(完整word版)相似相似三角形全部知識點總結(jié)附帶經(jīng)典習(xí)題和答案,推薦文檔

1、拔高題目量力而行拔高相似三角形習(xí)題集適合人群：老師備課，以及優(yōu)秀同學(xué)拔高使用。一、基礎(chǔ)知識（不局限于此）（一）.比例1 .第四比例項、比例中項、比例線段；2 .比例性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：?=三 0 ad = be - = <=> /?2 =ac b ab c,、人a ca±b c±d（2）合比定理：- = -=> = b dbd 4 c 4 ma + c+A + m a . . 4 八（3）等比定理：=A => = .（/? +J +A + 。0）b a nb + d +A + bAP R3 .黃金分割：如圖，若則點P為線段AB的黃金分割點.八。oo

2、4 .平行線分線段成比例定理（二）相似1 .定義:我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.2 .相似多邊形的特性:相似多邊的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等.3 .相似三角形的判定 （1）平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 （2）如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似。 （3）如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似。 （4）如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。4 .相似三角形的性質(zhì) （1）對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等. （2）相似三角形的周長比等于相似比. （3）相似三角形的面積

3、比等于相似比的平方. （4）相似三角形的對應(yīng)邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比.5 .三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。6 .梯形的中位線定義：梯形兩腰中點連線叫做梯形的中位線.梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底并且等于兩底和的一半.7 .相似三角形的應(yīng)用：1、利用三角形相似，可證明角相等：線段成比例（或等積式）：2、利用三角形相似，求線段的長等3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測量的物體的長度。如求河的寬度、求建筑物的高度等。（三）位似:位似:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且是每組對應(yīng)

4、點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個圖形 叫做位似圖形。這個點叫做位似中心.這時的相似比又稱為位似比.位似性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比二、經(jīng)典例題例1.如圖在4X4的正方形方格中，ABC和4DEF的頂點都在長為1的小正方形頂點上.（1）填空：NABC二（2）判定AABC與4DEF是否相似？考點透視本例主要是考查相似的判定及從圖中獲取信息的能力.參考答案135° , 2" 能判斷AABC與4DEF相似，DE EF【點評】注意從圖中提取有效信息，再用兩對應(yīng)邊的比相等且它們兩夾角相等來判斷.例2.如圖所示，D、E兩點分別在ABC兩條邊上，且D

5、E與BC不平行，請?zhí)钌弦粋€你認(rèn) 為適合的條件，使得ADEsABC.考點透視本例主要是考查相似的判定參考答案N1=NB或N2二NC,或竺=生 AB AC點評：結(jié)合判定方法補充條件.例3.如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走2米到達E 處時，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈A的高度等于（）AA.45米 B.6米 07.2米 D. 8米考點透視本例主要是考查相似的應(yīng)用參考答案B例4.如圖，ZkABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,高AD二80mm,要把它加工成正方 Jfk-形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在A

6、B、AC上，這個正方形零件的 邊長是多少？考點透視本例主要是考查相似的實際應(yīng)用參考答案48mm/【點評】解決有關(guān)三角形的內(nèi)接正方形（或矩形）的計算問座，一般運用相似三角形“對 bqdm 應(yīng)高之比等工相似比“這一性質(zhì)來解答.例5.如圖所示，在ABC中，AB=AC二1,點D、E在直線BC上運動，設(shè)BD=x, CE=y.（1）如果NBAC=30° , ZDAE=105° ,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（2）如果NBAC的度數(shù)為a , NDAE的度數(shù)為B,當(dāng)。、8滿足怎樣的關(guān)系式時，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說明理由.生考點透視本例主要是考查相似與函數(shù)的綜合運用./

7、7V參考答案解：在ZABC 中，AB=AC=1, NBAC=30" , ZABC= ZACB=75° , ZABD= 詆/ /NACE=105° .后又NDAE= 1050 ,NDAB+NCAE=75° .又 NDAB+ ZADB=ZABC=75° ,/. ZCAE=ZADB, AAADBAEAC,.AB _BD即 1 _ x.vECACy 1x當(dāng)Q邛滿足-二90',尸，仍成立. 2x此時 NDAB+NCAE= B - a , /. ZDAB+ZADB= B - a ,/. NCAE二NADB.又 TN ABD 二 NACE, AAAD

8、BAEAC, /.y=-.X【點評】確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系.例6. 一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為：3. 5cmX3. 5cm,放映的熒屏的規(guī)格為2mX2m, 若放映機的光源距膠片20cm時，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏？ 解析：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當(dāng)于位似中心，因此本眶可以轉(zhuǎn)化為位似問題解 答.考點透視本例主要是考查位似的性質(zhì).參考答案與m【點評】位似圖形是特殊位置上的相似圖形，因此位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).三.適時訓(xùn)練(一)精心選一選ni + n(A)2mn(B)mn(C)i

9、n + n(D)mn2mn2.如圖，在正三角形ABC中,ah iD, E 分別在 AC, AB 上，且=一，AE=BE,貝ij ()AC 3(A) MEDsABED (B) MEDsCBD (C)hEDsaaBD (D) ABADsABCD1.梯形兩底分別為"人，過梯形的對角線的交點，引平行于底邊的直線被兩腰所截得的線段長為()第5頁3 .尸是R/AABC斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作立線截ABC,使截得的三角形與ABC相似, 滿足這樣條件的直線共有()(A)l 條 (B)2 條 (0 3 條 (D)4 條4 .如圖，NA3O=NACD,圖中相似三角形的對數(shù)是()(A) 2(B

10、) 3(C) 4(D) 55 .如圖，ABC。是正方形，E是。的中點，尸是8c邊上的一點，卜.列條件中，不能推出/46P與 相似的是()(A) NAPB=NEPC (B) NAPE=90° (C) P 是 BC 的中點(D) BP : BC=2 ： 36 .如圖，AABC中，AO_L8c于。，且有下列條件：CD AC , (1) N8+NZMC 90° ； (2) NB - NDAg (3)； (4) AB2-BD - BCAD AB其中一定能夠判定AABC是直角三角形的共有()(A) 3 個 (B)2 個 (C)l 個 (D)0 個7 .如圖，將ADE繞正方形48c。頂點

11、A順時針旋轉(zhuǎn)90“，得ABF,連結(jié)七人交于從 則卜.列結(jié) 論中錯誤的是()(A) AE1AF (B) EF ： AF= 41 ： 1 (C) AF2=FH FE (D) FB ： FC=HB ： EC8 .如圖，在矩形ABC。中，點E是4。上任意一點，則有()(A) AA8E的周長+ ZXCDE的周長= Z8CE的周長(B) AABE的面枳+4CDE的面枳=4BCE的面積(C) MBEs4DEC (D) MBEs4EBC9 .如圖，在 Z34BC0 中，E 為 40 上一點，DE： CE=2： 3,連結(jié) BE、BD,且 HE、8。交于點 F,貝$30£尸- SEBF * S"

12、;等于()(A) 5 ： 12(B) 9 ： 5(C) 12 ： 5(D) 3 ： 211 .如圖，在ABC中，M是AC邊中點，E是AB上一點，J1AE=9a&連結(jié)EM并延長，交BC的延 4長線于。，此時8C：。為()(A) 2 ： 1(B)3 ： 2(C)3：l(D) 5 ： 212 .如圖，矩形紙片A6co的長AO=9 cm,寬A5=3cni,將其折疊，使點。與點6重合，那么折疊后DE的長和折痕EF的長分別為()(A) 4 cm、V10 cm (B) 5 cm、yfiQ cm (C) 4 cm. 2途 cm (D) 5 cm. 2>/3 cm題12(二)細心填一填13 .己知

13、線段。=6 cm, h=2 cm>則a、b、a+b的第四比例項是cm, a+與ab的比例中項是cm.+ a + b b + c a + c , lt.14 .若=-=一廠,則 m=.cab15 .如圖，在八48。中，A8=AC=27,£> 在 AC 上，且 8D=8C=18,OE8C 交 A8 于 E,則 0E=16 .如圖，2BC0 中，£ 是 AB 中點，尸在 上，SlAF=-FD. EF 交 4c 于 G,則 AG ： AC=2題16題17題1817.如圖，A8C。，圖中共有對相似三角形.18 .如圖，已知ABC,尸是A8上一點，連結(jié)CP,要使ACPs/x

14、abc,只需添加條件 (只要寫 出一種合適的條件).19 .如圖，八。是的角平分線，OE人C, EF/BC.人/一4,則。上的長等于.拔高題目量力而行A題19題20題2120 .如圖，/MBC 中，AB=AC, AO_L8C 于 £>, AE=EC, AD=18, BE=15,則ABC的面積是.21 .如圖，直角梯形 ABC。中，AD/BC. AC±AB. AO=8, BC=10,則梯形 ABC。 面積是.22 .如圖，已知 AO"6C, RAE=2EBf AD=3 cm> AD=S cm, BC= 14 cm.貝lj S HiKAfFD : S BC

15、FE =（三）認(rèn)真答一答23 .方格紙中，每個小格的頂點叫做格點，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形.請你在圖示的10X 10的方格紙中，畫出兩個相似但不全等的格點：角形，并加以證明（要求所畫三角形是鈍角三角形，井標(biāo) 明相應(yīng)字母）.24 .如圖，中，CQ_LAB于O. E為BC中點，延長AC、。£相交于點尸,AFDF25 .如圖，在46C中，A8=AC,延長8C至O,使得。=8C, CELBD交AD于E,連結(jié)BE交AC-第5頁拔高題目量力而行于F,求證4尸=尸。.第#頁26 .已知：如圖，F(xiàn)是四邊形ABC。對角線AC上一點，EF/BC, FG/AD.求證:AE , CG +=1.A

16、B CD27 .如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過。作OGL8C于G,分別交CE及8A的延長線于F、 H,求證：0)DG2=BG CG； (2) BG CG=GF GH.28 .如圖，NABC=NCDB=90° , AC=a, BC=b.(1)當(dāng)BD與a、之間滿足怎樣的關(guān)系時，AABCsACDB?(2)過A作8。的垂線，與。8的延長線交于點E,若4BCsACDB. 求證四邊形AEQC為矩形(自己完成圖形).29 .如圖，在矩形ABCD中，E為AO的中點，EF上EC交AB于F,連結(jié)FC (AB>AE).拔高題目量力而行（1） 反與是否相似？若相似，證明你的結(jié)論：若不相似

17、，請說明理由:AR（2）設(shè)=比是否存在這樣的k值，使得AEFsaBFC,若存在，證明你的結(jié)論并求出k BC的值：若不存在，說明理由.30.如圖，在即ABC中，NC=90“，8c=6 cm, CA = 8cm,動點P從點C出發(fā)，以每秒2 cm的 速度沿CA. AB運動到點B,則從C點出發(fā)多少秒時，可使S®bcp= -S.Mfic? A31 .如圖，小華家（點A處）和公路（L）之間豎立著一塊35m長且平 行于公路的巨型廣告牌（DE）.廣 告牌擋住了小華的視線，請在圖中畫出視點A的盲區(qū)，并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路設(shè)為BC. 一輛以60km/h勻 速行駛的汽車經(jīng)過公路段BC的時間是3s,已知廣告牌

18、和公路的距離是40m,求小華家到公路的距離（精 確到1m）.35mD1lE32 .某老師上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考題：如圖所示，梯形ABCD中，ADBC,對角線AC、BD相交于0,試問：AOB和（）是否相似?某學(xué)生對上即作如下解答：答：A0Bs/D0C.理由如下：, IAO DO在AOB 和DOC 中，；ADBC, A =，OC OBV ZA0B= ND0C,工 AOBs AD0C.請你回答，該學(xué)生的解答是否正確？如果正確，請在每一步后面寫出根據(jù)；如果不正確，請簡要說明 理由.第11頁33 .如圖：四邊形ABCD中，NA=NBCD=90° ,過C作對角線BD的垂線交

19、BD、AD于點E、F,求證:C=DF DA ；如圖：若過BD上另一點E作BD的垂線交BA、BC延長線于F、G,又有什么結(jié)論呢？你會證明嗎？34 .陽光通過窗口照射到室內(nèi),在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)(如圖所示)，已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離 EC=8.7口窗口高AB=L8m,求窗口底邊離地面的高BC.35 . (1)如圖一，等邊aABC中，D是AB上的動點，以CD為一邊，向上作等邊連結(jié)AE。 求證：AE/BC；(2)如圖二，將(1)中等邊的形狀改成以BC為底邊的等腰三角形。所作AEDC改成相似于 ABCo請問：是否仍有AE/BC?證明你的結(jié)論。36 .如圖，從00外一點A作。0的切線AB、AC,

20、切點分別為B、C,且。宜經(jīng)BD=6,連結(jié) CD、AOo (1)求證：CD/7A0：(2)設(shè)CD=x, A0=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍:（3）若 AO-CD=11,求 AB 的 K。37 .已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=1, P、Q分別為AD、BC上兩點，且AP=CQ,連結(jié)AQ、BP交于點E, EF平行BC交PQ于F, AP、BQ分別為方程/ -mx+n = 0的兩根.（1）求加的值（2）試用AP、BQ表示EF（3）若Sapqe =- »求n的值O38 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知0A=12cm, OB=6cm,點P從0點開始沿0A邊向點A以l

21、cm/s的 速度移動：點Q從點B開始沿B0邊向點0以lcm/s的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（s） 表示移動的時間（0W/V6）,那么：（1）設(shè)POQ的面積為y,求y關(guān)于/的函數(shù)解析式。（2）當(dāng)APOQ的面積最大時， POQ沿白線PQ翻折 后得到APCQ,試判斷點C是否落在直線AB上， 并說明理由。（3）當(dāng)/為何值時，與AAOB相似？39 .如圖，矩形P0MN內(nèi)接于zMBC,矩形周長為24, ADLBC交PN于E,且8C=10, AE=16,求4ABC的面積.40 .己知：如圖，AA3C中，A8=AC, AO是中線，P是AO上一點，過C作CFA8,延長6交AC于£,交C/于匕

22、求證：HP2=PE Pb .拔高題目量力而行（圖3）（圖4）（圖2）第13頁血血交月3于點瓦。0是區(qū)火的外接圓，交BC于點F（1）求證是。的切線；EF（2）聯(lián)結(jié)萬；求手的值.AC42. （09東城一模）請閱讀下列材料：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等.即如右圖1,若 弦AB、CD交于點P則PAPB=PC-PD.請你根據(jù)以上材料,解決下列問，已知。O的半徑為2, P是。O內(nèi)一點，且OP=1,過點P任作一弦AC, in和n,作PQ_Lm于點Q, PR_Ln于點R.（如圖2）（1）若AC恰經(jīng)過圓心。，請你在圖3中畫出符合Sg意的圖形，并計算：-P（2）若OP,AC,請你在圖4中畫出符

23、合題意的圖形，并計算：+ PQ PR（3）若AC是過點P的任一弦（圖2）,請你結(jié)合（1）（2）的結(jié)論，猜想：O 0g（第41題）（圖1）Q. A、L |空點分別作。O的切線一十!一的值；Q PR的值:+之的值，并給出證明.PR彳:4L （09延慶一模）在Rt板中，NC=90°, 噲9, 加12,乙前的平分線切交月C于點。,n拔高題目量力而行43 . （09昌平一模）.已知NAO6 = 90。，QW是NAQ8的平分線.將一個直角RPS的直角頂點P在射線 OM上移動，點尸不與點O重合.（D如圖，當(dāng)直角RPS的兩邊分別與射線OA、OB交于點C、。時，請判斷PC與的數(shù)量關(guān)系， 并證明你的結(jié)論

24、：（2）如圖，在（1）的條件下，設(shè)CO與OP的交點為點G,且PG = ®PD,求必的值：2 OD（3）若直角RPS的一邊與射線06交于點。，另一邊與直線CM、直線06分別交于點C、E,且以P、 D、E為頂點的三角形與408 相似，請畫出示意圖；當(dāng)。=1時，直接寫出O尸的長.-第#頁44 . （09昌平二模）圖1是邊長分別為和3的兩個等邊三角形紙片A8C和CZ）£'會放在一起（C與 C'重合）.（1）固定ABC，將CZ>'£繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30。得到COE，連結(jié)A。、BE （如圖2）.此時線 段6E與AO有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論

25、；（2）設(shè)圖2中CE的延長線交于尸，并將圖2中的CQE在線段C尸上沿著。尸方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的COE設(shè)為、?尸（如圖3）.設(shè)移動（點P、。在線段C/上）的時 間為x秒，若QRP與尸。重疊部分的面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x 的取值范圍：（3）若固定圖1中的C'D'F,將 A8C沿C/£方向平移，使頂點。落在UF的中點處，再以點。為中心順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，設(shè)NACCaGOOvavg。），邊BC交DE于點、M,邊AC交。'C'于點N （如圖4）.此時線段CWgE'M的值是否隨。的變化而變化？如果沒有變化，請你求

26、出CWgE'M的值;如果有變化，請你說明理由.45 .(09通州一模)如圖：是OO的直徑，A。是弦，“A6 = 22.5°,延長AB到點C, 使得 ZACD=2DAB .(1)求證：CO是。的切線：(2)若A8 = 2點,求8c的長.46 .(09房山二模)已知：如圖，AB為。的直徑，AD為弦，ZDBC =ZA.(1)求證：BC是。O的切線；(2)若 OCAD. OC 交 BD 于 E, BD=6, CE=4,求 AD 的長.47 .(09朝陽二模)在中，點D在AC上，點E在BC上，且DEAB,將4CDE繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到CDE'(使N6CE'V18O

27、。)，連接A。'、BE',設(shè)直線與AC交于點O.(1)如圖，當(dāng)AC=BC時，的值為；(2)如圖，當(dāng)AC=5. BC=4時，求的值；(3)在(2)的條件下，若NACB=60。，且E為BC的中點，求OAB面積的最小值.圖48 .（09 東城二模）如圖，在直角梯形 ABCD 中，AD.7BCDC J_BC,AB=10,AD=6.DC=8.BC=12,點 E 在拔高題目量力而行下底邊BCJL,點F在AB上.（1 ）若EF平分九角梯形ABCD的周長，設(shè)BE的長為X,試用含X的代數(shù)式表示4BEF的面積；（2 ）是否存在線段EF將直角梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長

28、：若不存 在，請說明理由.（3）若線段EF將直角梯形ABCD的周長分為1 ： 2兩部分，將aBEF的面積記為S五邊形AFECD的面積記為S,且S-S,=上求出火的最大 值.49 .（09門頭溝二模）.在矩形A8CO中，點E是4。邊上一點，連結(jié)BE,且BE=2AE, 8。是NEBC的 平分線.點尸從點E出發(fā)沿射線EO運動，過點P作交直線BE于點0.（1）當(dāng)點尸在線段上時（如圖），求證：BE = PD+與P。;（2）當(dāng)點尸在線段上。的延長線上時（如圖），請你猜想BE、PD、弓尸。三者之間的數(shù)最關(guān)系（直 接寫出結(jié)果，不需說明理由）：（3）當(dāng)點尸運動到線段E。的中點時（如圖），連結(jié)0c,過點尸作PF_

29、LQC,垂足為F, PF交BD 于點G.若8c=12,求線段PG的長.50 .（同上）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系.Qy中，己知點A （4, 0）,點B （0, 3）,點P從點B出發(fā)沿84方 向向點A勻速運動，速度為每秒1個單位長度，點。從點A出發(fā)沿AO方向向點O勻速運動，速度-第13頁為每秒 2個單位長度，連結(jié) P 2 .若設(shè)運動的時間為，秒 （0</<2）.（1）求直線AB的解析式；（2）設(shè)AAOP的面積為 >，求y與，之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻/,使線段尸。恰好把A4O8的周長和面積同時平分？若存在，請求出此時/的 值：若不存在，請說明理由：（4）連結(jié)PO,并

30、把PQ。沿QO翻折，得到四邊形PQP'。，那么是否存在某一時刻，使四邊形PQP'O 為菱形？若存在，請求出此時點。的坐標(biāo)和菱形的邊長；若不存在，請說明理由.第23頁參考答案（一）精心選一選1. B 2 B 3 C 4 C 5 C 6 A 7.C 8 B 9 A 10 C 11A 12 B（二）細心填一填13.15.16.8【答案】-；4 VI.14.【提示】分a+b+cHO和a+b+c=O兩種情況【提示】由AABCsAjjc。，列出比例式，求出CO,再用ASCs/vlEO.【提示】延長尸E交C8延長線干點，則4尸=8”.苦館AAFGsACHG.【提示】分“區(qū)”類和“ A”類兩類

31、.【答案】£B=NACP,或NAC6=NAFC,或尸A8.【答案】±1.【答案】10.【答案】1 ： 5.【答案】6對.19 .【答案】6.20 .【提示】作EF/BC交AD于尸,設(shè)BE交4。于O點，先求出OD長和08長，最后用勾股定理求出BD的 長.【答案】144.21 .【提示】作AEDC交BC 丁 E點. ill RiAABEsRACBA,依次算出BE、AS的長.最后求出AE的長.即可 求出梯形面積.【答案】36.（三）認(rèn)真答一答2022 .【提示】延長E4,與。的延長線交于尸點，則4POs2X"Fs48PC.【答案】 1323 .方格紙中,每個小格的頂點叫

32、做格點,以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形.請你在圖示的10X10的方格紙中. 畫出兩個相似但不全等的格點三角形，并加以證明（要求所畫三角形是鈍角三角形，并標(biāo)明相應(yīng)字母）.【提示】先任意商一個格點鈍角三角形，然后三邊都擴大相同的倍數(shù),畫出另一個格點鈍角三角形.24 .【提示】過F點作FGC5,只需再證GF=O尸.【答案】方法一：作FG8c交48延長線于點G.V BC/GF.AC AF BC=GF又 NBDC=90' , BE=EC,：.BE=DE.V BE/GF.DF DEAC AF：.=1.:. DF=GF.：.=.AC AHBC BEAF _ AH而 DEGF BEBC DF方法

33、二：作E人6交4C于點. NBDC=90° , BE=EC,:.BE=DE.25.如圖.在AABC中，AB=AC,延長BC至。，使得CD=6C.交AO于£,連結(jié)BE交AC 丁凡 求證4尸=尸。. 一h 尸C 1【提示】先證SCFs/xosa,再證=-.AC 2【答案】V BC=CD. ECLBD. ：. BE=DE. /FBC=/D.又 AB=AC.：. NBCF=NDBA.：.NBCFsADBA.FC _BC而一麗又 BD=2BC. AB=AC,FC BC IAC2BC2因此AF=FC.26 .已知：如圖,尸是四邊形八BCD對角線AC上一點,EF/BC. FG/AD.AE

34、 CG+ AB CD求證:【提示】利用AC=A尸+尸CCG CFCD - G4AE AF 【答案】,: EF/BC. FG/AD.：.=AB ACAE CG AF CF AC :.= iAB CD AC CA AC27 .如圖,BD、CE分別是入48。的兩邊上的而，過。作DG_L8c于G,分別交CE及84的延長線于A H.求證:(1) DG2=BG CG： (2)BG CG=GF - GH.【提示】(D 證BCGszXocg： (2)證 RlAHBGsRACFG.【答案】(D DG為心8CO斜邊上的高，CG DG：.RtABDGsRtADCG.：. =,即 D(P=BG CG.DG BG(2)

35、 : DGLBC.：. NA8C+N=90'，CE±AB.:. NA6c+ N£T6 = 90、 :. NA6c十 N= NA6c十 NEC6, /. NH=NECB.BG GH又 ZHGB=ZFGC=90 . :. RtHBGRtCFG.：. =，GF GC：.BG GC=GF GH.28 .如圖，ZABC=ZCDB=9O0 , AC=a. BC=b.(1)當(dāng)BD與a、之間滿足怎樣的關(guān)系時，AABCsCDB?(2)過A作8。的乖紋，與。8的延長線交于點E,若MBCsCDB.求證四邊形4EOC為矩形(自己完成圖形).【提示】利用三角形相似，推出8。=21 a【答案】

36、(1)/ NA8C=NCD8=90° ，a b即一=b BDAC BC：.當(dāng)=時，AABCsACDB.BC BDb2 .即當(dāng) 時，/ABCsdCDB. aABCsCDB, ：. NACB=NCBD,：.AC/ED.又 ZD=90° , :. ZACD=9QJ .ZE=90° .:.四邊形AEDC為矩形.29 .如圖.在矩形A8CO中，E為AO的中點.EF_L£C交48于F,連結(jié)FC (Aff>AE).(1)與是否相似？若相似，證明你的結(jié)論：若不相似,請說明理由：AB(2)設(shè) =k,是否存在這樣的A值.使得AE/sAjC,若存在,證明你的結(jié)論并求出A

37、的值：若不存在, BC說明理由.【提示】(D如圖，證明AFEg2OGE,證出NA所=NEFC (2)證明NECG=30° , NBCF=30° .【答案】如圖，足相似.【證明】延長FE,與CO的延長線交于點G.在 RMEF 與 RtDEG 中，: E 足 AD 的中點，A AE=ED.: NAEF=NDEG, :. AFEADGE.:.ZAFE= ZDGE. ：. E 為尸G 的中點.又 CEJ_尸G, :. FC=GC. ：. ZCFE=ZG. ：. NAFE=NEFC.又 4AEF與£（？均為直角二角形， AEFAEFC.AB 存在.如果NBC/=NA

38、3;F,即&=時，AEFsgCF.BC 2拔高題目量力而行DCDEZECG= ZECF= ZAEF=3Q> .N8CT=90' 一60)=30° .AB a/3 證明：當(dāng)=時,BC 2第第頁又 AAE尸和5b均為立角三角形，:.AEFABCF.因為EF不平行于8G, ZBCFZAFE.：.不存在第二種相似情況.30.如圖.在MA46C中，ZC=90° , 6c=6 cm, CA = 8cm.動點?從點。出發(fā)，以每秒2 cm的速度沿CA、A8運動到點兒 則從C點出發(fā)多少秒時，可使1S.BCP= S./5C?4B【提示】先求b,再求DP.【答案】當(dāng)點P從點

39、C出發(fā)，運動在C4上時,若S .BCP= S際,則41 CP BC=41-AC BC 21CP= AC=2 (cm).4故由點尸的運動速度為每秒2 cm,它從C點出發(fā)1秒時,有S. BCP= - S .ABC.當(dāng)點尸從點C出發(fā)運動到AB h 4時,如圖，可過點?作尸D_L8c于。.若 S .BCP= S. ABC 則4-PD BC= - -ACBC1 PD= AC=2 (cm). 4R3ACsR4bpd, BP PDAB AC又 A8= JAC +=10.31.32.故BP=210 5一,AP=AB-BP=IQ- - =7. 5.也就是說，點P從C出發(fā)共行15. 5 cm,用去7.75秒,此時

40、 S. .BCP= S ABC.4答：1秒或7.75秒.BC=50m, AM133 米.AO BO 錯誤，： 一工OD OC33 .證DCEs/DBC 得 DC*DE DB 再證DEFs/iDAB 得 DE DB=DA DF(2)AD DF=DG DC34 . BC=4m35 .證(1) ZXEAC 與ADBC 全等，得至IJNEAC=NB,而NB二NACB,得NEAONACB 故 AE 7BC(2) AEAC-ADBC 得至iJNEAONB,而NB=NACB,得NEAONACB36. (1)連接BC交0A于E點 ;AB、AC是。0的切線，AB=AC, Z1=Z2 .AE1BC /. N0EB

41、=90° :.ZDCB=90° ZDCB=Z0EB A CD/AO-(2) VCD/AO.Z3=Z4；AB是。0的切線，DB是直徑 :.ZDCB=ZAB0=90°BD 是。0的直徑/.BDCAAOBe BD DCeeA0 = OBA圖206 x “y - 3y180<x<6由已知和(2)知:x + y = 11xy=18把x、y看作方程z，Tlz+18=0的兩根 解這個方程得z=2或z=9X =2% =9x. =9(y； = 2(舍去)，AB =72 =637. (1) V AP=QC, AP+BQ=QC*BQ=BC= 1又AP、BQ 分別為方程/ 一

42、d+ = 0 的兩根，W AP+BQ=m> AP BQ=n /AP+BQ=m=l (2 分)(2) VEF/7AP.EF _ EQAP AQ又.APBQ絲 =BQAPEQ 一 BQ 即七。一 bqAE + EQ AP + BQ AQ AP + BQ,空=-即AP AP + BQEF:辿理AP + BQ(3)連結(jié) QD,則 EPQD,得：S aqd=-» 且 S aep ： S aqd=AP? ： AD AP ： 1= AP?2* S. aep= AP2 Saqd= y AP2 S. pqe : S.<aep=EQ : AE»即:：y AP:= EQ ： AE=B

43、Q : AP AAP BQ=(即：n=； t (6 -38.解(1) V0A=12,0B=6得 BQ二lt=t, OP=1 t=t /.0Q=6-1 /.y= 1 XOPX0Q= 1t) =-t:-|-3t (0tW6)2(2) Vy = -lr + 3/當(dāng)y有最大值時，= 30Q=3 0P=3即是等腰直角三角形。把POQ沿P。翻折后，可得四邊形OPC。是正方形.點C的坐標(biāo)是(3, 3) 412.0),8(0.6)，直線A6的9解析式為)一士x+6當(dāng)x = 3時，)，=二。3,點C不落在直線AB上2(3)aP0Qs/kA0B 時若型=,即 =, 12-2/ = /,?. t = 4 若=,UP

44、 =QA OB 612OB OA 1266T = 23f = 2當(dāng)1 = 4或f = 2時,ZXPOQ與AAOB相似。39 .【提示】利用相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于ED的方程，求E。的長，即可求出S川1c.【答案】矩形 PQMN, ：. PN/QM, PN=QM' V AD±BC.PN AE：.AELPN. V APNsABC,：. =.BC AD設(shè)ED=x,又 矩形周長為24.則PN=12x, AD=16+x.12-x16:. =即 x2+4x32=0.解得 x=4.1016-x1:.AD=AE+ED=2Q. ： S. abc= BC AD= 100.2【點評】本題要求運用

45、相似三角形對應(yīng)高紋的比等于相似比.40 .【提示】先證26=?C 再證EFCs/ibE【答案】連結(jié)PC: AB=AC. AO是中線，:.40是ZkABC的對稱軸.:.PC=PB, NPCE=NABP. V CF/AB.：. /PFC=NABP. ：. /PCE=/PFC.又 NCPE=NEPC, ：. EPGsMPF.PC PE.:. =.即 PC:=PE PF. ：. BP2=PE PF.PF PC【點評】本題要求運用等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).41 . (1)證明：連結(jié)0D.1分," = 90°, :.ZDBC+ZBDC = 90° .又曲為N

46、ABC的平分線，AABD -乙DBC.,： OB = OD, ZABD = ZODB：.NODB + ABDC = 90° ,即.NODC = 90°2 分又勿是。的半徑， 是。的切線.3分(2)解： DE1DB,。是Rt皿'的外接圓，應(yīng)'是。的直徑，設(shè)。0的半徑為，在 Rt 板中，AB2 = BC2+CA:=92 + 122 = 225,:.AB = 15V ZA = ZA, ZADO = NC = 90°, XADO ACB.AO OD 15-r r 一 一 - AB BC 159拔高題目量力而行45又：桀是。的直徑.A ABFE = 90&#

47、176;. ： RBEFs XBAC45.EF _ BE _3 'ACBAL5442.解：（1）慶（3過圓心0,且m,n分別切。于點AC/. AC J_ 于點A, AC JL 于點C, .Q與A重合，R與C重合.Q 0P=l, ACE,1 1PQ + PR4=1 + = .L L 1 分3 3（2）連接OAQ OP 1 AC于點尸，且。尸=1,。4 = 2, . NQAP = 30°.AP =6Q0A1直線八PQ _L直線肌, :.OA/ PQ.ZPQA = 90Q. 乙4Po = ZOAP = 30°.在R/VAQP中，P2 = |-同理，pr=2 2第39頁1

48、1PQPR=yL L 3分(3)猜想!+一 PQ PR=jL L 4分同理可得:證明:過點A作直徑交e O于點E,連接EC, .ZECA=90°.0 4上，直線111, PQJ_直線i,.AEPQ且 NPQA = 90°.ZEAC = ZAP。.AA£Cs 朋。.AC AE ,、PQ APAC AE=PR PC+,得ACACAEAE 1 = 1 PQPRAPPC .11AE11、F = ( + )PQPRACAP PC_ AE PC + AP _ AE AC%APTPC APPC過點P作直徑交e O于點、M,N由閱讀材料可知：APPC = PMPN = 3-f =

49、 .L L 8分PQ PR 3 43.解：(D PC與尸。的數(shù)量關(guān)系是相等.證明：過點P作P”J_OA, PN1OB ,垂足分別為點”、N.： ZAOB = 90° ,易得 NHPN = 900. .Nl+NCPN = 90。， 而 N2 + NCPN = 90。， /.Z1 = Z2.OM是NAOS的平分線， :.PH = PN, 又 Q ZPHC = 4ND = 90° , :2CH 學(xué) MDN. ：.PC=PD.(2) QPC=PD. Z.CPD = 90°. .Z3 = 45°, QZPOD = 45°, .*.Z3 = ZP(9D.又

50、 Q 乙 GPD = DPO, ./POD/PDG.GD PG ''ODPD'GD PG y/JOD7d2(3)如圖1所示，若尸H與射線OA相交，則QP = 1：如圖2所示，若PR與直線QA的交點C與點A在點0的兩側(cè)，則OP = JI-L8分44.解：（1） BE=AD. 1分證明：如圖2, 4SC與£（7£1都是等邊三角形，（：'£'£繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到（?£）£：,CDE也是等邊三角形，且N2 = 30。，圖2A ZAC = ZDCE=60°, CA = CB,C

51、E = CD.：.Z1 = 30°.N3 = 30。, Z2 = Z3.:XBCE 出 4ACD,：.BE=AD. 3分（2）如圖3,設(shè)PR、R。分別與AC交于點O、L.CDE在線段CF上沿著b方向以每秒1個單位的速度平移x秒,平移后的。£七為4 PQR ,CQ = x.由(1) N 知 NPQR = /PRQ = /BCA = 60。，/BCF = 30。,.ZACF = 30° ,/. ZCLQ = ZRLO = 30°.LQ = CQ = x, ZROL = 90°.QQR = 3,RL = 3x.在RtA/?QL中，OR = ；RL =

52、 g(3-x), OL = /?Lg?os30° =(3-x).S" 7 ROBL = § (3 - x)2 4 分BK圖3C2o過點區(qū)作欣，尸。于點K.在 RtARKQ 中，RK = RQm 60° =,SupQ = ；PQgRK =學(xué). 24_c c _ >/3 2 3x/3973 y=S、rpq - s.l = 一 兩 x +4X+3,QN6b = 300,N6 = 60。，/. ABFC = 90°.當(dāng)點P與點尸重合時，尸。=尸。=3，VCF = BCin60° = 6, ： CQ = 3.此函數(shù)自變量x的取值范圍是04

53、xV3 .6分(3) CN亨M的值不變.7分證明：如圖4,由題意知，Na + N5+N4 = 180。.3E'M 2-y-=cw 28分工 Na = 120°-N4,在 ACM£ 中，Z6 = 120e-Z4,:.Z.a N6.又；ZC, = ZT = 60°, ：AE'MCs4C'CN,E'M _ EC,9cc = cn,點。是右£的中點，CE = 3,：.EC = CCf = -29 C'WM =-.445. (1)證明：連結(jié)。Oe AO=DO：.ZDAO=ZADO=22. 5°，ZDOC=45°XV NACD=2NDAB ZACD-ZDOC=45°A ZODC=90° 2分CO是。的切紋(2)解：連結(jié)。63分V A8是。0的直徑NAOO+ N 006=90。由(1)知 NCO8+NOQ8=90。A XADO=ZOAD-ZCDB 4分XV NDCB:NACD：.AADCs 4DBC .DC _ AB+BC-BC DC.41 242+ BC =-BC V2：.BC=2->2 BC=-2- &