三角函數(shù)y=Asin(ωx φ)中的對稱軸

1、三角函數(shù)y=Asin（x+）中的對稱軸江蘇 韓文美正弦函數(shù)y=sinx的對稱軸是x=k+（kZ），它的對稱軸總是經(jīng)過它圖象的最高點或者最低點。由于三角函數(shù)y=是由正弦函數(shù)y=sinx復合而成的，所以令=k+，就能得到y(tǒng)=的對稱軸方程x=（kZ）。通過類比可以得到三角函數(shù)y=的對稱軸方程x=（kZ）。下面通過幾道典型例題來談一談如何應用它們的對稱軸解題。1解析式問題例1設函數(shù)=（），圖像的一條對稱軸是直線，求的值。分析：正弦函數(shù)y=sinx的對稱軸是x=k+，令2x+=k+，結(jié)合條件求解。解析：是函數(shù)y=的圖像的對稱軸，kZ，而，則。點評：由于對稱軸都是通過函數(shù)圖像的最高點或者最低點的直線，所以

2、把對稱軸的方程代入到函數(shù)解析式，函數(shù)此時可能取得最大值或最小值。易錯點就在于很多同學誤認為由于正弦函數(shù)y=sinx的周期是2k，所以會錯誤的令=2k+。2參數(shù)問題例2如果函數(shù)ysin2xacos2x的圖象關(guān)于直線x對稱，則a的值為（ ）A B C1 D1分析：由于本題是選擇題，所以解法多種多樣，可以帶入驗證；也可以根據(jù)對稱軸的通式求解，還可以根據(jù)最值求解。解法一：ysin2xacos2x=sin（2x），其中cos=，sin=，由函數(shù)的圖象關(guān)于x=對稱知，函數(shù)ysin2xacos2x在x=處取得最大值或最小值，sin（）acos（）±，即（1a）=±，解得a1，所以應選擇答

3、案：D。點評：過函數(shù)y=Asin（）圖象最值點與y軸平行(或重合)的直線都是函數(shù)圖象的對稱軸。解法二：顯然a0，如若不然，x就是函數(shù)ysin2x的一條對稱軸，這是不可能的，當a0時，ysin2xacos2x=，其中，即tan=，函數(shù)ycos（2x）的圖象的對稱軸方程的通式為2xkk（kZ），xk，令xk，則=，=k，tantan（k）1，即=1，a=1為所求，所以應選擇答案：D。點評：根據(jù)余弦型函數(shù)的對稱軸問題，結(jié)合對應的正切值的值加以分析求解，也是一種特殊的方法。解法三：f(x)sin2xacos2x的圖象關(guān)于直線x對稱，令x=，得，sinacos=sin0acos0，得a1，所以應選擇答案

4、：D。點評：這種解法比較巧妙，緊扣住對稱性的定義，采用特殊值法代入。是不可多得的一種快捷方便的解答方法。3單調(diào)區(qū)間問題例3在下列區(qū)間中函數(shù)ysin（x）的單調(diào)增區(qū)間是（ ）A， B0， C，0 D，分析：像這類題型，常規(guī)解法都是運用yAsin（x）的單調(diào)增區(qū)間的一般結(jié)論，由一般到特殊求解，既快又準確，本題倘若運用對稱軸方程求單調(diào)區(qū)間，則是一種頗具新意的簡明而又準確、可靠的方法。解析：函數(shù)ysin（x）的對稱軸方程是：xk=k=k（kZ），照選擇支，分別取k1、0、1，得一個遞增或遞減區(qū)間分別是，或，對照選擇支思考即知應選擇答案：B。點評：一般運用正、余弦函數(shù)的對稱軸方程求其單調(diào)區(qū)間，可先運用對

5、稱軸方程求其一個單調(diào)區(qū)間，然后在兩端分別加上周期的整數(shù)倍即得。4函數(shù)性質(zhì)問題例4設點P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，則的最小正周期是（ ）A2 B C D分析：根據(jù)正弦（或余弦）函數(shù)的圖象的對稱中心到一條對稱軸的距離的最小值等于周期的性質(zhì)加以轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，從而得到正確解答。解析：設點P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，而圖象的對稱中心到一條對稱軸的距離的最小值等于周期，最小正周期為T=×4=，即選擇答案：B。點評：三角函數(shù)的對稱性與其他相應的性質(zhì)是緊密相關(guān)，特別和三角函數(shù)的周期性問題、單調(diào)性問題、最值問題能息息相關(guān)，要注意加以相互轉(zhuǎn)化。函數(shù)y=的對稱軸是函數(shù)的一條重要性質(zhì)，要準確的理解函數(shù)圖像實質(zhì)