(完整版)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的及其的應用課后答案詳解

1、實用標準文檔第1章隨機變量及其概率1,寫出下列試驗的樣本空間：(1)連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結果中有一個結果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。(2)連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結果中有一個結果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。(3)連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。(4)拋一枚硬幣，若出現(xiàn)H則再拋一次；若出現(xiàn)T,則再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結果。解：(1)S 2,3,4,5,6,7 ; (2) S 2,3,4, ; (3) S H ,TH ,TTH ,TTTH , ;(4) S HH , HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6。2,設 A,B 是兩個事件，已知 P(A) 0.25,P(B

2、) 0.5,P(AB) 0.125,求P(A B), P(AB), P(AB), P(A B)(AB)。解：P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.625,P(AB) P(S A)B P(B) P(AB) 0.375,P(AB) 1 P(AB) 0.875,P( A B)(AB)P( A B)(S AB) P(A B) P( A B)(AB) 0.625 P(AB) 0.53,在100, 101,，999這900個3位數(shù)中，任取一個 3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個概率。解：在100, 101,，999這900個3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)的個數(shù)為8 9 9 648,所以所求得概率為6489

3、000.72精彩文案4,在僅由數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個三位數(shù)。(1)求該數(shù)是奇數(shù)的概率；(2)求該數(shù)大于330的概率。解：僅由數(shù)字0, 1, 2, 3, 4, 5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個數(shù)有 5 5 4 100個。(1)該數(shù)是奇數(shù)的可能個數(shù)為4 4 3 48個，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為481000.48(2)該數(shù)大于330的可能個數(shù)為2 4 5 4 5 4 48,所以該數(shù)大于330的概率為481000.485,袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列 事件的概率。(1) 4只中恰有2只白球，1只紅球，

4、1只黑球。(2) 4只中至少有2只紅球。(3) 4只中沒有白球。解:(1)所求概率為C52C4C3C142(2)所求概率為C：C； C：C； c4201 67CA495 165 '(3)所求概率為上至二。C42495 1656, 一公司向M個銷售點分發(fā)n(n M)張?zhí)嶝泦?，設每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給每一銷售點是等可能的，每一銷售點得到的提貨單不限，求其中某一 特定的銷售點得到k(k n)張?zhí)嶝泦蔚母怕?。解：根?jù)題意，n(n M)張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給M個銷售點的總的可能分法有Mn種，某一特定的銷售點得到k(k n)張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蠧k(M 1)n k種，所以某一特定的銷售點得到k(k n)張?zhí)嶝泦?/p>

5、的概率為kn kCn(M 1) o7,將3只球(13號)隨機地放入3只盒子(13號)中，一只盒子 裝一只球。若一只球裝入與球同號的盒子，稱為一個配對。(1)求3只球至少有1只配對的概率。(2)求沒有配對的概率。解：根據(jù)題意，將3只球隨機地放入3只盒子的總的放法有3! =6種: 123, 132, 213, 231, 312, 321;沒有 1 只配對的放法有 2 種：312, 231。至少有1只配對的放法當然就有6-2=4種。所以(2)沒有配對的概率為2 1;6 3(1)至少有1只配對的概率為112。3 38, (1)設 P(A) 0.5,P(B) 0.3,P(AB) 0.1,求 P(A|B)

6、,P(B|A),P(A| A B),P(AB | A B), P(A| AB).(2)袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解：(1)由題意可得P(A B)P(A) P(B) P(AB)0.7,所以P(A|B)迫以 1,P(B) 0.3 3P(B,A)器)0.10.55,P(A|A B)喀哥 P(A B)P(A) 5P(A B) 7PAB(A B) P(AB)P(AB | A B)P(A B) P(A B)7,PA(AB) P(AB).P(A | AB)1

7、P(AB) P(AB)(2)設A(i 1,2,3,4)表示“第i次取到白球”這一事件,而取到紅球可以用它的補來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為A1A2A3A4,它的概率為(根據(jù)乘法公式)P(AA2A3A4) P(A)P(A2 | A)P(A3 | AA2)P(A | A1A2A3)6 7 548400.0408 o11 12 13 12 205929, 一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，已知得到的兩只球中至少有一只是紅球，求另一只也是紅球的概率。解：設“得到的兩只球中至少有一只是紅球”記為事件A, “另一只也是紅球”記為事件B

8、。則事件A的概率為2 2 2 1 5P(A) 2 -(先紅后白，先白后紅，先紅后紅)4 3 4 3 6所求概率為P(B|A)P(AB)P(A)10, 一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5%勺人以為自己患癌癥，且確實患癌癥；有 45%勺人以為自己患癌癥，但實 際上未患癌癥；有10%勺人以為自己未患癌癥，但確實患了癌癥；最 后40%勺人以為自己未患癌癥，且確實未患癌癥。以 A表示事件“一 病人以為自己患癌癥”，以B表示事件“病人確實患了癌癥”，求下列 概率。(1) P(A),P(B) ; (2) P(B|A) ; (3) P(B|A)； (4) P(A|B) ; (5) P(A|B)

9、。 解：(1)根據(jù)題意可得P(A) P(AB) P(AB) 5% 45% 50%；P(B) P(BA) P(BA) 5% 10% 15%;(2)根據(jù)條件概率公式：P(B|A)以坦 3 0.1；P(A) 50%(3) P(B|A)P(BA)p(A)10%1 50%0.2;(4) P(A|B)P(AB) 45%9P(B) 1 15%17(5) P(A|B)P(AB) 5%1P(B) 15%311,在11張卡片上分別寫上engineering這11個字母，從中任意連抽6張，求依次排列結果為ginger的概率。解：根據(jù)題意，這11個字母中共有2個g, 2個i , 3個n, 3個e, 1個r。從中任意連

10、抽6張，由獨立性，第一次必須從這11張中抽出 2個g中的任意一張來，概率為2/11 ;第二次必須從剩余的10張中抽出2個i中的任意一張來，概率為2/10;類似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為_211210361.或者 c2c2c1c1c3c1332640 9240 ' 一A61924012,據(jù)統(tǒng)計，對于某一種疾病的兩種癥狀：癥狀 A癥狀B,有20%的人只有癥狀A,有30%勺人只有癥狀B,有10%勺人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種病的人群中隨機地選一人，求(1)該人兩種癥狀都沒有的概率；(2)該人至少有一種癥狀的概率；(3)已知該人有癥狀B,求該人有兩種癥狀的

11、概率。解：(1)根據(jù)題意，有40%勺人兩種癥狀都沒有，所以該人兩種癥狀 都沒有的概率為1 20% 30% 10% 40%;(2)至少有一種癥狀的概率為1 40% 60%;(3)已知該人有癥狀B,表明該人屬于由只有癥狀B的30%A群或者兩種癥狀都有的10%勺人群，總的概率為30%+10%=40 %聽以在已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為10%1-O30% 10% 413, 一在線計算機系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質如下表，求一隨 機選擇的進入訊號無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額10.420.330.140.20.99980.99990.99970.9996解

12、：設“訊號通過通訊線i進入計算機系統(tǒng)”記為事件A(i 1,2,3,4),“進入訊號被無誤差地接受”記為事件 B。則根據(jù)全概率公式有4P(B) P(A)P(B|A) 0.4 0.9998 0.3 0.9999 0.1 0.9997 0.2 0.9996 i 1=0.9997814, 一種用來檢驗50歲以上的人是否患有關節(jié)炎的檢驗法，對于確實患關節(jié)炎的病人有85%勺給出了正確的結果；而對于已知未患關節(jié)炎的人有4恰認為他患關節(jié)炎。已知人群中有 10%勺人患有關節(jié)炎， 問一名被檢驗者經(jīng)檢驗，認為他沒有關節(jié)炎，而他卻有關節(jié)炎的概率。解：設“一名被檢驗者經(jīng)檢驗認為患有關節(jié)炎”記為事件A，“一名被檢驗者確實

13、患有關節(jié)炎”記為事件 B。根據(jù)全概率公式有P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) 10% 85% 90% 4% 12.1%,P(B| A)P( BA)P(A)所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為P(B)P(A|B) 10%(1 85%)17 06%1 P(A) 1 12.1%.即一名被檢驗者經(jīng)檢驗認為沒有關節(jié)炎而實際卻有關節(jié)炎的概率為17.06%.15,計算機中心有三臺打字機A,B,C,程序交與各打字機打字的概率依次為0.6, 0.3, 0.1,打字機發(fā)生故障的概率依次為0.01, 0.05,0.04。已知一程序因打字機發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C 上打字的概率

14、分別為多少?解：設“程序因打字機發(fā)生故障而被破壞”記為事件M，”程序在A,B,C三臺打字機上打字”分別記為事件 N1,N2,N3。則根據(jù)全概率公式有3P(M ) P(Ni)P(M | Ni) 0.6 i 10.01 0.3 0.05 0.1 0.04 0.025,根據(jù)Bayes公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為P(Ni | M )P(Ni)P(M |Ni)P(M )0.6 0.010.0250.24 ,P(N2 |M )P(N2)P(M | N2)P(M )0.3 0.050.0250.60 ,P(M|M)P(M)P(M | N3)P(M )0.1 0.040.0250.16 。16

15、,在通訊網(wǎng)絡中裝有密碼鑰匙，設全部收到的訊息中有95娓可信的。又設全部不可信的訊息中只有 0.1%是使用密碼鑰匙傳送的，而 全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。 求由密碼鑰匙傳送的一訊息是 可信訊息的概率。解：設“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件 A, “一訊息是可信的”記為事件B。根據(jù)Bayes公式，所要求的概率為P(B| A)P(AB)P(A)P(B)P(A| B)P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)95% 195% 1 5% 0.1%99.9947%17,將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得 H', “第二 次得H', “兩次得同一面”。試驗證A和

16、B, B和C, C和A分別相互獨立(兩兩獨立)，但A,B,C不是相互獨立。解：根據(jù)題意，求出以下概率為P(A)P(AB)1 P(B)21112 2 4P(C)P(BC)111112 2 2 2 2P(CA)P(ABC)所以有P(AB)P(A)P(B) , P(AC)P(A)P(C) , P(BC) P(B)P(C)。即表明A和B, B和C, C和A兩兩獨立。但是P(ABC) P(A)P(B)P(C)所以A,B,C不是相互獨立18,設A,B,C三個運動員自離球門25碼處踢進球的概率依次為 0.5, 0.7, 0.6 ,設A,B,C各在離球門25碼處踢一球，設各人進球與否相 互獨立，求(1)恰有一

17、人進球的概率；(2)恰有二人進球的概率；(3)至少有一人進球的概率。解：設“A,B,C進球”分別記為事件Ni(i 1,2,3)。(1)設恰有一人進球的概率為P1,則P1PN1N2N3 PN1N2N3 PN1N2N3P(N1)P(N2)P(N3) P(N1)P(N2)P(N3) P(N1)P(N2)P(N3)(由獨立性)0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.4 0.5 0.3 0.60.29(2)設恰有二人進球的概率為P2,則P2PNlN2N3 PNiN2N3 PNiN2N3P(Ni)P(N2)P(N3)P(N1)P(N2)P(N3)P(Ni)P(N2)P(N3)(由獨立性)0.5 0.7

18、 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.3 0.6 0.44(3)設至少有一人進球的概率為P3,則P31 PN1N2N31 P(N1)P(N2)P(N3)1 0.5 0.3 0.4 0.94。19,有一危重病人，僅當在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的 A-RH+ 血才能得救。設化驗一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部 輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗血型的設備，且供血者僅 有40%勺人具有該型血，各人具有什么血型相互獨立。求病人能得救 的概率。解：根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗血型4次，也就是說最遲可以第4個人才驗出是A-RHi型血。問題轉化為最遲第4個人才驗出是a-rN型血 的

19、概率是多少？因為第一次就檢驗出該型血的概率為第二次才檢驗出該型血的概率為0.6 0.4=0.24 ;第三次才檢驗出該型血的概率為0.62 0.4=0.144 ;第四次才檢驗出該型血的概率為0.63 0.4=0.0864;所以病人得救的概率為0.4+0.24+0.144+0.0864=0.870420, 一元件(或系統(tǒng))能正常工作的概率稱為元件(或系統(tǒng))的可靠性。如圖設有5個獨立工作的元件1, 2, 3, 4, 5按先串聯(lián)再并聯(lián)的 方式連接，設元件的可靠性均為p,試求系統(tǒng)的可靠性。解：設“元件i能夠正常工作”記為事件Ai(i 123,4,5)。1那么系統(tǒng)的可靠性為P(AA2)(A3) (A4A5

20、) P(AA2)P(A3)P(A4A5)P(AA2A3) P(AA2A4A5) P(AA4A5) P(AiA2A3A4A5)第 20P(Ai)P(A2) P(A3) P(A4)P(A5) P(Ai)P(A2)P(A3) P(A)P(A2)P(A4)P(A5) P(A3)P(A4)P(A5) P(Ai)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5) 223435P P P P P P PP 2p2 2p3 p4 p521,用一種檢驗法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質的效果如下。若真含有雜質檢驗結果為含有的概率為 0.8 ;若真不含有雜質檢驗結果為不含有的概率為0.9 ,據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質或真不含

21、有雜 質的概率分別為0.4, 0.6。今獨立地對一產(chǎn)品進行了 3次檢驗，結果是2次檢驗認為含有雜質，而一次檢驗認為不含有雜質，求此產(chǎn)品真含有雜質的概率。(注：本題較難，靈活應用全概率公式和Bayes公式)解：設“一產(chǎn)品真含有雜質”記為事件 A, “對一產(chǎn)品進行3次檢驗, 結果是2次檢驗認為含有雜質，而1次檢驗認為不含有雜質”記為事 件B。則要求的概率為P(A| B),根據(jù)Bayes公式可得P(A|B)P(A)P(B| A)P(A)P(B | A) P(A)P(B| A)又設“產(chǎn)品被檢出含有雜質”記為事件 C ,根據(jù)題意有P（A） 0.4 ,而且 P(C|A) 0.8, P(C | A) 0.9

22、,所以P(B| A)C3 0.82 (1 0.8) 0.384; P(B | A) C32 (1 0.9)2 0.9 0.027故,P(A| B)P(A)P(B | A)P(A)P(B | A) P(A)P(B | A)0.4 0.3840.4 0.384 0.6 0.0270.15360.16980.9046（第1章習題解答完畢）隨機變量及其分布1,設在某一人群中有 40%勺人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機地選人來驗血, 止，以Y記進行驗血的次數(shù)，求 丫的分布律。解：顯然，Y是一個離散型的隨機變量， 丫取k表明第k個人是A型血而前 有直至發(fā)現(xiàn)血型是k 1個人都不是A型的人為A型血，因此PY k

23、 0.4 (1 0.4)k 10.4 0.6k1(k 1,2,3,)上式就是隨機變量丫的分布律（這是一個幾何分布）2,水自A處流至B處有3個閥門1, 2, 3,閥門聯(lián)接方式如圖所示。當信號發(fā)出時各閥門以0.8的概率打開，以X表示當信號發(fā)出時水自 A流至B的通路條數(shù)，求 X的分布律。設各閥門的工作相互獨立。解：X只能2。設以Ai（i 1,2,3）記第i個閥門沒有打開這事件。則PX 0PA1 (A2A3)P(AAz)(AA3)PAAPAAJPA1A2A3 P(A)P(A2) P(A1)P(A3)P(A)P(A2)P(A3)(10.8)2(1 0.8)2(1 0.8)3 0.072,類似有PX2PA

24、(A2A3)P(A1A2A3) 0.83 0.512,20.416 ,綜上所述，可得分布律為X012PX k0.0720.5120.416PX11 PX 0 PX3,據(jù)信有20%勺美國人沒有任何健康保險， 現(xiàn)任意抽查15個美 國人，以X表示15個人中無任何健康保險的人數(shù) （設各人是否1有健康保險相互獨立)。問X服從什么分布？寫出分布律。并求下列情況下無任何健康保險的概率：(1)恰有3人；(2)至少有2人；(3)不少于1人且不多于3人；(4)多于5人。解：根據(jù)題意，隨機變量 X服從二項分布B(15, 0.2)，分布律為P(X k) C15 0.2k 0.815k, k 0,1,2, 15。(i)

25、P(X 3)G35 0.23 0.8120.2501,(2) P(X2) 1 P(X 1) P(X0) 0.8329； P(1 X 3)P(X 1) P(X2) P(X 3) 0.6129；(4)P(X 5) 1 P(X5) P(X4) P(X3) P(X 2)P(X 1) P(X 0) 0.06114,設有一由n個元件組成的系統(tǒng)，記為 k/nG,這一系統(tǒng)的運行方式是當且僅當n個元件中至少有k (0 k n)個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作?，F(xiàn)有一 3/5G系統(tǒng)，它由相互獨立的元件組成，設每個元件的可靠性均為 0.9 ,求這一系統(tǒng)的可靠性。解：對于3/5G系統(tǒng)，當至少有3個元件正常工作時，系統(tǒng)正

26、常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù) X服從二項分布B(5, 0.9),所以系統(tǒng)正常工作的概率為 55P(X k) C5 0.9k 0.15 k 0.99144 k 3k 35,某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設次品率為0.001 ,現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。(設各產(chǎn)品是否為次品相互獨立)解：根據(jù)題意，次品數(shù) X服從二項分布B(8000, 0.001),所以6P(X 7) P(X 6)C80000.001k 0.9998000 kk 06k 8000 0.0016 (8000 0.001) eck 88 ek 0k!k 0 k

27、!0.3134 (查表得)6, (1)設一天內(nèi)到達某港口城市的油船的只數(shù)X (10)，求 PX 15(2)已知隨機變量x ()，且有PX0 0.5,求 PX 2。解：(1)PX 151 PX 151 0.9513 0.0487 ;(2)根據(jù)PX0 1 PX 0 1 e 0.5,得到ln 2。所以PX 2 1PX 0 PX 1 1 0.5 e(1ln 2)/2 0.1534。7, 一電話公司有5名訊息員，各人在t分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)(2t)(設各人收到訊息與否相互獨立)。(1)求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個訊息員未收到訊息的概率。有4人未收到訊息的概率。(3)寫出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有(2)求在給

28、定的一分鐘內(nèi)5個訊息員恰5個訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率。解：在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個訊息員收到訊息的次數(shù)。(1)PX 0 e 20.1353 ；(2)設在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，則 Y B(5, 0.1353),所以(3)PY 4_ 4 _ 一 _ 4C5 0.1353(10.1353)0.00145。每個人收到的訊息次數(shù)相同的概率為k 0 k!32kek! 5108, 一教授當下課鈴打響時，他還不結束講解。他常結束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響至結束講解的時間。設X的概率密度為f(x)kx2x 1小，(1)確定k； (2)求PX 他一1求

29、PX41、- ； (4)求 PX解：(1)根據(jù)1f (x)dxkx2dx3;(2)PX131/32 13x dx27(3)P421/22 13x dx1/4(4)PX312 13x dx2/39,設隨機變量x的概率密度為f(x)有實根的概率。64192720.003x2x 102# /L ，求t的方程t 2Xt 5X其他解：方程t2 2Xt 5X 4 0有實根表明4X2 4(5X 4) 0,即 X 2 5X 4 0,從而要求X4或者X 1。因為1PX 10.003x2dx 0.001, PX0所以方程有實卞g的概率為 0.001+0.936=0.937.104)0.003x2dx 0.9364

30、10,設產(chǎn)品的壽命X (以周計)服從瑞利分布，其概率密度為f(x)xx2/200e1000(1) 求壽命不到一周的概率；(2) 求壽命超過一年的概率；(3) 已知它的壽命超過 20周，求壽命超過26周的條件概率解：(1) PX 1)1xx2/2001/200e dx 1 e0 1000.00498 ；(2) PX52) e x2 /200dx e 2704/200 0.000001；52100(3) PX 26X20)PX 26)PX 20)xx2 /200 .e dx26100276/ 200e0.25158。xx2 /200e dx2010011,設實驗室的溫度 x(以C計)為隨機變量，其

31、概率密度為f(x)9(4 X2)0(1) 某種化學反應在溫度 X >1時才能發(fā)生，求在實驗室中這種化學反應發(fā)生的概率。(2) 在10個不同的實驗室中，各實驗室中這種化學反應是否會發(fā)生時相互獨立的，以 丫表示10個實驗室中有這種化學反應的實驗室的個數(shù)，求丫的分布律。527(3) 求 PY 2 , PX 2。12 x .解：(1) PX 1一(4 x )dx195(2)根據(jù)題意丫 b(10),所以其分布律為27kP(Y k) C10k527222710 kk 0,1,2,102522 P(Y 2)C100.2998,2727P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)0.5778。12, (

32、1)設隨機變量Y的概率密度為0.21 y 0f(y) 0.2 Cy 0 y 10其他試確定常數(shù)C,求分布函數(shù)F(y),并求P0 Y 0.5 , PY 0.5|Y 0.1(2)設隨機變量X的概率密度為1/8 0x2f(x) x/8 2 x 40 其他求分布函數(shù)F(x),并求P1x 3 , PX 1| X 3解：(1)根據(jù)1f (y)dy00.2dy1C 一 一(0.2 Cy)dy 0.4 ,得到 C 021.2yF(y) f(y)dyy 11 y 00 y 1y 10y0.2dy10y0.2dy(0.2 1.2y)dy10010.2dy(0.2 1.2y)dy100y 10.2(y 1)1 y

33、0一 2 一一0.6y0.2y 0.20 y 11y 1P0 Y 0.5 PY 0.5 PY 0F(0.5) F(0) 0.45 0.2 0.25;PY 0.5 |Y 0.1PY 0.5PY 0.11PY0.51PY0.11 F(0.5)1 0.45 0.71061 F(0.1)1 0.226x(2) F(x) f(x)dx1dx 82x1 . x dxdx0828241 . x dxdx0828x 00x22x4x 40 x 0x/80x224_x /16 2 x 41 x 4P1 x 3F(3) F(1) 9/16 1/8 7/16;PX 1 | X 3P 1X 3PX 3F(3) F(1

34、)F(3)7/9。13,在集合A=1,2,3，.,n中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以X表示第一次取到的數(shù)，以 Y表示第二次取到的數(shù)，求 X和丫的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當n=3時X和丫的聯(lián)合分布律。解：根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為n(n-1),因此、1.PX i,Y j , (I j ,且1 i, j n)n(n 1)1當n取3時，PX i,Y j -, ( i j ,且1 i,j 3),表格形式為6123101/61/621/601/631/61/6014,設一加油站有兩套用來加油的設備，設備A是加油站的工作人員操作的，設備B是有顧客自己操作的A, B均有兩個加油管

35、。隨機取一時刻，A, B正在使用的軟管根數(shù)分別記為 X, Y,它們的聯(lián)合分布律為01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30(1) 求 PX 1,Y 1 , PX 1,Y 1；(2) 求至少有一根軟管在使用的概率；(3) 求 PX Y , PX Y 2。解：(1)由表直接可得PX 1,Y1 =0.2 ,PX 1, Y 1 =0.1+0.08+0.04+0.2=0.42（2）至少有一根軟管在使用的概率為PX Y 1 1 PX0,Y0 10.1 0.9(3) PX Y PX Y 0PXY 1PX Y2 =0.1+0.2+0.3=0.6PX Y 2 PX 0,

36、Y 2PX1,Y1PX2,Y 00.2815,設隨機變量（X, Y）的聯(lián)合概率密度為f(x, y)Ce (2x4y),0,0,y 0其他試確定常數(shù)c ,并求PX2 , PXY, PX1。解：根據(jù)f(x,y)dXdy0,y 0X 0,yf (x, y)dXdy0(2x 4y)dx Ce dy02xdx4y Ie dy08。PX2)f (x, y)dxdy2dX 8e20(2x 4y)dy2e22xdx 4e 4 ydy0PXY)f(x, y)dxdyyXdx 8e0(2x 4y)dy2e0X2xdx 4e04y .dy2x /2e (104X 2e )dx 一 3PX1)f (x, y)dxdy

37、y 11 1dx0Xc (2x 4y) 18e dy0112x .2e dx0X4e 4ydy (1016,設隨機變量（X,Y）在由曲線y2x /2, x 1所圍成的區(qū)域G均勻分布。(1)求（X, Y）的概率密度;(2)求邊緣概率密度fX（X）, fy（y）。解：（1）根據(jù)題意，（X,丫）的概率密度f（X,y）必定是一常數(shù)，故由1 f(x,y)dxdy G211，dx f (x, y)dy 一 f (x, y),信到 f (x, y) X2/266, (x, y)0, 其x2 fX(x)f(x,y)dy6dyx2 /23x2,0 x 10,其他2y6dx,0y 0.5y16( . 2y . y

38、),0y 0.5fY(y)f (x, y)dx6dx,0.5y 16(1 y)，0.5y 1y0,苴他0,苴 J、他18,設X,Y是兩個隨機變量，它們的聯(lián)合概率密度為f(x, y)3 x x(1e2y),0,x 0, y 0其他(1) 求(X,Y)關于X的邊緣概率密度fX(x);(2) 求條件概率密度fY|X (y I x),寫出當x 0.5時的條件概率密度;(3) 求條件概率PY 1|X0.5 o解：(1) fX (x)f (x,y)dy00,3 x -e2x(1y)dy2x x 一e2x 0其他(2)當x 0時,fY|X (y | x)f(x, y)fX(x)xe xy, y 00, 其他

39、特別地，當x 0.5時0.5e0.5y, y 00, 其他(3) PY 1|X 0.5fY|X(y|x 0.5)dy10.5y0.50.5e dy e119, (1)在第14題中求在X(2)在16題中求條件概率密度0的條件下Y的條件分布律；在 Y 1的條件下X的條件分布律。fY|X(y|x)，fX|Y(x|y)，fX|Y(x|0.5)。解：(1)根據(jù)公式PY i | X 0PY i.X 0 一 一 一-,得到在 X 0的條件下 Y的條件分布律PX0Y012PY | X 05/121/31/4類似地，在(2)因為f (x, y)6,0,(x,y)其fx (X)x26dyx2 /20,3x2,1.

40、1； fY(y)6(a_歷, 6(1 3),0,00.5苴y 0.5y 1。他所以，當0x 1 時,fY|x(y|x)f (x, y)fx(X)2 , x0,x2/2y其他當0.5。5時,fxY(x|y)f(x, y)fY(y)2y .v'0,其他1 時,f x y (x | y)f (x, y)fY(y)1 . y'0,其他0.5時，fxY(x|y).0.5 ' 0,0.5 x其他20,設隨機變量(x, Y)在由曲線2x ,yVx所圍成的區(qū)域G均勻分布。(1)寫出(x, Y)的概率密度;(2)求邊緣概率密度fx(x), fY(y)；Y1的條件下X的條件分布律為X012

41、PX | Y 14/1710/173/17(3)求條件概率密度fY|x (y | x),并寫出當x 0.5時的條件概率密度。解：（1）根據(jù)題意，（X, Y）的概率密度f （x, y）必定是一常數(shù)，故由f(x,y)dxdyG1dx0<xf(x, y)dyx21一 f (x, y),付到 3f(x,y)3,0,(x,y) G其他(2)fx (x)f(x,y)dyx3dyx20,），(3)fY(y)特別地，當f(x, y)dxy3dx,2y3( . y），1 時，fY|x(y|x)0,f (x, y)fx (x)x0.5時的條件概率密度為fY|x (y | 0.5)2v 2 1,0,1/421

42、,設（x ,Y）是二維隨機變量， x的概率密度為fx(x)2 x60,且當x（0 x 2）時Y的條件概率密度為(1)(2)(3)0,fY|x(y |x)求（X,Y） 聯(lián)合概率密度;求（x ,Y）關于Y的邊緣概率密度;.xx20,xyy .2/2其他0x2其他_ , 1 x/20,y其他求在Y y的條件下x的條件概率密度fx|Y（x | y）。2, 0 y 1y 0斛：(1)f(x, y)fx (x) £丫供(y | x) 30 fY(y) f(x, y)dx 0021 xy . dx3(1y)其他(3)當 0y 1 時，fx|Y(x|y)f (x,y)xyfY(y), 2(1 y)

43、0,0x2其他22, (1)設一離散型隨機變量的分布律為Y-101Pk21一2又設丫1,丫2是兩個相互獨立的隨機變量，且 丫1,丫2都與Y有相同的分布律。求丫1,丫2的聯(lián)合分布律。并求PYi Y2。(2)問在14題中X,Y是否相互獨立?解：(1)由相互獨立性，可得 丫1,丫2的聯(lián)合分布律為PY1 i,Y2 j PY1 iPY2 j, i,j 1,0,1結果寫成表格為丫_-101-12 /4(1)/22/40(1)/2(1)2(1)/212 /4(1)/22/422_PY1Y2PY1丫21PY1丫20PY1丫21(1)/2(2) 14題中，求出邊緣分布律為012PX i00.100.080.06

44、0.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38PY j0.160.340.501很顯然，PX 0,Y0 PX 0PY0,所以X,Y不是相互獨立23,設X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,X U (0,1) ， Y的概率密度為8y 0 y 1/2fY(y)0其他試寫出X,Y的聯(lián)合概率密度，并求 PX Y。解：根據(jù)題意，X的概率密度為10x1fX (x)0其他所以根據(jù)獨立定,X,Y的聯(lián)合概率密度為f(x, y) fX(x)fY(y)8y 0 x 1,0 y 1/20其他PX Y f(x, y)dxdyx y1/21dx 8ydx0 y24,設隨機變量X具有分布律X -2

45、-1013pk1/51/61/51/1511/302.求Y X 1的分布律。解：根據(jù)定義立刻得到分布律為Y 12510pk 1/57/301/511/30解：設X , U的概率密度分別為25,設隨機變量X N(0,1)，求U X的概率密度 fX(x), fu(u), U的分布函數(shù)為Fu(u)。則當 u0時，F(xiàn)U (u) PUu PX| u 0, fU(u)0；P u X u 2 (u) 1,當 u 0時，F(xiàn)U (u) PU u PX ufu(u)Fu(u)2fx(u)2 e u2/2所以，fU (u)2u2 /2e26, (1)設隨機變量 X的概率密度為xf(x) ex 0其他v'x的概率密度。(2)設隨機變量x U( 1,1)，求Y(X 1)/2的概率密度。(3)設隨機變量x N(0,1),求丫-2x的概率密度。解：設X ,Y的概率密度分別為fx (x),fY (y),分布函數(shù)分別為Fx(x), Fy(y)。貝u(1)當 y 0時，F(xiàn)Y(y) PY y Pv，rXy) 0,fY(y) 0；當 y 0時，F(xiàn)Y(y) pyy P . xyPxy2Fx(y2)，fY (y)Fy (y)22yfx(y2)2yey2所以，fY(y)2ye y20(2)此時 fx (x)1/20I x 1其他因為Fy(DPYyP(x1)/2y