存在一個實數(shù)，使得ba，即ab(a0)ba.1兩向量共線與平行是兩個不同的概念嗎？兩向量共線是指兩向量的

3、方向一致嗎？提示：方向相同或相反的一組非零向量，叫做平行向量，又叫共線向量顯然兩向量平行或共線，其方向可能相同，也可能相反2兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共線向量，這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同，兩向量平行時，兩向量可以在同一條直線上30與a0時，a的值是否相等？提示：相等，且均為0.4當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立嗎？提示：成立1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量 D不可能都是單位向量解析：選C若a與b都是零向量，則ab，故選項C正確2若mn，nk，則向量m與向量k()A共線 B不共線C

4、共線且同向 D不一定共線解析：選D可舉特例，當(dāng)n0時，滿足mn，nk，故A、B、C選項都不正確，故D正確3D是ABC的邊AB上的中點，則向量等于()A BC D解析：選A如圖，由于D是AB的中點，所以4(教材習(xí)題改編)化簡的結(jié)果為_解析：()().答案： 5已知a與b是兩個不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則的值為_解析：ab與(b3a)共線，存在實數(shù)，使ab(3ab)，即答案：考點一向量的概念 例1給出下列四個命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則四邊形ABCD為平行四邊形；若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中假命題的個數(shù)為()A1

5、 B2 C3 D4自主解答不正確|a|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等；不正確因為，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形；不正確兩向量不能比較大??；不正確當(dāng)0時，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線答案D【方法規(guī)律】解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注五點(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談(5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量.下列說法中錯誤的是()A有向線

6、段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段B若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量C長度相等但方向相反的兩個向量不一定共線D方向相反的兩個非零向量必不相等解析：選C選項A中向量與有向線段是兩個完全不同的概念，故正確；選項B中零向量與任意向量共線，故a，b都是非零向量，故正確；選項C中是共線向量，故錯誤；選項D中既然方向相反就一定不相等，故正確高頻考點考點二 平面向量的線性運算1平面向量的線性運算是每年高考的重點，題型多為選擇題和填空題，難度較小，屬中低檔題2高考對平面向量的線性運算的考查主要有以下幾個命題角度：(1)考查向量加法或減法的幾何意義；(2)求已知向量的和；(3)與三角形聯(lián)系，

7、求參數(shù)的值；(4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系例2(1)(2012·遼寧高考)已知兩個非零向量a，b滿足|ab|ab|，則下面結(jié)論正確的是()Aab BabC|a|b| Dabab(2)(2011·四川高考)如圖，正六邊形ABCDEF中，()A0 B C D 第(2)題圖第(3)題圖(3)(2013·四川高考)如圖在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，則 _. (4)(2013·江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若1 2 (1，2為實數(shù))，則12的值為_自主解答(1)法一：(代數(shù)法)將原式平方得|ab

8、|2|ab|2，a22a·bb2a22a·bb2，a·b0，ab.法二：(幾何法)如圖所示：在ABCD中，設(shè)a，b，ab，ab，|ab|ab|，平行四邊形兩條對角線長度相等，即平行四邊形ABCD為矩形，ab.(2)因六邊形ABCDEF是正六邊形，故.(3)由平行四邊形法則，有，已知，所以2.(4) ()，12，1，2，故12. 答案(1)B(2)D(3)2(4)平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義向量加法和減法均適合平行四邊形法則(2)求已知向量的和一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形

9、法則(3)與三角形聯(lián)系，求參數(shù)的值求出向量的和或與已知條件中的和式比較，然后求參數(shù)(4)與平行四邊形聯(lián)系，研究向量的關(guān)系畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解1在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若a，b，則等于()A.ab B.ab C.ab D.ab解析：選B如圖，由題意知，DEBE13DFAB，故，則abab.2若O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且2 0，那么()A B2C3 D2解析：選A因為D是BC邊的中點，所以有2，所以2222()00.3(2014·萍鄉(xiāng)模

10、擬)在ABC中，點D在線段BC的延長線上，且3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，若x(1x) ，則x的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選D設(shè)y，yy()y(1y) ，3，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，y，x(1x)，x.考點三共線向量定理的應(yīng)用 例3設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A，C，D三點共線；(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A，C，F(xiàn)三點共線，求k的值自主解答(1)證明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，與共線又與有公共點C，A，C，D三點共線(2)e1e2，2e13e2，

11、3e12e2.A，C，F(xiàn)三點共線，從而存在實數(shù)，使得.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2.實數(shù)k的值為2.【互動探究】在本例條件下，試確定實數(shù)k，使ke1e2與e1ke2共線解：ke1e2與e1ke2共線，存在實數(shù)，使ke1e2(e1ke2)，即ke1e2e1ke2，解得k±1. 【方法規(guī)律】1共線向量定理的應(yīng)用(1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值(2)若a，b不共線，則ab0的充要條件是0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛2證明三點共線的方法若，則A、B、C三點共線若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當(dāng)t

12、為何值時，a，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上？解：a，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上，且a與b起點相同atb與a(ab)共線，即atb與ab共線，存在實數(shù)，使atb，解得，t，即t時，a，tb，(ab)三向量的終點在同一條直線上課堂歸納通法領(lǐng)悟1個規(guī)律向量加法規(guī)律一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即.特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量2個結(jié)論向量的中線公式及三角形的重心(1)向量的中線公式若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)一點，則()(2)三角形的重心已知平面內(nèi)不共線的三點A、B、C，()G是ABC的重心特別地，0

13、P為ABC的重心3個等價轉(zhuǎn)化與三點共線有關(guān)的等價轉(zhuǎn)化A，P，B三點共線 (0) (1t) t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，tR) xy (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，xR，yR，xy1)4個注意點向量線性運算應(yīng)注意的問題(1)作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點；(2)向量共線的充要條件中要注意“a0”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個；(3)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；(4)利用向量平行證明直線平行，必須說明這兩條直線不重合. 易誤警示(六)平面向量的線性運算中的易誤點

14、典例(2013·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個命題：給定向量b，總存在向量c，使abc；給定向量b和c，總存在實數(shù)和，使ab c；給定單位向量b和正數(shù)，總存在單位向量c和實數(shù)，使abc；給定正數(shù)和，總存在單位向量b和單位向量c，使abc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是()A1B2C3D4解題指導(dǎo)利用三角形法則和平行四邊形法則逐項作出判斷解析對于，因為a與b給定，所以ab一定存在，可表示為c，即cab，故abc成立，正確；對于，因為b與c不共線，由平面向量基本定理可知正確；對于，由題意必有b和c表示不共線且長度不

15、定的向量，由于為正數(shù)，故bc不能把任意向量a表示出來，故錯誤；對于，利用向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，即必有|b|c|a|，故錯誤，因此正確的個數(shù)為2.答案B名師點評1.本題若對向量加法的幾何意義理解有誤或作圖不準，易誤認為也是正確的，從而錯選C.2進行向量的線性運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來解下列命題中正確的是()A向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使baB在ABC中，0C不等式|a|ab|ab|a|b|中兩個等號不可能同時成立D向量a，b不共線，則向量ab與向量ab必

16、不共線解析：選D若a0，b0，此時a，b共線，但對任意實數(shù)都不滿足ba，故選項A不正確；0而不是0，故選項B不正確；當(dāng)a，b中至少有一個為0時，兩個等號同時成立，故選項C不正確；因為向量a與b不共線，所以a，b，ab與ab均為非零向量若ab與ab共線，則存在實數(shù)，使ab(ab)，即(1)a(1)b，則方程組無解，故假設(shè)不成立，即ab與ab不共線，故選D.全盤鞏固1設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()A|a|b|且ab BabCab Da2b解析：選D表示與a同向的單位向量，a與b必須方向相同才能滿足.2.已知如圖所示的向量中，用，表示，則等于()A.B.CD解析：選C(

17、).3已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m使得m成立，則m()A2 B3 C4 D5解析：選B由0，易得M是ABC的重心，且重心M分中線AE的比為AMME21，2m，2，故m3.4已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D解析：選A3a6b3.因為與有公共點A，所以A，B，D三點共線5設(shè)O在ABC的內(nèi)部，且有230，則ABC的面積和AOC的面積之比為()A3 B. C2 D.解析：選A設(shè)AC，BC的中點分別為M，N，則已知條件可化為()2()0，即240，所以2，說明M，O，N三點共線，則O為中位線MN上靠近N點一個

18、三等分點，SAOCSANC×SABCSABC，所以3.6. (2014·景德鎮(zhèn)模擬)已知：如圖，|1，與的夾角為120°，與的夾角為30°，若 (、R)，則等于()A. B. C. D2解析：選D過C作OB的平行線交OA的延長線于D.由題意可知，COD30°，OCD90°，OD2CD，又，|2|，即2，故2.7在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則_(用a，b表示)解析：由3，得433(ab)，ab，所以(ab)ab.答案：ab8若|8，|5，則|的取值范圍是_解析：因為，當(dāng)，同向時，|853；當(dāng)，反向時，|8513；當(dāng)，不共線

19、時，3<|<13.綜上可知3|13.答案：3,139(2014·太原模擬)如圖，ABC中，0，a，b.若ma，nb，CGPQH，2，則_.解析：由0，知G為ABC的重心，取AB的中點D，則()，由P，H，Q三點共線，得1，則6.答案：610.如圖，在梯形ABCD中，|2|，M，N分別是DC，AB的中點若e1，e2，用e1，e2表示，.解：；e2e1；e1e2.11已知a，b不共線，a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值；若不存在，請說明理由解：由題設(shè)知，dc2b3a，ec(t3)atb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因為a，b不共線，所以有解得t.故存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上12已知P為ABC內(nèi)一點，且3 4 50，延長AP交BC于點D，若a，b，用a、b表示向量，.解：a，b，又34 50，34(a)5(b)0，ab.設(shè)t (tR)，則tatb.又設(shè)k (kR)，由ba，得k(ba)而a.ak(ba)(1k)akb.由得