選修4-4伸縮變換與極坐標系(上課)（課堂PPT）

1、1選修選修4-4 極坐標與參數方程極坐標與參數方程平面直角坐標系中的伸縮變換平面直角坐標系中的伸縮變換2思考：思考：3？得到曲線得到曲線怎樣由正弦曲線怎樣由正弦曲線xyxy2sinsin .2sinsin21),(sinxyxyxyyxPxy 就就變變成成曲曲線線時時正正弦弦曲曲線線，此此縮縮為為原原來來的的不不變變，將將橫橫坐坐標標保保持持縱縱坐坐標標上上任任取取一一點點如如圖圖示示：在在正正弦弦曲曲線線4壓縮變換。壓縮變換。中的一個坐標中的一個坐標式叫做平面直角坐標系式叫做平面直角坐標系此時，我們把此時，我們把即有即有，得到點，得到點縮為原來的縮為原來的不變，將橫坐標不變，將橫坐標縱坐標縱

2、坐標任意一點，保持任意一點，保持是平面直角坐標系中的是平面直角坐標系中的設設)1()1(21),(21),(yyxxyxPxyyxP 5?sin3sin)2(xyxy 得得到到曲曲線線怎怎樣樣由由正正弦弦曲曲線線.sin3sin3),(sinxyxyyxyxPxy 就就變變成成曲曲線線則則正正弦弦曲曲線線倍倍，伸伸長長原原來來的的不不變變，將將縱縱坐坐標標保保持持橫橫坐坐標標上上任任取取一一點點如如圖圖示示：在在正正弦弦曲曲線線6.)2()2(3),(3),(伸伸長長變變換換中中的的一一個個坐坐標標式式叫叫做做平平面面直直角角坐坐標標系系此此時時，我我們們把把即即有有倍倍，得得到到點點伸伸長長

3、為為原原來來的的不不變變，將將縱縱坐坐標標任任意意一一點點，保保持持橫橫坐坐標標是是平平面面直直角角坐坐標標系系中中的的設設yyxxyxPyxyxP 7?2sin3sin)3(xyxy 得到曲線得到曲線怎樣由正弦曲線怎樣由正弦曲線，縮縮為為原原來來的的不不變變，將將橫橫坐坐標標縱縱坐坐標標任任意意一一點點，先先保保持持是是平平面面直直角角坐坐標標系系中中的的設設21),(xyyxP倍倍，伸伸長長為為原原來來的的在在此此基基礎礎上上再再將將縱縱坐坐標標3yxyxy2sin3sin 得得到到曲曲線線就就可可以以由由正正弦弦曲曲線線8.)3()3(321),(),(伸伸縮縮變變換換中中的的一一個個坐

4、坐標標式式叫叫做做平平面面直直角角坐坐標標系系此此時時，我我們們把把即即有有變變換換后后變變?yōu)闉辄c點任任意意一一點點，經經過過上上述述是是平平面面直直角角坐坐標標系系中中的的設設yyxxyxPyxP 9.),(),()0()0(),(縮縮變變換換，簡簡稱稱伸伸縮縮變變換換直直角角坐坐標標系系中中的的坐坐標標伸伸為為平平面面，稱稱對對到到應應點點的的作作用用下下，點點：點點，在在變變換換任任意意一一是是平平面面直直角角坐坐標標系系中中的的定定義義：設設點點 yxPyxPyyxxyxP 102223(1) 230(2)1xxyyxyxy 例例1 1、在在平平面面直直角角坐坐標標系系中中，求求下下列

5、列方方程程所所對對應應的的圖圖形形經經過過伸伸縮縮變變換換后后的的圖圖形形。、11. 0032320, 032(*)(*)312132)1( yxyxyyxxyxyxyyxxyyxx變變成成直直線線后后，直直線線所所以以，經經過過伸伸縮縮變變換換后后的的方方程程為為得得到到經經過過伸伸縮縮變變換換代代入入將將得得到到由由伸伸縮縮變變換換解解：12194132194, 1(*)2(22222222 yxyxyyxxyxyx變變成成橢橢圓圓后后，圓圓故故經經過過伸伸縮縮變變換換后后的的圖圖形形的的方方程程是是得得到到經經過過伸伸縮縮變變換換代代入入、將將1314222249361xyxy練練習習1

6、 1：1 1、在在同同一一平平面面直直角角坐坐標標系系中中，求求滿滿足足下下列列圖圖形形變變換換的的伸伸縮縮變變換換：曲曲線線變變成成曲曲線線1312xxyy223-99xxyyxy 2 2. .在在同同一一平平面面直直角角坐坐標標系系中中，經經過過伸伸縮縮變變換換后后，曲曲線線C C變變?yōu)闉榍€線, ,求求曲曲線線C C的的方方程程。122 yx151.在同一平面直角坐標系中，在同一平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經求下列方程所對應的圖形經過伸縮變換后的圖形。過伸縮變換后的圖形。1312xxyy 22222112132941812xyxyyx2.在同一平面直角坐標系中，求滿足下在同

7、一平面直角坐標系中，求滿足下列圖形變換的伸縮變換。列圖形變換的伸縮變換。 22221222 4;22016 4 0.xyxyxyxxyx直線變成直線曲線變成曲線16極坐標系極坐標系17一、極坐標系的建立：一、極坐標系的建立：在平面內取一個定點在平面內取一個定點O，叫做，叫做極點極點。引一條射線引一條射線OX，叫做，叫做極軸極軸。再選定一個長度單位再選定一個長度單位和和角度單位角度單位及及它的正它的正方向方向（通常取逆時針（通常取逆時針方向）。方向）。這樣就建立了一個這樣就建立了一個極坐標系極坐標系。XO18二、極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定二、極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定XOM 對于平面上任意一

8、點對于平面上任意一點MM，用，用 表示線段表示線段OMOM的的長度，用長度，用 表示從表示從OXOX到到OM OM 的角度，的角度， 叫做點叫做點MM的的極徑極徑， 叫做點叫做點MM的的極極角角，有序數對，有序數對（ ， ）就就叫做叫做MM的極坐標。的極坐標。指出指出：（1）一般地，不作特殊說明時，我們認為）一般地，不作特殊說明時，我們認為0， 可取任意實數可取任意實數。 （2）當）當M在極點時，它的極坐標為（在極點時，它的極坐標為（0，），）， 可取任意值?？扇∪我庵?。19題組一題組一. 如圖，寫出各點的極坐標：如圖，寫出各點的極坐標：。Ox 4 25 64 35 3 ABCDEFGA(4,

9、0)B(3, ) 4C(2, ) 2D(5, )5 6E(4.5, )F(6, )4 3G(7, )5 320平面上一點的極坐標是否唯一？平面上一點的極坐標是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？坐標不唯一是由誰引起的？坐標不唯一是由誰引起的？不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？一般地，極坐標與一般地，極坐標與表示同一個點。表示同一個點。),( )(2,(Zkk 思考：思考：21三、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況三、極坐標系下點與它的極坐標的對應情況1給定（給定（ , ）,就可以在就可以在極坐標極坐標平面內確定唯一的一點平面

10、內確定唯一的一點M。2給定平面上一點給定平面上一點M，但卻有，但卻有無數個極坐標與之對應。無數個極坐標與之對應。原因在于：極角有無數個。原因在于：極角有無數個。OXPM(,)如果如果限定限定0,02那么除極點外那么除極點外,平面內的點和極坐標就可以平面內的點和極坐標就可以一一一一對應對應了了.22 思考：思考：我們已經學了直角坐標系和我們已經學了直角坐標系和極坐標系兩種刻畫點的方式，平面極坐標系兩種刻畫點的方式，平面內的一個點既可以用直角坐標表示，內的一個點既可以用直角坐標表示，也可以用極坐標表示，那么，他們也可以用極坐標表示，那么，他們之間能不能找到一種關系讓他們之之間能不能找到一種關系讓他

11、們之間怎么互相轉化呢間怎么互相轉化呢？ 23極坐標與直角坐標的互化公式極坐標與直角坐標的互化公式)0(tan,222 xxyyx 直直化化極極： sin,cos yx極極化化直直：24互化前提互化前提 1. 極點與直角坐標系的原點重合極點與直角坐標系的原點重合; 2. 極軸與直角坐標系的極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合軸的正半軸重合; 3. 兩種坐標系的單位長度相同兩種坐標系的單位長度相同.Oxy),( Mxy sin,cosyx極極坐坐標標化化直直角角坐坐標標：)(tan,0222xxyyx 直直角角坐坐標標化化極極坐坐標標：當點不在第一象限內時，是否還成立？原理是什么？25例例3：互化下列直角坐標與極坐標：互化下列直角坐標與極坐標直角坐標極坐標)3, 3( ) 1, 3( )0 ,5(直角坐標極坐標)6, 4( )2, 1 ( ), 3( )2 ,32()1, 0( ) 0 , 3( )65, 32( )67, 2( )0 , 5(2623 -13323324432257330