《一元二次不等式及其解法》典型例題透析(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一元二次不等式及其解法典型例題透析類型一：解一元二次不等式例1. 解下列一元二次不等式（1）； （2）； （3）思路點撥: 轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號法則解答.解析：（1）方法一：因為所以方程的兩個實數(shù)根為：，函數(shù)的簡圖為：因而不等式的解集是.方法二： 或解得 或 ，即或.因而不等式的解集是.（2）方法一：因為，方程的解為.函數(shù)的簡圖為：所以，原不等式的解集是方法二：（當(dāng)時，）所以原不等式的解集是（3）方法一：原不等式整理得.因為，方程無實數(shù)解，函數(shù)的簡圖為：所以不等式的解集是.所以原不等式的解集是.方法二：原不等式的解集是.總結(jié)升華：1. 初學(xué)二次不

2、等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能力；2. 當(dāng)時，用配方法，結(jié)合符號法則解答比較簡潔（如第2、3小題）；當(dāng)且是一個完全平方數(shù)時，利用因式分解和符號法則比較快捷，（如第1小題）.3. 當(dāng)二次項的系數(shù)小于0時，一般都轉(zhuǎn)化為大于0后，再解答.舉一反三：【變式1】解下列不等式(1) ；(2) (3) ； (4) .【答案】（1）方法一：因為方程的兩個實數(shù)根為：，函數(shù)的簡圖為：因而不等式的解集是：.方法二：原不等式等價于, 原不等式的解集是：.（2）整理，原式可化為,因為,方程的解，函數(shù)的簡圖為：所以不等式的解集是.（3）方法一：因為方程有兩個相等的實根：，由函數(shù)的圖象為

3、：原不等式的的解集是.方法二： 原不等式等價于：, 原不等式的的解集是.（4）方法一：因為，方程無實數(shù)解，由函數(shù)的簡圖為：原不等式的解集是.方法二：， 原不等式解集為.【變式2】解不等式：【答案】原不等式可化為不等式組 ，即，即，解得原不等式的解集為.類型二：已知一元二次不等式的解集求待定系數(shù)例2. 不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集。思路點撥:由二次不等式的解集為可知：4、5是方程的二根，故由韋達(dá)定理可求出、的值，從而解得. 解析：由題意可知方程的兩根為和由韋達(dá)定理有，化為，即，解得，故不等式的解集為.總結(jié)升華：二次方程的根是二次函數(shù)的零點，也是相應(yīng)的不等式的解集的端點.根據(jù)不等式的解集的

4、端點恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點是解此類題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式1】不等式ax2+bx+12>0的解集為x|-3<x<2，則a=_, b=_?！敬鸢浮坑刹坏仁降慕饧癁閤|-3<x<2知a<0，且方程ax2+bx+12=0的兩根為-3，2。由根與系數(shù)關(guān)系得解得a=-2, b=-2?！咀兪?】已知的解為,試求、,并解不等式.【答案】由韋達(dá)定理有：，,.代入不等式得，即，解得，故不等式的解集為：.【變式3】已知關(guān)于的不等式的解集為，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】由韋達(dá)定理有：，解得, 代入不等式得，即，解得

5、或.的解集為：.類型三：二次項系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問題例3已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。思路點撥:不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)。解析：(1)當(dāng)m2+4m-5=0時，m=1或m=-5若m=1，則不等式化為3>0, 對一切實數(shù)x成立，符合題意。若m=-5，則不等式為24x+3>0，不滿足對一切實數(shù)x均成立，所以m=-5舍去。(2)當(dāng)m2+4m-50即 m1且m-5時，由此一元二次不等式的解集為R知，拋物線y=(m2+4m-5)x2-4(m-1

6、)x+3開口向上，且與x軸無交點，所以， 即， 1<m<19。 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是m|1m<19。 總結(jié)升華：情況(1)是容易忽略的，所以當(dāng)我們遇到二次項系數(shù)含有字母時，一般需討論。舉一反三：【變式1】 若關(guān)于的不等式的解集為空集，求的取值范圍.【答案】關(guān)于的不等式的解集為空集 即的解集為R當(dāng)時，原不等式為：，即，不符合題意，舍去.當(dāng)時，原不等式為一元二次不等式，只需且，即，解得，綜上，的取值范圍為：.【變式2】若關(guān)于的不等式的解為一切實數(shù)，求的取值范圍.【答案】當(dāng)時，原不等式為：，即，不符合題意，舍去.當(dāng)時，原不等式為一元二次不等式，只需且，即，解得，綜上，的取值

7、范圍為：.【變式3】若關(guān)于的不等式的解集為非空集，求的取值范圍.【答案】當(dāng)時，原不等式為：，即，符合題意.當(dāng)時，原不等式為一元二次不等式，顯然也符合題意當(dāng)時，只需，即，解得，綜上，的取值范圍為：.類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法例4解下列關(guān)于x的不等式（1）x2-2ax-a2+1； （2）x2-ax+1>0； （3）x2-(a+1)x+a<0； 解析：(1) 原不等式的解集為。(2) =a2-4當(dāng)>0，即a>2或a<-2時，原不等式的解集為當(dāng)=0，即a=2或-2時，原不等式的解集為。當(dāng)<0，即-2<a<2時，原不等式的解集為R。（3）(x

8、-1)(x-a)<0 當(dāng)a>1時，原不等式的解集為x|1<x<a 當(dāng)a<1時，原不等式的解集為x|a<x<1 當(dāng)a=1時，原不等式的解集為?？偨Y(jié)升華：對含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步：定號：對二次項系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向；求根：求相應(yīng)方程的根。當(dāng)無法判斷判別式與0的關(guān)系時，要引入討論，分類求解；定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當(dāng)無法判斷兩根的大小時，引入討論。舉一反三：【變式1】解關(guān)于x的不等式：【答案】原不等式化為a=1或a=-1時，解集為Æ；當(dāng)0<a<1 或a<-1時，解集為：；當(dāng)a

9、>1或 -1<a<0時，解集為：。【變式2】解關(guān)于的不等式：（）【答案】當(dāng)a0或a1時，解集為；當(dāng)a=0時，解集為；當(dāng)0a1時，解集為；當(dāng)a=1時，解集為；例5解關(guān)于x的不等式：ax2(a+1)x+10。解析：若a=0，原不等式x+10x1；若a0，原不等式或x1；若a0，原不等式，其解的情況應(yīng)由與1的大小關(guān)系決定，故（1）當(dāng)a=1時，原不等式；（2）當(dāng)a1時，原不等式；（3）當(dāng)0a1時，原不等式綜上所述：當(dāng)a0，解集為；當(dāng)a=0時，解集為x|x1；當(dāng)0a1時，解集為；當(dāng)a=1時，解集為；當(dāng)a1時，解集為?？偨Y(jié)升華：熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)，對最高項含有字

10、母系數(shù)的不等式，要注意按字母的取值情況進(jìn)行分類討論，分類時要“不重不漏”。舉一反三：【變式1】解關(guān)于x的不等式：(ax-1)(x-2)0； 【答案】當(dāng)a=0時，x(-¥,2. 當(dāng)a0時，方程(ax-1)(x-2)=0兩根為當(dāng)a>0時，若， 即時，；若， 即時，xR； 若， 即時，.當(dāng)a<0時，則有：， ?！咀兪?】解關(guān)于x的不等式：ax22x-1<0；【答案】當(dāng)a=0時，.當(dāng)a0時，=4+4a=4(a+1)， a>0時，則>0，.a<0時，若a<0，<0， 即a<-1時，xR；若a<0，=0， 即a=-1時，xR且x1；若a<0，>0， 即 -1<a<0時， 。【變式3】解關(guān)于x的不等式：ax2-x+1>0【答案】若a=0，原不等式化為-x+1>0，解集為x|x<1；若a0，原不等式為關(guān)于x的一元二次不等式.方程的判別式=1-4a ()當(dāng)=1-4a<0，即時，方程沒有實數(shù)根，故函數(shù)的圖象開口向上，與x軸沒有交點，其簡圖如下：所以，此時不等式的解集為實數(shù)集R； ()當(dāng)=1-4a=0，即時，方程有兩個相等實數(shù)根x=2，故函數(shù)的圖象開口向上，與x軸有唯一交點(2，0)，其簡圖如下：所以，此時不等式的解集為；()當(dāng)=1-4a>0，即時，方程有兩個不等實數(shù)根，當(dāng)